Tiene una larga historia: álgebra geométrica y astronomía (1)

"¿Quién determina la escala del cielo y de la tierra? ¿Quién traza sobre ellos la vara de medir? ¿Dónde está su fundamento? ¿Cómo están colocadas sus señales de tráfico?... ¿De dónde viene la luz? ¿De dónde vienen las tinieblas? ¿Dónde está ubicado?

Los fenómenos astronómicos siempre invitan a la reflexión y son fascinantes.

Desde la antigüedad, comprender los fenómenos celestes ha sido la fuerza impulsora y el elevado objetivo de la geometría, la aritmética, la filosofía y la investigación religiosa.

La geometría y el álgebra son la comprensión racional del espacio en el que se encuentra el universo. Son el fundamento y precursor de la ciencia.

Según los registros del "Libro de Zhou", ya en el Período de Primavera y Otoño y el Período de los Reinos Combatientes, China había formado "Fangtian (medición de la tierra)", "Shaoguan (área larga y ancha) ", "Shanggong (ingeniería de movimiento de tierras)" "Rama de la aritmética como la geometría. Los antiguos chinos dominaron muy pronto las fórmulas de área de rectángulos y triángulos y las fórmulas de volumen de cubos y conos. Durante el período de los Tres Reinos, Zhao Shuang hizo el "Diagrama del Círculo de Pitágoras" y demostró el Teorema de Pitágoras.

Si los logros matemáticos de la antigua China son un resumen de la experiencia de la práctica de producción, entonces en la antigua Grecia, que estaba a miles de kilómetros de distancia en Al mismo tiempo, se puede decir que su sistema matemático es una deducción racional basada en el sistema de axiomas.

"Elementos de Geometría", escrito en el año 300 a.C., estableció un sistema completo y autoconsistente de geometría plana con cinco postulados.

Estos cinco postulados son:

A partir de estos cinco axiomas concisos y muy generalizados, Euclides estableció un sistema que incluye formas, círculos, polígonos, métodos de construcción e incluso geometrías similares. Tiene un sistema matemático grande y completo con numerosos teoremas de teoría de números y algebraicos. Durante los siguientes miles de años, "Elementos de geometría" se convirtió en el libro de mayor circulación, sólo superado por la "Biblia". Aunque este no es sólo su mérito, todavía se puede considerar a Euclides como el maestro del álgebra geométrica en la antigua Grecia. 1

El décimo volumen del libro hereda y desarrolla las ideas anteriores sobre proporciones inconmensurables (números irracionales) y límites, lo cual tiene una importancia histórica.

La historia comienza aquí:

Cuando los antiguos matemáticos griegos estudiaron cuantitativamente la teoría básica de la geometría plana, lucharon por ser meticulosos al enfrentarse al concepto básico de "longitud". La "longitud" es un concepto relativo. En una era en la que hay una falta de comprensión de las constantes cosmológicas, la "longitud" no tiene una definición absoluta. Los matemáticos propusieron la teoría pura de la "conmensurabilidad":

El principio de "conmensurabilidad" define relativamente la cantidad natural "longitud" y expande el sistema numérico de números enteros a números racionales. Basándose en esto, los matemáticos han demostrado rigurosamente otras fórmulas importantes en geometría, como la fórmula del área, la fórmula de triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras. Los griegos creían "firmemente" que todos los números del mundo pueden expresarse mediante números enteros y proporciones conmensurables, y consideraban el principio de "conmensurabilidad" como el "primer axioma" de la geometría.

Como todos sabemos, Pitágoras de la antigua Grecia (griego: Πυθαγ?ρα?, 570 a. C. ~ 495 a. C.) también descubrió y demostró el Teorema de Pitágoras (teorema de Pitágoras). Los griegos creían "firmemente" que todos los números del mundo podían representarse mediante números enteros y proporciones conmensurables. Sin embargo, es este teorema básico y hermoso el que desencadenó una crisis sin precedentes.

