¿Qué inventó Newton?

Entre todas las aportaciones científicas de Newton, los logros matemáticos ocupan un lugar destacado. El primer logro creativo de su carrera matemática fue el descubrimiento del teorema del binomio. Según recuerda el propio Newton, descubrió este teorema en el invierno de 1664 y 1665, cuando estudiaba la "Aritmética infinita" del Dr. Wallis y trataba de modificar su serie para encontrar el área de un círculo.

La geometría analítica de Descartes corresponde las relaciones funcionales que describen el movimiento con curvas geométricas. Bajo la dirección de su maestro Barrow, Newton encontró una nueva salida basada en el estudio de la geometría analítica de Descartes. La velocidad en cualquier momento puede considerarse como la velocidad promedio en un rango de tiempo pequeño. Esta es la relación entre una distancia pequeña y el intervalo de tiempo. Cuando este pequeño intervalo de tiempo se reduce a infinitesimal, es el valor exacto de este punto. Este es el concepto de diferenciación.

Encontrar el diferencial equivale a encontrar la pendiente tangente en un punto determinado basándose en la relación entre el tiempo y la distancia. La distancia recorrida por un objeto en movimiento de velocidad variable en un determinado rango de tiempo puede considerarse como la suma de las distancias recorridas en pequeños intervalos de tiempo. Este es el concepto de integración. Encontrar la integral es equivalente a encontrar el área bajo la curva que relaciona el tiempo con la velocidad. Newton construyó el cálculo a partir de estos conceptos básicos.

La creación del cálculo es el logro matemático más destacado de Newton. Para resolver el problema del movimiento, Newton creó esta teoría matemática que está directamente relacionada con conceptos físicos y la llamó "matemáticas fluidas". Algunos de los problemas específicos que maneja, como problemas de tangentes, problemas de cuadratura, problemas de velocidad instantánea y problemas de funciones con valores máximos y mínimos, se han estudiado antes que Newton. Pero Newton superó a sus predecesores. Se situó en una perspectiva más elevada, sintetizó las conclusiones dispersas del pasado y unificó las diversas técnicas para resolver problemas infinitesimales desde la antigua Grecia en dos tipos comunes de algoritmos: diferencial e integral. Se establecieron tipos de operaciones, completando así el paso más crítico en la invención del cálculo, proporcionando la herramienta más eficaz para el desarrollo de la ciencia moderna y abriendo una nueva era en las matemáticas.

Newton no publicó los resultados de la investigación del cálculo a tiempo. Es posible que haya estudiado cálculo antes que Leibniz, pero la forma de expresión adoptada por Leibniz fue más razonable y sus trabajos sobre cálculo también se publicaron antes. que Newton.

Cuando Newton y Leibniz discutieron sobre quién fue el fundador de esta disciplina, se provocó una violenta disputa. Esta disputa fue ampliamente discutida entre sus respectivos estudiantes, partidarios y matemáticos. La disputa familiar duró mucho tiempo, resultando. en un antagonismo a largo plazo entre los matemáticos de Europa continental y los matemáticos británicos. Durante un período de tiempo, las matemáticas británicas estuvieron cerradas al país, limitadas por prejuicios nacionales y estancadas en las "matemáticas fluidas" de Newton. Como resultado, el desarrollo de las matemáticas se quedó atrás durante cien años.

Cabe decir que la creación de una ciencia no es en modo alguno la actuación de una sola persona, debe ser el resultado del esfuerzo de muchas personas y de la acumulación de un gran número de resultados, y finalmente. resumido por una o varias personas. Completado. Lo mismo ocurre con el cálculo, que fue establecido independientemente por Newton y Leibniz sobre la base de sus predecesores.

En 1707, las lecciones de álgebra de Newton fueron compiladas y publicadas como "Aritmética Universal". Principalmente analiza los conceptos básicos del álgebra y su aplicación (mediante la resolución de ecuaciones) para resolver varios tipos de problemas. El libro establece los conceptos básicos y las operaciones básicas del álgebra, utiliza una gran cantidad de ejemplos para ilustrar cómo convertir varios problemas en ecuaciones algebraicas y lleva a cabo discusiones en profundidad sobre las raíces y propiedades de las ecuaciones, lo que conduce a resultados fructíferos en la teoría de ecuaciones. , como por ejemplo: Derivó la relación entre las raíces de una ecuación y su discriminante, y señaló que los coeficientes de la ecuación se pueden usar para determinar la suma de las potencias de las raíces de la ecuación, que es la "potencia de Newton". Fórmula de suma".

