Matemáticos y conocimiento de funciones

Mucho antes de que se propusiera claramente el concepto de función, los matemáticos ya habían entrado en contacto y estudiado muchas funciones específicas, como funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, etc. Alrededor de 1673, Descartes ya había notado la dependencia de una variable de otra variable en su geometría analítica. Sin embargo, debido a que en ese momento aún no se comprendía la necesidad de refinar el concepto general de funciones, no fue hasta finales del siglo XVII que Newton. y Leibniz Cuando se estableció el cálculo, los matemáticos aún no habían aclarado el significado general de las funciones. En 1673, Leibniz utilizó por primera vez la palabra función para significar "potencia". Más tarde utilizó la palabra para referirse a la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente y otras cantidades geométricas relacionadas de puntos de la curva. Se puede observar que el significado matemático inicial de la palabra función es bastante amplio y vago. Casi al mismo tiempo, Newton utilizó otro término "flujo" para expresar la relación entre variables en la discusión del cálculo, hasta que en 1689 el matemático suizo. John Bernoulli definió claramente el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz. Bernoulli llamó a la cantidad compuesta por la variable x y una constante de alguna manera "función de x", expresada en ese momento como yx. Eran principalmente operaciones aritméticas, operaciones trigonométricas, operaciones exponenciales y operaciones logarítmicas; más tarde, Euler simplemente usó estas operaciones para conectar la variable x y la constante sub, denominada función analítica, y la dividió en "función algebraica" y "función trascendental". A mediados del siglo XVIII, debido a sus investigaciones sobre los problemas de vibración de las cuerdas, D'Alembert y Euler introdujeron sucesivamente el término "función arbitraria". Al explicar el concepto de "función arbitraria", D'Alembert dijo que se refiere a una "fórmula analítica arbitraria", mientras que Euler pensó que se trataba de "una curva arbitraria trazada". Ahora parece que todas estas son expresiones de funciones y una extensión del concepto de funciones. (3) El concepto de función carece de una definición científica, lo que provoca marcadas contradicciones entre la teoría y la práctica. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan ampliamente en tecnología de ingeniería, pero debido a que no existe una definición científica de funciones, el establecimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales es muy limitado. De 1833 a 1834, Gauss comenzó a centrar su atención en la física. En el proceso de cooperación con W. Weibull para inventar el telégrafo, realizó muchos trabajos experimentales sobre el magnetismo y propuso la importante teoría de que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia", lo que hizo que las funciones aparecieran como una rama independiente de matemáticas, las necesidades prácticas impulsaron a la gente a estudiar más a fondo la definición de funciones. Más tarde, la gente dio esta definición: si una cantidad depende de otra cantidad, y cuando esta última cambia, la primera cantidad también cambia, entonces la primera cantidad se llama función de la segunda cantidad. "Aunque esta definición aún no revela la esencia de una función, inyecta cambio y movimiento en la definición de función, lo cual es un progreso bienvenido en la historia del desarrollo del concepto de funciones, obra de los franceses". El matemático Fourier tuvo la mayor influencia, y Fourier fue profundo. Revela claramente la esencia de las funciones y defiende que las funciones no necesitan limitarse a expresiones analíticas. En 1822, dijo en su famoso libro "La teoría analítica del calor": "Por lo general, una función representa un conjunto conexo de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria... No asumimos que estas ordenadas obedecen a una "Las mismas leyes; son una tras otra en cualquier forma". En este libro, expresó una función dada por una "línea" discontinua en forma de suma en serie trigonométrica. Para ser más precisos, cualquier función periódica con 2π en el intervalo [-π, π] puede expresarse mediante una función trigonométrica. La investigación de Fourier ha sacudido fundamentalmente el viejo pensamiento tradicional sobre el concepto de funciones y ha causado un gran impacto en la comunidad matemática. En ese tiempo. Resulta que no existe una brecha insuperable entre expresiones analíticas y curvas. La serie comunica expresiones analíticas y curvas. La visión de que las funciones son expresiones analíticas finalmente se ha convertido en un gran obstáculo para revelar relaciones funcionales. A través de un debate se produjeron las definiciones de funciones de Lobachevsky y Dirichlet. En 1834, el matemático ruso Lobachevsky propuso la definición de función: "La función de x es un número que tiene un valor definido para cada x y cambia con x. El valor de la función puede analizarse mediante una condición. que proporciona una manera de encontrar todos los valores correspondientes. Esta dependencia de la función puede existir, pero aún se desconoce. "Esta definición establece la relación entre variables y funciones. La relación correspondiente es un desarrollo importante del concepto de función, porque " "Correspondencia" es un atributo esencial y parte central del concepto de función. En 1837, el matemático alemán Dirichlet reconoció

