Cómo desarrollar habilidades matemáticas Zhihu
1. Reconoce tus necesidades
Por qué necesitas aprender matemáticas es lo primero que debes pensar con claridad. Hay muchas subcategorías de matemáticas y cada libro de matemáticas contiene muchos teoremas y conclusiones, lo que requiere mucho tiempo para estudiarlo. El tiempo humano es precioso y limitado, por lo que es necesario tener un objetivo general, planificar y organizar su tiempo de manera razonable.
1.1 Tu objetivo es dominar las matemáticas, estudiar matemáticas y ganarte la vida con las matemáticas. Puedes aspirar a dominar la geometría algebraica o querer dominar la física de vanguardia. Luego, es necesario sentar una base sólida en álgebra, geometría y análisis modernos. Es necesario preparar mucho tiempo y energía, y tener una determinación inquebrantable. (Requisito: dominio de los tres niveles de matemáticas avanzadas)
1.2 Su objetivo es poder utilizar las matemáticas avanzadas de manera competente, resolver problemas y dominar las armas para explorar nuevos campos de aplicación en los que puede aspirar a ingresar. el campo de la visión por computadora o la economía o el campo de la minería de datos. Luego, debe sentar una base sólida en teoría de matrices, cálculo y estadística de probabilidad. (Requisito: Competente en Matemáticas Avanzadas de Nivel 1)
1.3 Su objetivo es comprender el placer de las matemáticas y hacer de su aprendizaje un pasatiempo importante en la vida. Luego, debe sentar una base sólida en álgebra lineal, análisis matemático, topología y estadística de probabilidad. Para usted, experimentar la diversión de aprender matemáticas es un objetivo más importante. (Domina las matemáticas avanzadas de primer nivel, nada en las matemáticas avanzadas de segundo nivel e intenta contactar con las matemáticas avanzadas de tercer nivel)
2. Date suficiente motivación
. Aprender matemáticas requiere inteligencia, requiere más tiempo y energía. Todos comprenden bien los siguientes hechos:
1. Cualquier cosa que sea inútil, o algo que, aunque útil, no lo utilices, se aprende y se olvida rápidamente. Si no me cree, simplemente recuerde los cursos básicos que tomó en su primer año o en la escuela secundaria. ¿Aún los recuerda claramente?
2. Si no estás interesado en algo (o no lo encuentras interesante), te resultará difícil persistir en completarlo. Muchas personas han tenido esta experiencia. Leen los primeros tres capítulos de un libro con mucha atención, pero luego se los tragan y leen cada vez más rápido, lo que de todos modos no es interesante ni útil.
3. Las matemáticas de la escuela primaria son la base de las matemáticas de la escuela secundaria, las matemáticas de la escuela secundaria son la base de las matemáticas de la escuela secundaria y las matemáticas de la escuela secundaria son la base de las matemáticas universitarias (puede hacer una analogía con esto).
Entonces, no importa cuál sea tu objetivo, ya sea dedicarte a las matemáticas, utilizarlas, experimentar la diversión de las matemáticas y satisfacer el sueño que has tenido desde que eras un adolescente. Aprender por diversión y aplicar lo que aprende son siempre los dos factores más importantes que evitan que su motivación disminuya.
3. ¿Qué aprender en matemáticas avanzadas?
Bien, echemos un vistazo al árbol tecnológico de las matemáticas universitarias estándar:
Nivel 1:
Álgebra lineal (teoría de matrices), análisis matemático, moderno álgebra (Grupo de campo anular), que cubre las teorías básicas de geometría, análisis y álgebra respectivamente. No te olvides de la teoría de la probabilidad (una disciplina fundamental basada en el análisis).
Nivel 2:
Con estos fundamentos, luego viene el fundamento, abstracción y extensión de los conceptos básicos: la teoría de la medida (la base de las integrales, y por supuesto la base de la teoría de la probabilidad) , topología (un tema básico extremadamente importante sobre conjuntos, espacio y geometría), análisis funcional (generalización del álgebra lineal), funciones complejas (generalización del análisis), ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales (generalización del análisis), estadística matemática y procesos estocásticos (una generalización de la teoría de la probabilidad), geometría diferencial (una combinación de análisis y geometría).
Luego hay algunos temas nuevos y aplicados: análisis numérico (algoritmos), criptografía, gráficos, teoría de la información, series temporales, teoría de grafos, etc.