Newton contribuyó tanto a la geometría analítica como a la geometría sintética. Introdujo el centro de curvatura en "Geometría analítica" publicada en 1736, dio el concepto de círculo lineal cerrado (o círculo curvo) y propuso una fórmula de curvatura y un método para calcular la curvatura de las curvas. Resumió muchos de los resultados de su investigación en una monografía "Enumeración de curvas cúbicas", publicada en 1704. Además, su trabajo matemático también involucra muchos campos como el análisis numérico, la teoría de la probabilidad y la teoría elemental de números.

En 1665, Newton, con apenas veintidós años, descubrió el teorema del binomio, que supuso un paso imprescindible para el pleno desarrollo del cálculo. El teorema del binomio generaliza resultados simples como los encontrados mediante cálculo directo

a la siguiente forma

Forma extendida

La expansión de la serie binomial es una poderosa herramienta para estudiar teoría de series, teoría de funciones, análisis matemático y teoría de ecuaciones.

Hoy encontraremos que este método sólo es aplicable cuando n es un número entero positivo. Cuando n es un número entero positivo 1, 2, 3,..., la serie termina exactamente en n+1 términos. Si n no es un número entero positivo, la serie no terminará y este método no se aplicará. Pero debemos saber que en ese momento, Leibniz no introdujo la palabra función hasta 1694. En las primeras etapas del cálculo, abordar sus etapas era el método más eficaz a la hora de estudiar funciones trascendentales.

Creación del cálculo

El logro más destacado de Newton en matemáticas fue la creación del cálculo. Su logro que supera a sus predecesores es que unificó varias técnicas especiales para resolver problemas infinitesimales desde la antigua Grecia en dos tipos generales de algoritmos: diferencial e integral, y estableció la relación recíproca entre estos dos tipos de operaciones, tales como: área El cálculo puede verse como el proceso inverso de encontrar la recta tangente.

En aquel momento, Leibniz presentó también un informe de investigación sobre el cálculo, lo que desencadenó una polémica sobre los derechos de patente de la invención del cálculo, que no terminó hasta la muerte de Leibniz. Las generaciones posteriores han determinado que el cálculo fue inventado por ellas al mismo tiempo.

En cuanto a los métodos de cálculo, la aportación importantísima de Newton fue que no sólo vio con claridad, sino que también utilizó con audacia la metodología proporcionada por el álgebra que era muy superior a la geometría. Reemplazó los métodos geométricos de Cavalieri, Gregory, Huygens y Barrow por métodos algebraicos y completó la algebraización de integrales. Desde entonces, las matemáticas han pasado gradualmente de ser un tema de sentimiento a un tema de pensamiento.

En los inicios del cálculo, debido a que aún no se había establecido una base teórica sólida, fue estudiado por algunas personas a las que les encantaba pensar. Esto desencadenó la famosa segunda crisis matemática. Este problema no se resolvió hasta el establecimiento de la teoría del límite en el siglo XIX.

Teoría de ecuaciones y método de variaciones

Newton también hizo contribuciones clásicas al álgebra. Su "Aritmética general" promovió enormemente la teoría de ecuaciones. Descubrió que las raíces imaginarias de los polinomios reales deben aparecer en pares y encontró las reglas para el límite superior de las raíces polinómicas. Expresó la fórmula de la suma de la enésima potencia de las raíces de los polinomios con los coeficientes del polinomio y dio. Fórmula cartesiana para el límite del número de raíces imaginarias de polinomios reales. Una generalización de las reglas de símbolos infantiles.

Newton también diseñó un método para encontrar la aproximación de raíz real de ecuaciones numéricas que es adecuado tanto para logaritmos como para ecuaciones trascendentales. La modificación de este método ahora se llama método de Newton.

