¿El precio de las acciones del próximo mes de enero será parte de un problema de regresión logística?
Si eres principiante es normal sentir mareos, así que aclaremos un poco las cosas.
Volvamos primero a la regresión lineal. Todo el mundo sabe que y = WX b en regresión lineal. Podemos usar W y b para encontrar la y correspondiente a X. Aquí y es un valor continuo y es una regresión. Modelo, ¿verdad? Pero, ¿qué pasa si queremos que este modelo haga clasificación? Es fácil pensar que podemos establecer el umbral artificialmente, ¿verdad? Por ejemplo, supongamos que especificamos que y gt 0 tiene un resultado de clasificación final de 1 y y lt 0 tiene un resultado de clasificación final de 0. En la superficie, por supuesto, esto no es un problema, pero en la práctica, este enfoque tiene muchos problemas.
El mayor problema es que si simplemente diseñamos un umbral para hacer un juicio, entonces la y final será una función por partes, y la función por partes es discontinua, por lo que no tenemos forma de encontrar su gradiente. Para resolver este problema, debemos encontrar una función suave que pueda usarse para clasificar y resolver el problema del gradiente.
Pronto, los científicos de la información encontraron dicha función, que es la función sigmoidea, y su expresión es:
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Su función La imagen es como siguiente:
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Se puede ver que la función sigmoidea toma el valor 0 cuando x = 0. El valor límite cuando x = 0 es 5 y el límite es. infinito positivo. El valor es 1 y el valor límite en el infinito negativo es 0. Pensamos en σ(x) como la probabilidad de que x ocurra, entonces la probabilidad de que x no ocurra es 1-σ(x). Tratamos la ocurrencia y la no ocurrencia como dos categorías, y luego convertimos la función sigmoidea en una función categórica, si σ (x) gt 0.5 representa la categoría 1; de lo contrario, representa la categoría 0;
Aquí es muy simple mediante regresión lineal, podemos obtener
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En otras palabras, agregamos una capa de función sigmoidea para obtener diferentes probabilidades. calculando diferentes y, y finalmente obtenga diferentes resultados de clasificación.
Función de pérdida
La siguiente derivación tiene mucha energía de principio a fin. Creo que la publicarás tres veces seguidas (como, reenviar y seguir) después de leerla. .
Comencemos, primero definamos los símbolos. Para distinguirlos, llamamos a la clasificación verdadera en la muestra de entrenamiento y, y la matriz de y se escribe como Y.
Para una sola muestra, y tiene dos valores, que pueden ser 1 o 0, donde 1 y 0 representan dos clasificaciones diferentes. Queremos que y_hat sea lo más grande posible cuando y = 1, y 1 - y_hat sea lo más grande posible cuando y = 0. Es decir, cuanto más pequeño sea y_hat, mejor porque toma un valor entre 0 y 1. Usemos una ecuación para unificar estas dos situaciones:
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Sustituyamos: cuando y = 0, el término anterior es 1, y la única expresión que queda es Eliminar el término consecuente; de manera similar, cuando y = 1, el término consecuente es 1 y solo el término anterior permanece en la expresión. Por lo tanto, esta ecuación representa la probabilidad de que la predicción sea precisa y esperamos que cuanto mayor sea la probabilidad, mejor.
Obviamente, P(y|x) gt; 0, por lo que podemos logaritmizarlo porque la función logarítmica es monótona. Por lo tanto, el valor cuando P(y|x) toma el valor máximo es el valor cuando log P(y|x) toma el valor máximo.
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Esperamos que este valor sea el valor máximo, es decir, esperamos que su valor opuesto sea el valor mínimo, sea
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El valor cuando P(y|x) toma el valor máximo es el valor cuando el logaritmo P(y|x) toma el valor máximo. png
De esta manera obtenemos su función de pérdida:
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Si comprende el concepto de entropía cruzada, encontrará esta función de pérdida. La expresión de es en realidad entropía cruzada. La entropía cruzada se utiliza para medir la "distancia" entre dos distribuciones de probabilidad. Cuanto menor es la entropía cruzada, más cercanas están las dos distribuciones de probabilidad, por lo que a menudo se utiliza como función de pérdida de los modelos de clasificación. Con respecto al concepto de entropía cruzada, no lo presentaremos en detalle aquí, pero lo presentaremos en detalle en el siguiente artículo. La función de pérdida que derivamos casualmente es la entropía cruzada. Esto no es una coincidencia. De hecho, está respaldada por un conjunto de lógica matemática de la teoría de la información.