Nivel 3:
El siguiente nivel son temas de posgrado, que muchas veces involucran álgebra, geometría y análisis al mismo tiempo: variedades diferenciales, geometría algebraica, dinámica estocástica, etc.
El tercer nivel de este árbol de ciencia y tecnología es muy similar a las matemáticas de la escuela primaria, secundaria y preparatoria. Si no dominas un nivel, leerás la Biblia en el siguiente nivel. .
4. Cómo estudiar
4.1 Haz las preguntas con moderación
Nunca hagas las preguntas a lo loco.
Los estudiantes que han jugado juegos de confrontación estratégica saben que solo necesitas construir unos pocos soldados de bajo nivel. Tienes que ahorrar dinero para comprar soldados de alto nivel para poder ganar en las etapas posteriores. Los soldados de bajo nivel no solo tienen un ataque bajo. poder, pero tampoco tienen magia interesante. El propósito de su existencia es permitirte tener la capacidad de sobrevivir hasta etapas posteriores. Hay tantos cursos enumerados anteriormente. Si primero pasa 5 años completando los seis conjuntos de problemas de análisis matemático de Jiminovich, tendrá 30 años y aún no habrá comenzado a aprender los cursos de segundo nivel. Por lo tanto, simplemente haga algunos ejercicios después de la escuela que lo ayudarán a revisar, pensar y mantener la función cerebral. Debe continuar aprendiendo al revés. Si no lo entiendes en absoluto, regresa y haz los ejercicios que te ayudarán a aclarar tus ideas.
4.2 Comprender ideas
La esencia de las matemáticas no es el número de preguntas, sino el dominio de las ideas. Cada rama de las matemáticas tiene su propia línea principal de ideas y metodología, y las diferentes ramas también tienen formas de pensar que pueden compararse y aprenderse unas de otras. Préstale atención, imítalo, y el conocimiento trivial se convertirá en un collar y dominarás un curso. Las ideas no se pueden entender fácilmente leyendo un libro de texto. Es necesario leer varios libros y comprender algunas aplicaciones antes de poder comprenderlas. Dé dos ejemplos:
Hay varias líneas principales de cálculo: darse cuenta de que micro y macro están conectados, el diferencial se usa para describir cómo cambian las cosas, magnifica los detalles para que usted los vea, y el integral se usa para describir la naturaleza general de las cosas; diferencial e integral son a veces formas diferentes de describir un fenómeno, que quizás no encuentres fácilmente en los libros de análisis matemático, pero si aprendes algo de física, encontrarás que las ecuaciones de Maxwell también tienen forma diferencial y forma integral equivalentes. La transformación integral puede establecer la conexión entre diferentes espacios y establecer la conexión entre el espacio y el límite del espacio. Este es el teorema de Stokes: esta fórmula debe estar en la variedad diferencial a más tardar antes de que puedas vislumbrar la imagen completa.
La matriz es la abstracción de la transformación lineal en el espacio. La importancia del álgebra lineal es estudiar cómo expresar, simplificar y clasificar los operadores de transformación lineal espacial. La descomposición SVD no solo se usa ampliamente en disciplinas aplicadas; Debut también es una herramienta poderosa para comprender las matrices; las matrices son operadores lineales en espacios de dimensión finita. Comprender el "espacio" no solo le permite volver a comprender las matrices, sino que también le brinda un buen comienzo para aprender el análisis funcional.
4.3 Aprendizaje progresivo y tortuoso, aprendizaje comparativo
Muchas veces, si solo lees un libro, puede ser porque el autor dio un salto en su pensamiento en alguna parte, y nunca lo estarás. poder seguirlo de nuevo. Un truco para aprender matemáticas es conseguir varios libros de texto de renombre internacional al mismo tiempo y compararlos entre sí, o leer uno y luego leer otro libro sobre el mismo tema, si no está familiarizado. No entiendes algo, detente y piensa o haz ejercicios. Si aún no entiendes, da un paso atrás y avanza desde las partes que puedes entender. Cuando leas más, encontrarás que una cosa aparece en muchos lugares. su comprensión al respecto se profundizará. Para dar dos ejemplos:
Es posible que algunos libros de análisis matemático nacionales no introduzcan la diferenciación externa. La primera vez que la encontré fue en "Geometría diferencial" de Peng Jiagui, y pensé que era un método conveniente e ingenioso. Herramientas; más tarde leí el "Análisis matemático" de Zhuo Liqi y los "Principios de análisis matemático" de Rudin, que hablaban de esto. Se puede ver que el cálculo diferencial es un conocimiento básico en Occidente. Si desea comprenderlo, es posible que primero deba comprender la matriz y comprender que el determinante es exactamente el múltiplo del volumen espacial estirado bajo la transformación de la matriz. Es una forma lineal. Finalmente, cuando lea variedades diferenciales, encontrará que la diferenciación externa es una herramienta para obtener el teorema de Stokes sobre variedades.