Newton también hizo grandes descubrimientos en el campo de la mecánica, que es la ciencia que explica el movimiento de los objetos. La primera ley del movimiento fue descubierta por Galileo. Esta ley establece que si un objeto está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en reposo o continuará moviéndose en línea recta con velocidad constante mientras no actúe sobre él ninguna fuerza externa. Esta ley también se llama ley de inercia, que describe una propiedad de la fuerza: la fuerza puede hacer que un objeto se mueva del reposo al movimiento y del movimiento al reposo, y también puede hacer que un objeto cambie de una forma de movimiento a otra. Esto se llama primera ley de Newton. La cuestión más importante en mecánica es cómo se mueven los objetos en circunstancias similares. La segunda ley de Newton resuelve este problema; se considera la ley fundamental más importante de la física clásica. La segunda ley de Newton describe cuantitativamente cómo la fuerza puede cambiar el movimiento de un objeto. Explica la tasa de cambio de velocidad en el tiempo (es decir, la aceleración a es directamente proporcional a la fuerza F e inversamente proporcional a la masa del objeto, es decir, a=F/m o F=ma; cuanto mayor es la fuerza, mayor mayor es la aceleración; cuanto mayor es la masa, menor es la aceleración. Tanto la fuerza como la aceleración tienen magnitud y dirección. La aceleración es causada por la fuerza, y la dirección es la misma que la fuerza. Si hay varias fuerzas actuando sobre un objeto, la aceleración. es causada por la fuerza resultante. La segunda ley es la más importante, de la cual se pueden derivar todas las ecuaciones fundamentales de potencia mediante el cálculo.

Además, Newton formuló su tercera ley basándose en estas dos leyes. La tercera ley establece que la interacción de dos objetos siempre ocurre. La magnitud es igual y la dirección es opuesta. Para dos objetos en contacto directo, esta ley es más fácil de entender. La presión hacia abajo del libro sobre la mesa es igual a la presión hacia arriba. fuerza de la mesa sobre el libro, es decir, la fuerza de acción es igual a la fuerza de reacción, y lo mismo ocurre con el vuelo. La fuerza del avión que tira de la Tierra hacia arriba es numéricamente igual a la fuerza de la Tierra que tira del avión. hacia abajo.

Leyes del movimiento de Newton

Leyes del movimiento de Newton Las leyes del movimiento son el nombre colectivo de las tres leyes del movimiento propuestas en física por Isaac Newton, que se conocen como. el fundamento de la física clásica.

Es "la primera ley de Newton (ley de inercia): todos los objetos se mueven en la misma dirección. Sin la influencia de ninguna fuerza externa, siempre se mantiene un estado de movimiento lineal uniforme". o un estado de reposo hasta que una fuerza externa lo obligue a cambiar este estado.

——Aclara la relación entre fuerza y ​​movimiento y propone el concepto de inercia)", "Segunda ley de Newton (la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza externa resultante F sobre el objeto, e inversamente proporcional a la masa de el objeto. La dirección de la aceleración es La dirección de la fuerza externa resultante es la misma) Fórmula: F=kma (cuando la unidad de m es kg y la unidad de a es m/s2, k=1), tercio de Newton. ley (la fuerza de acción y la fuerza de reacción entre dos objetos, en la misma línea recta, la magnitud es igual y la dirección es opuesta)"

Método de Newton

El método de Newton también es Llamado método de Newton-Raphson, es un método propuesto por Newton en el siglo XVII para resolver aproximadamente ecuaciones en el campo de números reales y en el campo de números complejos. La mayoría de las ecuaciones no tienen fórmulas para encontrar raíces, por lo que es muy difícil o incluso imposible. para encontrar las raíces exactas. Por lo tanto, es necesario encontrar las raíces aproximadas de las ecuaciones. Es particularmente importante que el método utilice los primeros términos de la serie de Taylor de la función f(x). f(x) = 0. El método de iteración de Newton es uno de los métodos importantes para encontrar las raíces de la ecuación. Su mayor ventaja está en la ecuación. Hay convergencia cuadrada cerca de la raíz única de f(x) = 0. El método también se puede utilizar para encontrar raíces múltiples y raíces complejas de la ecuación. Además, este método se usa ampliamente en programación de computadoras. Sea r la raíz de f(x) = 0. Seleccione x0 como la aproximación inicial de. r, y trazar la recta tangente L de la curva y = f(x) que pasa por el punto (x0, f(x0). La ecuación de L es y = f(x0)+f'(x0)(x-x0). ), encuentre la abscisa x1 = x0-f(x0)/f'(x0) de la intersección de L y el eje x, y llame a x1 una aproximación de primer orden de r. Trace la curva y = f que pasa por el punto. (x1, f(x1)). (x), y encuentre la abscisa x2 = x1-f(x1)/f'(x1) de la intersección de la recta tangente y el eje x. Llame a x2 la aproximación cuadrática de. r. Repita el proceso anterior para obtener la secuencia de valores aproximados de r, donde x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)), es. se llama aproximación n+1 de r, y la fórmula anterior se llama fórmula de iteración de Newton. El método de Newton para la ecuación no lineal f(x)=0 es un método aproximado para linealizar la ecuación no lineal. Expande f(x) en una ecuación de Taylor. serie f(x) = f(x0)+( cerca del punto x0. x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2 +... ¡Toma su! parte lineal como la ecuación aproximada de la ecuación no lineal f(x) = 0, es decir, Taylor Los primeros dos términos de la expansión son f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)= 0. Suponiendo f'(x0)≠0, la solución es x1=x0－f(x0) /f'(x0) De esta forma se obtiene una secuencia de iteraciones del método de Newton: x(n+1)=x( n)-f(x(n))/f'(x(n))