Derivación completa
Ahora que la función de pérdida está disponible, el siguiente paso es encontrar el gradiente e implementar el descenso del gradiente.
Esta función parece muy complicada. Realizar directamente la derivación local del gradiente es demasiado complicado (peligroso). Si eres un estudiante que no la ha tocado durante mucho tiempo, será así. duro como resistir un nombre de caña.
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Para simplificar la dificultad, primero hacemos un trabajo preparatorio. Primero, veamos la función σ, que tiene una forma compleja en sí misma, y analicemos sus derivadas.
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Debido a que y_hat = σ(θX), lo incorporamos a la función de pérdida y obtenemos σ(θX), donde σ(θX) se llama simplemente σ(θ ):
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A continuación, encontramos la derivada parcial de J(θ) con respecto a θ. Aquí debemos sustituir la conclusión de derivación de σ(x) anterior:
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Práctica de código
Se ha dado la fórmula del gradiente, entonces, ¿está lejos de escribir código para implementarla?
Pero lo complicado es que, antes de crear el modelo, intentemos crear un lote de datos.
Elijamos un escenario-examen de vida muy sencillo. Suponiendo que cada estudiante necesita tomar dos exámenes y las calificaciones de los dos exámenes se suman para obtener la calificación final, entonces tenemos un lote de datos sobre si el estudiante está calificado. Esperamos diseñar un modelo de regresión logística que nos ayude a calcular directamente si un estudiante está calificado o no.
Para evitar que la función sigmoidea esté sesgada, escalamos las puntuaciones de cada curso en el intervalo (0, 1). Si la suma de las puntuaciones de las dos materias supera los 140 puntos, la puntuación total será una calificación aprobatoria.
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Los datos de entrenamiento así obtenidos tienen dos características, una es el desempeño del estudiante en los dos cursos y la otra se utiliza para rastrear el desplazamiento constante 1.
A continuación, de acuerdo con la fórmula anterior, no es difícil implementar funciones sigmoideas y de descenso de gradiente (realmente no es difícil).
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Esta función implementa el descenso de gradiente por lotes, y aquellos que estén familiarizados con Numpy encontrarán que se trata de una fórmula simple.
Finalmente, trazamos las líneas de división del conjunto de datos y de la regresión logística.
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El resultado final es el siguiente:
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Versión de descenso de gradiente estocástico
puede ser descubierto. Después de 10.000 iteraciones, tenemos un modelo que identifica correctamente todas las muestras.
Acabamos de implementar el algoritmo de descenso de gradiente completo y también podemos utilizar el algoritmo de descenso de gradiente estocástico para la optimización. La optimización también es muy simple: en lugar de calcular el gradiente para todos los datos, seleccionamos una entrada del conjunto de datos para calcular el gradiente.
Básicamente, puedes reutilizar el código de descenso de gradiente y simplemente agregar optimizaciones en la parte de selección de muestra.
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Establecimos el número de iteraciones en 2000 y el resultado final de la imagen separada es el siguiente:
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ciertamente. El código anterior no es perfecto, es solo una simple demostración y hay muchas áreas que necesitan mejora y optimización. Este es sólo un ejemplo para darle una idea: no es difícil codificar el modelo a mano y es divertido derivar las fórmulas. Esta es también la razón por la que establecí el tema de las matemáticas avanzadas. Hay muchos conocimientos en informática en común. Es realmente interesante inspirarse para escribir sobre ello durante el proceso de aprendizaje. Espero que todos puedan encontrar su propia diversión.
Eso es todo por el artículo de hoy. Si lo encuentra útil, haga clic en Seguir o reenviarlo. Su pequeño esfuerzo es muy importante para mí.
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