La topología de conjunto de puntos es algo que no es útil en las aplicaciones. Pero si quieres aprender en profundidad, debes dominar este tema, porque proporciona una descripción precisa de conceptos matemáticos básicos como conjuntos abiertos, conjuntos compactos, continuidad y completitud. En el futuro, aprenderá análisis funcional y variedades diferenciales. Sin estos conceptos, no podrá progresar. En primer lugar, debe leer la obra maestra de Monklis "Topología". Luego, cuando lea libros escritos por otros extranjeros, estará más o menos expuesto a algunos conceptos relacionados y su comprensión se profundizará. Por ejemplo, lea el "Análisis funcional" de Rudin. " 》, que comienza con una introducción a los espacios topológicos lineales. Podrás utilizar los conocimientos previos.
4.4 Establecer conexiones entre diferentes disciplinas
Cuando veas que algo se utiliza en muchos lugares, tu comprensión se profundizará y poco a poco podrás apreciar la sutileza de esto. Al final, encontrarás que todos los temas básicos están entrelazados y se ayudan entre sí en aplicaciones posteriores, y realmente te darás cuenta de que son realmente básicos y útiles. Esta es una manera de experimentar el placer de las matemáticas.
4.5 Presta atención a las disciplinas aplicadas
Nada puede estimular más tu deseo de nuevos conocimientos y nuevas herramientas que las aplicaciones. Encuentre algunos libros de texto de materias aplicadas que le interesen, léalos, amplíe sus horizontes y acumule recursos para su futuro. Hablemos de algunos libros profesionales excelentes basados en mi especialización (visión por computadora) y mis pasatiempos:
Después de aprender cálculo, puedes leer "Feynman Lectures on Physics Volume 1" sin estrés y comprender la fuerza, el calor, la luz, y los misterios del espacio y el tiempo, después de aprender las ecuaciones diferenciales parciales, puede leer "Feynman Lectures on Physics Volume 2" sin estrés y comprender los misterios de la electricidad, después de aprender la teoría de matrices, puede comprar una copia de "Computer Vision" "; Multi-View Geometry", comprende el misterio de las imágenes y programa para realizar la reconstrucción tridimensional de secuencias de imágenes; los estudiantes que han estudiado teoría de la probabilidad deberían haber oído hablar de la escuela bayesiana y la escuela frecuentista. Las personas de estas dos escuelas han dibujado el Del campo de batalla al aprendizaje automático, y produje dos libros clásicos, "Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático" y "Los elementos del aprendizaje estadístico", quedé profundamente impresionado por los resultados fructíferos y los profundos conocimientos proporcionados por las matemáticas básicas para el campo. del aprendizaje automático; después de leer " "Ray Tracing from the Ground Up", escribí un trazador de rayos para representar una escena real. Su base es un poco de cálculo y matrices...
Hay tantos muchas aplicaciones de matemáticas avanzadas Bueno, si te gusta la programación, la automatización, la robótica, la visión por computadora, el reconocimiento de patrones, la minería de datos, los gráficos, la teoría de la información y la criptografía... hay toneladas de modelos por todas partes con los que puedes jugar y solo requieres un poco matemáticas avanzadas. En estas áreas, puede que le resulte más interesante y más fácil encontrar objetivos laborales que los libros de matemáticas.
4.6 Encuentre libros interesantes para leer
Los libros escritos por matemáticos a veces son relativamente rígidos, pero siempre hay algunos libros de texto cuyos autores tienen un fuerte deseo de mostrarle "esto". realmente muy interesante", "Esto no es en absoluto lo que crees que es", etc., lo lograron; también hay algunos autores a quienes les gusta mostrar la aplicación de una cosa en diferentes campos y la aplicación de diferentes cosas en un cierto campo. Aquí tienes. Este tipo de libro le proporcionará mucha diversión para leer. Un representante típico es la "Serie de Turing sobre Matemáticas y Estadística" publicada en China. Este conjunto de libros es realmente excelente, como "El álgebra lineal debe aprenderse de esta manera", "Análisis complejo: métodos de visualización", "Ecuaciones diferenciales dinámicas". Systems and Chaos" "Introducción", personalmente creo que es un libro de texto clásico de lectura obligada para aprender matemáticas. Es muy, muy interesante.