Telescopio de Newton

Antes de Newton, Mozi, Bacon, Leonardo da Vinci y otros habían estudiado los fenómenos ópticos. La ley de la reflexión es una de las leyes ópticas que la gente conoce desde hace mucho tiempo. Cuando la ciencia moderna estaba en auge, Galileo sorprendió al mundo al descubrir el "nuevo universo" a través de su telescopio. El matemático holandés Snell descubrió por primera vez la ley de refracción de la luz. Descartes propuso la teoría de las partículas de la luz...

Newton y sus casi contemporáneos como Hooke y Huygens, al igual que Galileo, Descartes y otros predecesores, demostraron gran interés y pasión por la investigación de la óptica. En 1666, mientras estaba de vacaciones en casa, Newton obtuvo un prisma, que utilizó para realizar su famoso experimento de dispersión. Después de que un rayo de luz solar pasa a través del prisma, se descompone en varias bandas espectrales de colores. Luego, Newton usa un deflector con una hendidura para bloquear los otros colores de luz, permitiendo que solo un color de luz pase a través del segundo prisma. Son del mismo color de luz. De esta forma descubrió que la luz blanca está compuesta de luz de varios colores. Esta fue su primera gran aportación.

Para verificar este descubrimiento, Newton intentó combinar varias luces monocromáticas diferentes en luz blanca y calculó el índice de refracción de diferentes colores de luz, explicando con precisión el fenómeno de dispersión. Se revela el misterio del color de la materia. Resulta que el color de la materia es causado por la diferente reflectividad y el índice de refracción de la luz de diferentes colores en los objetos. En 1672 d.C., Newton publicó los resultados de su investigación en el "Philosophical Journal of the Royal Society". Este fue su primer artículo publicado públicamente.

Mucha gente estudia óptica para mejorar los telescopios refractores.

Debido a que Newton descubrió la composición de la luz blanca, creyó que el fenómeno de dispersión de las lentes refractivas de los telescopios no se podía eliminar (más tarde, algunas personas usaron lentes compuestas por vidrios con diferentes índices de refracción para eliminar el fenómeno de dispersión), por lo que diseñó y construyó un telescopio reflector.

Newton no sólo era bueno en cálculos matemáticos, sino que también era capaz de fabricar diversos equipos experimentales y realizar experimentos precisos por sí mismo. Para fabricar telescopios, diseñó su propia máquina esmeriladora y pulidora y experimentó con diversos materiales de pulido. En 1668 d.C., realizó el primer prototipo de telescopio reflector, que fue su segunda mayor contribución. En 1671 d.C., Newton presentó su telescopio reflector mejorado a la Royal Society. Newton se hizo famoso y fue elegido miembro de la Royal Society. La invención del telescopio reflector sentó las bases de los modernos telescopios astronómicos ópticos de gran escala.

Al mismo tiempo, Newton también realizó una gran cantidad de experimentos de observación y cálculos matemáticos, como el estudio del fenómeno de refracción anormal de las rocas glaciares descubierto por Huygens, el fenómeno del color de las pompas de jabón descubierto por Hooke y los fenómenos ópticos de los "anillos de Newton", etc.

Newton también propuso la "teoría de las partículas" de la luz, creyendo que la luz está formada por partículas y toma el camino de movimiento lineal más rápido. Su "teoría de las partículas" y más tarde la "teoría de las ondas" de Huygens constituyen las dos teorías básicas sobre la luz. Además, también produjo varios instrumentos ópticos, como el disco de color de Newton.

