Buscando ejemplos de geometría sólida de secundaria
51. Se sabe que en el cuadrilátero espacial ABCD, AB=BC=CD=DA=DB=AC, M y N son los puntos medios de BC y AD respectivamente.
Encuentre el coseno del ángulo entre AM y CN;
Análisis: (1) Conecte DM, dibuje NE‖AM a través de N e interseque DM en E, luego ∠CNE
es el ángulo entre AM y CN.
∵ N es el punto medio de AD, NE‖AM ∴NE= AM y E es el punto medio de MD.
Supongamos que la longitud de la arista del tetraedro regular es 1, entonces NC= ? = , ME= MD=
En Rt△MEC, CE2= ME2 + CM2= + =
p>
p>
∴cos∠CNE= ,
Y ∠CNE∈(0, )
∴El coseno del ángulo entre la recta opuesta AM y CN es.
Nota: 1. El punto de traducción de esta pregunta es N. Según la definición, dibuja una de las líneas rectas opuestas de las líneas paralelas. Luego, primero calcula las longitudes de CE, CN. , y EN fuera de △CEN, y luego regresa a △CEN para encontrar el ángulo.
2. El ángulo formado puede ser el ángulo de la recta diagonal, o puede ser su ángulo adyacente. No se puede determinar en el diagrama visual, solo se puede determinar resolviendo el triángulo y basándose. sobre los valores positivos y negativos del coseno del ángulo. ¿Es este ángulo un ángulo agudo (es decir, el ángulo de la línea diagonal) o un ángulo obtuso (el ángulo adyacente de la línea diagonal)? En la respuesta final, el coseno de este ángulo debe ser positivo.
52. Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero espacial ABCD, los puntos E y F son puntos en BC y AD respectivamente. Se sabe que AB=4, CD=20, EF=7. AB y CD El ángulo formado por las rectas lados opuestos de .
Análisis: Tome un punto G en BD para que conecte EG y FG
En ΔBCD, , entonces EG/CD, , entonces EG=5
< p; > De manera similar, se puede demostrar que FG/AB, ,Entonces FG=3,
En ΔEFG, usando el teorema del coseno, podemos obtener
cos ∠FGE = ,
Entonces ∠FGE=120°.
Por otro lado, de los resultados anteriores EG/CD, FG/AB, por lo que el ángulo agudo formado por EG y FG es igual al ángulo formado por AB y CD, por lo que el ángulo formado por AB y CD es igual a 60°.
53. En el rectángulo ABCD-A1B1C1D1, AA1=c, AB=a, AD=b y a>b. Encuentra el coseno del ángulo entre AC1 y BD.
Solución 1: Conecte AC, suponga AC∩BD=0, entonces O es el punto medio de AC, tome el punto medio F de C1C, conecte OF, luego OF‖AC1, OF= AC1, entonces ∠FOB es el ángulo entre AC1 y DB.
En △FOB, OB= , OF= , BE= ,
Según el teorema del coseno
cos∠OB= =
Solución 2: Tomar el punto medio O1 de AC1 y el punto medio G de B1B. En △C1O1G, ∠C1O1G es el ángulo entre AC1 y DB.
Solución 3:. Extienda CD a E para que ED = DC, entonces ABDE es un paralelogramo. AE‖BD, entonces ∠EAC1 es el ángulo entre AC1 y BD. En △AEC1
, AE= , AC1= , C1E= se obtienen del teorema del coseno
cos∠EAC1= =