5. Lee más y lee buenos libros
Si solo hay una frase que resume cómo cultivar las habilidades matemáticas, entonces es esta: Lee más y lee buenos libros. Por lo tanto, me gustaría separar este paso y decir algunas palabras más.
Creo que todos son muy competentes y capaces de aplicar las matemáticas de la escuela primaria con habilidad. Si desea comprender la geometría algebraica, o dar un paso atrás y comprender los conceptos básicos de la teoría de la información, debe elegir algunos buenos libros de texto básicos, preferiblemente escritos por extranjeros, y dominarlos como si fueran matemáticas de la escuela primaria. No se limite a leer un libro, busque tres libros de diferentes autores y compárelos, línea por línea y palabra por palabra. Puede que no entiendas algunas partes, pero si las escribes, tal vez se mencionen desde otro ángulo en algún otro libro.
Si quieres aprender más en el futuro, cada teorema básico que veas ahora se utilizará en el futuro.
Cada libro básico, si lo abandonas hoy, tendrás que empezar de nuevo mañana.
Al igual que leer las Escrituras, lea y compare las similitudes y diferencias en el contenido de diferentes libros de texto.
5.1. Libros de texto recomendados (en realidad los libros que he leído y que me parecen buenos):
Nivel 1:
"Así debería ser el álgebra lineal aprendí"
"Análisis matemático (dos volúmenes)" de Zhuo Liqi (lea la versión en inglés, no es difícil. Algunos amigos conocedores dijeron que esto todavía no es muy simple, por lo que primero puede leer un libro de texto nacional). y luego regrese a él, mire esto)
"Teoría de la probabilidad" de la Universidad de Fudan
Nivel 2:
"Topología" de Monkris
Turing Algunos volúmenes de la serie
Kostrykin "Introducción al álgebra"
Vapnik "La esencia de la teoría del aprendizaje estadístico"
Rudin "Principios del análisis matemático "
Rudin "Análisis funcional"
Gamelin "Análisis complejo"
Peng Jiagui "Geometría diferencial"
Portada "Conceptos básicos de información Teoría"
Nivel 3:
"Popularidad Diferencial y Geometría Riemanniana"
Tres volúmenes de "Geometría Moderna, Métodos y Aplicaciones"
5.2 Leer algunos libros de texto de divulgación científica
"Qué son las matemáticas"
"Matemáticas elementales desde un alto punto de vista"
"Bach, Escher, Gödel" <. /p>
"La historia de e"
5.3 Lea los libros de texto y libros más interesantes y animados en diversos campos que le harán aprender más, prestar más atención a la aplicación y que estén escritos. en los términos más fáciles de entender
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Tres volúmenes de "Feynman Lectures on Physics"
"Caos and Fractal: New Frontiers of Science"
"Introducción a las ecuaciones diferenciales, los sistemas dinámicos y el caos"
"Análisis complejo: método de visualización"
Finalmente, quiero decir que las matemáticas son un pozo sin fondo que consumirá tu preciosa juventud. Si no sabes nada al respecto, es posible que te sientas motivado a comprender las matemáticas modernas, pero es posible que te desanimes a mitad de camino y, al mismo tiempo, no te quede suficiente tiempo para dominar otra ciencia. E incluso si dominas las matemáticas puras, no es fácil encontrar trabajo sin algunos buenos artículos.
Mi sugerencia es ampliar sus horizontes en el proceso de lectura de matemáticas. Mire tanto las matemáticas puras como las matemáticas aplicadas y encuentre una dirección que le interese, que sea ampliamente utilizada y que sea fácil de encontrar trabajo. ganar dinero). Baja y conviértelo en tu carrera. Por ejemplo, las personas con sólidos conocimientos de matemáticas y sólidas habilidades de programación son muy prometedoras.
Autor: Wang Xiaolong
Enlace: /question/19556658/answer/26950430
Fuente: Zhihu
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