Construcción del edificio de la mecánica

Newton es el maestro de la teoría de la mecánica clásica. Resumió sistemáticamente el trabajo de Galileo, Kepler, Huygens y otros, y obtuvo la famosa ley de la gravitación universal y las tres leyes del movimiento de Newton.

Antes de Newton, la astronomía era la materia más destacada. Pero, ¿por qué los planetas deben orbitar alrededor del Sol según ciertas reglas? Los astrónomos no pueden explicar este problema satisfactoriamente. El descubrimiento de la gravitación universal muestra que el movimiento de las estrellas en el cielo y el movimiento de los objetos en la Tierra se rigen por las mismas leyes: las leyes de la mecánica.

Mucho antes de que Newton descubriera la ley de la gravitación universal, muchos científicos habían considerado seriamente esta cuestión. Por ejemplo, Kepler se dio cuenta de que debía haber una fuerza en acción para mantener a los planetas moviéndose a lo largo de la órbita elíptica. Creía que esta fuerza era similar al magnetismo, como un imán que atrae al hierro. En 1659, Huygens descubrió, al estudiar el movimiento de un péndulo, que se necesita una fuerza centrípeta para mantener un objeto en movimiento en una órbita circular. Hooke y otros pensaron que se trataba de gravedad y trataron de deducir la relación entre gravedad y distancia.

En 1664, Hooke descubrió que la curvatura orbital de los cometas al acercarse al sol se debía al efecto gravitacional del sol; en 1673, Huygens derivó la ley de la fuerza centrípeta; en 1679, Hooke y Halley la derivaron; La ley de la fuerza centrípeta de la tercera ley de Puller establece que la fuerza gravitacional que mantiene el movimiento planetario es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

El propio Newton recordaba que hacia 1666, ya se había planteado la cuestión de la gravedad cuando vivía en su ciudad natal. El dicho más famoso es que durante las vacaciones, Newton solía sentarse un rato en el jardín. Una vez, como sucedió muchas veces en el pasado, una manzana cayó del árbol...

La caída accidental de una manzana supuso un punto de inflexión en la historia del pensamiento humano que transformó al hombre sentado en ella. jardín La mente del hombre se iluminó, lo que le hizo reflexionar: ¿Cuál es la razón por la cual todos los objetos casi siempre son atraídos hacia el centro de la tierra? Pensó Newton. Finalmente, descubrió la gravedad, que tuvo una importancia trascendental para la humanidad.

La brillantez de Newton es que resolvió el problema de argumentación matemática que Hooke y otros no pudieron resolver. En 1679, Hooke escribió para preguntarle a Newton si podía demostrar que los planetas se mueven en órbitas elípticas basándose en la ley de la fuerza centrípeta y la ley de que la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton no respondió a esta pregunta. Cuando Halley visitó a Newton en 1685, Newton ya había descubierto la ley de la gravitación universal: existe una fuerza gravitacional entre dos objetos, y la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y directamente proporcional al producto de las masas de los objetos. dos objetos.

En aquella época ya se disponía de datos precisos para su cálculo, como el radio de la Tierra y la distancia entre el Sol y la Tierra. Newton le demostró a Halley que la gravedad de la Tierra es la fuerza centrípeta que hace que la Luna se mueva alrededor de la Tierra. También demostró que bajo la influencia de la gravedad del Sol, el movimiento de los planetas cumple con las tres leyes del movimiento de Kepler.

A instancias de Halley, Newton escribió la gran obra que hizo época "Principios matemáticos de la filosofía natural" a finales de 1686. La Royal Society carecía de fondos y no pudo publicar este libro. Posteriormente, con la financiación de Halley, se pudo publicar esta una de las obras más importantes de la historia de la ciencia en 1687.

En este libro, Newton partió de los conceptos básicos de la mecánica (masa, momento, inercia, fuerza) y las leyes básicas (las tres leyes del movimiento), y utilizó la afilada herramienta matemática que inventó. no sólo demostró matemáticamente la ley de la gravitación universal, sino que también estableció la mecánica clásica como un sistema completo y riguroso, unificó la mecánica de los cuerpos celestes y la mecánica de los objetos terrestres y logró la primera gran síntesis en la historia de la física.