¿Cuáles son las condiciones de convergencia del método de iteración de Newton?
1. La convergencia global se refiere a si el algoritmo converge cuando el valor inicial es arbitrario dentro del dominio de definición y, de ser así, a qué raíz converge.
2. La convergencia local tiene el siguiente teorema
Supongamos que se sabe que f(x) = 0 tiene raíz A, y f(x) es lo suficientemente suave (todas las derivadas existen y son continuos).
Si f'(a)! = 0 (cero único), la secuencia x[n] obtenida por el método iterativo x[n+1]= x[n]-f(x[n])/f '(x[n]) siempre converge a a Y la velocidad de convergencia es al menos de segundo orden.
Si f'(a) == 0 (múltiples puntos cero), cuando el valor inicial está en la vecindad de a, la velocidad de convergencia es de primer orden.
Supongamos g( x) =x-f(x)/f'(x), donde "una vecindad" se puede representar mediante |g'(x)|
2. Introducción al método de iteración de Newton:
< El método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson, es un método aproximado para resolver ecuaciones en el dominio de los números reales y el dominio de los números complejos propuesto por Newton en el siglo XVII. La mayoría de las ecuaciones no tienen fórmulas de raíz, por lo que es difícil o incluso imposible encontrar raíces exactas, por lo que es particularmente importante encontrar raíces aproximadas de ecuaciones. El método utiliza los primeros términos de la serie de Taylor de la función f(x) para encontrar la raíz de la ecuación f(x) = 0. El método de iteración de Newton es uno de los métodos importantes para encontrar las raíces de ecuaciones. Su mayor ventaja es que tiene convergencia cuadrada cerca de la raíz única de la ecuación f(x) = 0. También se puede utilizar para encontrar las raíces múltiples y las raíces complejas de la ecuación. En este momento, converge linealmente, pero. puede convertirse en convergencia superlineal a través de algunos métodos. Además, este enfoque se utiliza ampliamente en la programación informática.