¿La suma de la serie n al cubo ∑n?
De n^3-(n-1)3 = 1 *[n^2 (n-1)2 n(n-1)]
=n^2 ( n-1)^2 n^2-n
=2*n^2 (n-1)^2-n
Obtener
2^ 3-1^3=2*2^2 1^2-2
3^3-2^3=2*3^2 2^2-3
4^ 3-3^3=2*4^2 3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2 (n-1)^2-n
Todas las ecuaciones se suman.
n^3-1^3=2*(2^2 3^2 ... n^2) [1^2 2^2 ... (n-1)^2]- (2 3 4 ... n)
=2*(1^2 2^2 3^2 ... n^2)-2 [1^2 2^2 ... (n -1)^2 n^2]-n^2-(2 3 4 ... n)
=3*(1^2 2^2 3^2 ... n^2) -2-n^2-(1 2 3 ... n) 1
=3(1^2 2^2 ... n^2)-1-n^2-n(n 1)/2
Disposición
3(1^2 2^2 ... n^2)=n^3 n^2 n(n 1)/2=( n/2)(2n^2 2n n 1)
=(n/2)(n 1)(2n 1)
Entonces 1 2 2 2 3 2 ... norte 2 = norte (norte 1) (2norte 1)/6.
Deducción 1 3 2 3 3 3 ... n 3 = [n (n 1)/2] 2.
por(n 1)4-n ^ 4 =[(n 1)2 n ^ 2][(n 1)2-n ^ 2]
=(2n^ 2 2n 1)(2n 1)
=4n^3 6n^2 4n 1
Obtener
2^4-1^4=4*1 ^3 6*1^2 4*1 1
3^4-2^4=4*2^3 6*2^2 4*2 1
4^4 -3^4=4*3^3 6*3^2 4*3 1
.
(n 1)^4-n^4=4*n^3 6*n^2 4*n 1
Todos los tipos sumados
(n 1)^4-1=4*(1^3 2^3 3^3... n^3) 6*(1^2 2^2... n^2) 4*(1 2 3 ... n) n
Después de completar
4*(1^3 2^3 3^3 ... n^3)=(n 1)^4-1 6*[n(n 1)(2n 1)/6] 4*[(1 n)n/2] n
=[n(n 1)]^2
Además, 1 3 2 3 ... n 3 = [n (n 1)/2] 2.