No importa cómo establecer la relación entre xey, por eso su definición es: "Si para cada valor de x, siempre hay un valor completamente cierto de y correspondiente, entonces y es una función de x". Según esta Definición, incluso si se expresa de la siguiente manera, se sigue diciendo que es una función (función de Dirichlet): f (x) = 1 (x es un número racional), 0 (x es un número irracional). En esta función, si x aumenta gradualmente de 0 a 0, entonces f(x) de repente se convertirá en 0 o 1. No importa cuán pequeño sea el intervalo, f(x) va de 0 a 1 indefinidamente. Por tanto, es difícil expresarlo con una o varias fórmulas, e incluso si se puede encontrar una expresión es un problema. Pero independientemente de si puede expresarse mediante una expresión, según la definición de Dirichlet, esta f (x) sigue siendo una función. La definición de función de Dirichlet evita brillantemente todas las descripciones de dependencias en definiciones de funciones anteriores y es aceptada incondicionalmente por todos los matemáticos de una manera completamente clara. En este punto, podemos decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica. (4) El mayor desarrollo de la práctica productiva y los experimentos científicos ha provocado nuevas contradicciones agudas en el concepto de función. En la década de 1920, los seres humanos comenzaron a estudiar los fenómenos microfísicos. La mecánica cuántica apareció en 1930. En la mecánica cuántica, es necesario utilizar una nueva función, la función delta, es decir, ρ(x) = 0, x≠0, ∞, x=0. Y la aparición de la función δ ha provocado un intenso debate entre la gente. Según la definición original de la función, sólo se permite la correspondencia entre números y "∞" no se considera un número. Además, para una función cuya variable independiente tiene solo un punto distinto de cero, su valor integral no es igual a cero, lo cual también es inimaginable. Sin embargo, la función delta es de hecho una abstracción del modelo real. Por ejemplo, cuando los coches o los trenes pasan por un puente, naturalmente ejercen presión sobre el puente. En teoría, solo hay un punto de contacto entre las ruedas del vehículo y la plataforma del puente. Suponga que la presión del vehículo sobre la vía y la plataforma del puente es una unidad. En este momento, la presión en el punto de contacto x = 0. es P (0) = presión/cara de contacto=1/0=∞. En los puntos restantes x≠0, no hay presión, por lo que no hay presión, es decir, P (x) = 0. Además, sabemos que la integral de la función de presión es igual a la presión, es decir, El concepto de función se está desarrollando activamente en tales condiciones históricas. Se produce una nueva definición de función moderna: si para cualquier elemento x del conjunto M, siempre hay un elemento y determinado por el conjunto N que le corresponde, entonces es Se dice que una función se define en el conjunto M y se registra como y = f (x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente. Aunque sólo hay unas pocas palabras de diferencia entre la definición moderna de función y la definición clásica en la forma, se trata de un importante desarrollo conceptual y un importante punto de inflexión en el desarrollo de las matemáticas. El análisis funcional moderno puede utilizarse como símbolo de este giro. El punto que se estudia es la relación funcional en conjuntos generales. Después de más de doscientos años de refinamiento y transformación, la definición del concepto de función ha formado la definición moderna de función, que debería decirse que es bastante completa. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas es interminable. La definición moderna de función no significa el fin histórico del desarrollo del concepto de función. En las últimas dos décadas, los matemáticos han reducido las funciones a un concepto más amplio: "relación". Supongamos conjuntos X e Y, definimos el conjunto de productos X×Y de X e Y como X×Y={(x, y)|x∈X,y∈Y}. Un subconjunto R del conjunto de productos Entonces se dice que xey no tienen relación. Supongamos que f es la relación entre X e Y, es decir, f En esta definición, se ha evitado formalmente el término "correspondencia" y se ha utilizado por completo el lenguaje de la teoría de conjuntos. De todo el proceso de desarrollo del concepto de función anterior, nos damos cuenta de lo importante que es conectarse con la realidad y una gran cantidad de materiales matemáticos para investigar, descubrir y ampliar las connotaciones de los conceptos matemáticos. Las funciones trigonométricas son un tipo de función en matemáticas que son funciones trascendentales entre las funciones elementales. Su esencia es una correspondencia entre un conjunto de ángulos arbitrarios y una variable de un conjunto de razones. Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en un sistema de coordenadas plano rectangular y su dominio es el dominio de los números reales completos. Otra definición es en un triángulo rectángulo, pero no completamente. Las matemáticas modernas los describen como los límites de secuencias infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales, extendiendo su definición al sistema de números complejos. Debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas, no tiene una función inversa en el sentido de una función univaluada. Las funciones trigonométricas tienen aplicaciones importantes en números complejos.

En física, las funciones trigonométricas también son herramientas de uso común. Contenido elemental básico Tiene seis funciones básicas (expresiones básicas elementales): Nombre de la función seno coseno tangente cotangente secante cosecante

Esperamos adoptar