Resolver los coeficientes de una secuencia
Cuando k=10:
x(1) = 1/8
x(2) = 1/64
x(3) = 17/512
x(4) = 289/4096
x(5) = 817/32768
x(6) = 9793/262144
x(7)= 96849/2097152
x(8) = 462689/16777216
x(9 ) = 4519281/134217728
x(10) = 36715649/1073741824
Cuando k=20
x(1) = 1/8
x(2) = 1/64
x(3) = 17/512
x(4) = 289/4096
x (5) = 817/32768
x(6)= 9793/262144
x(7) = 96849/2097152
x(8) = 462689 /16777216
x(9) = 4519281/134217728
x(10)= 36715649/1073741824
x(11) = 227472529/ 8589934592
x(12) = 1971858849/68719476736
x(13) = 15010625457/549755813888
x(14) = 104793334465/4398046511104
x (15) = 849759207121/35184372088832
x(16) =6369172675553/281474976710656
x(17) = 46792413612529/2251799813685248
x(18) 366237533444353 /18014398509481984
x(19) = 2745424356186385/144115188075855872
x(20) = 20584082776103457/ 1152921504606846976
Cuando k=10, la suma de los coeficientes = 48135840 9 /1073741824 = 0. 448299952782690525054931640625
Cuando k=20, la suma de coeficientes = 783295747515421929/ 1152921504606846976
=0.
67940076092390209398091949211107
Podemos adivinar que sn converge a 1. La siguiente es una prueba estricta:
Primero usemos la fórmula de recursividad anterior para resolver la fórmula generalizada de xn:
xn=x (n-3)/2 x(n-2)/4 x(n-1)/8
Escribe la ecuación característica de {xn}, y^3=1 / 2 y/2 y^2/8
Esta es una ecuación cúbica de una variable con tres raíces:
y1=0.9468061876
y2=-0.410903 0.599375i
y3=-0.410903-0.599375i
Sea xn=a1y1^(n-1) a2y2^(n-1) a3y3^(n-1)
Obviamente, a2 y a3 son un par de **** números negativos conjugados, establezca a2=a bi, a3=a-bi
x1 = a1 2a=1/8
x2=a1x1 (a bi)y2 (a-bi)*y3=1/64
x3=a1x1 (a bi)y2^2 (a-bi)(y3^2= 17/512
Resolver a1=0.0.050874, a=0.037063, b=0.001738
Así se obtiene la fórmula generalizada de {xn}:
xn =0,050874*0,9468061876 ^(n-1) (0,037063 0,001738i)*(-0,410903 0,599375i)^(n-1) (0,037063- 0,001738i)*(-0,410903-0,599375)^(n-1 )
Dado que el límite de la suma de números negativos módulo |-0.410903 0.599375i|lt; 1, existe {xn}
lim(n-gt;∞)sn
=0.050874/(1- 0.9468061876) (0.037063 0.001738i)/(1.410903-0.599375i) (0.0370603-0.001738i)/(1.410903 0.599375i)
=1.0000 0884937300740 67849069432437
Teniendo en cuenta el error de cálculo del punto flotante, puede considerar sn-gt;
Entonces sn converge a 1
Para converger a 0,99, supongamos que debemos calcular el enésimo término:
0.050874/(1 - 0.9468061876)*(0.9468061876)^(n-1)lt;=0.0033
|(0.0370603-0.001738i)/(1.410903 0.599375i)*( -0,410903 0,599375i)^(n-1) |lt;=0,0033
|(0,0370603 0,001738i)/(1,410903-0,599375i)*(-0,410903-0,599375i)^(n-1) |lt;=0.0033
Encontrar ngt;=104
Teniendo en cuenta el error de cálculo, se puede calcular que 1.1n=115
Por lo tanto, después Al calcular el término 115, sn puede converger a más de 0,99, pero debido a que el error de cálculo de los números de punto flotante en lenguaje C es grande, se recomienda utilizar el cálculo de Matlab
======= ==================Especial n
ota ======================= ========
Dejando de lado el cálculo numérico puro, podemos mirar Mirar en la fórmula de recursividad de {xn}:
x4=x1/2 x2/4 x3/8
x5=x2/2 x3/4 x4/8
...
xn=x(n-1)/2 x(n-2)/4 (xn-3)/8
Suma estas ecuaciones y Para encontrar el límite, sea lim(n-gt;∞)sn=t
t-x1-x2-x3=t/2 (t-x1)/4 (t-x1-x2)/8
De x1=1/8,...x2=1/64, x3=17/512, podemos encontrar t=1
Entonces sn converge a 1
Por supuesto, para hacer esto, debemos asegurarnos de que {xn} debe converger con {sn}. Esto requiere la fórmula general de {xn}, y el cálculo de la tercera ecuación raíz característica se volverá inimaginablemente complicado si se conserva el signo de la raíz. Es por eso que la ecuación solo se puede resolver con la ayuda de una computadora, pero la base matemática. es ciertamente riguroso y completo (es imposible retener el signo raíz en los cálculos de ingeniería reales)
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