Hippasos (griego: ππασο?, hacia el siglo V a. C.), alumno de Pitágoras, fue el desencadenante directo de esta crisis.

El "1" es un número sencillo y bonito.

Si las longitudes de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son "1", ¿cuál es la longitud de la cuerda?

¿3/2? No, es demasiado grande;

¿7/5? No está bien, es más pequeño, pero está más cerca;

······

Mientras profundizaba en su pensamiento, una idea lo hizo estremecer. Parecía que no había manera. La relación de puntos en común puede representar con precisión la longitud de la cuerda, ¡pero esta longitud de la cuerda existe!

Otro hecho es:

La relación entre la diagonal y la longitud del lado de un pentágono regular no se puede expresar mediante números racionales.

Como se muestra en la figura, por las propiedades del pentágono regular, sabemos que triángulo y triángulo son dos triángulos isósceles congruentes.

Sea la longitud de la diagonal b, la longitud del lado a y la relación entre la diagonal y la longitud del lado k, , entonces b=a r .

Hippasos tuvo una idea repentina y extendió cada uno de ellos por un período de r , y vio un nuevo pentágono regular de un vistazo.

Así se obtuvo una ecuación.

Hípaso utilizó métodos geométricos para demostrar que no existe una solución racional para esta ecuación.

Estos dos descubrimientos aparentemente ordinarios pero trascendentales conmocionaron a la comunidad académica de la antigua Grecia. El problema de la inconmensurabilidad que es urgente explicar fue un desafío serio y urgente para la comunidad académica griega en ese momento.

De hecho, los matemáticos han descubierto que el proceso de encontrar soluciones a problemas mediante prueba y error es un proceso de aproximación constante a la respuesta final. Utilizar números racionales para acercarse continuamente al número desconocido es un método eficaz.

Este número a definir (llamémoslo aquí p) no se puede expresar mediante una razón, pero su relación con cualquier número racional es clara. Esto se llama "principio de comparación".

Eudoxo (griego: Ε?δοξο?, 408 a.C. ~ 355 a.C.) propuso:

Para cualquier entero positivo N, existe un entero positivo m, tal que

De esta forma, la razón de inconmensurabilidad p se limita a dos números racionales cuya diferencia es 1/N. A medida que el denominador N continúa aumentando, la diferencia entre los límites superior e inferior de la desigualdad se vuelve cada vez más pequeña y eventualmente se aproxima a cero, y los lados izquierdo y derecho de la desigualdad se unificarán en una ecuación. Ésta es la idea de "límite".

Además, si hay dos razones pyq desiguales e inconmensurables, entonces deben diferir en un valor fijo distinto de cero, denotado como d. 1/N es una cantidad arbitrariamente pequeña Siempre que N sea lo suficientemente grande, 1/N puede ser menor que |d|. Entonces pyq no pueden limitarse a m/N y (m 1)/N al mismo tiempo. . A esto se le llama "singularidad". Por tanto, se puede definir la relación de inconmensurabilidad.

Para cualquier ratio inconmensurable que pueda expresarse mediante una ecuación, utilizando las ideas y métodos propuestos por Eudoxo y realizando múltiples cálculos y comparaciones, siempre podremos obtener resultados con suficiente precisión.

Supongamos que hay una línea recta infinitamente larga en el espacio, establezca un punto en la línea recta como punto de referencia O, y luego establezca un punto E que no coincida con el punto O, luego la longitud del segmento de línea OE se puede registrar como la unidad de Longitud 1. La distancia relativa a la unidad de longitud desde cualquier punto P hasta el punto O en una línea recta se puede expresar mediante una relación conmensurable o una relación inconmensurable; por el contrario, cualquier relación conmensurable o inconmensurable se puede expresar intuitivamente como una longitud relativa en una línea recta. Las razones conmensurables (números racionales) y las razones inconmensurables (números irracionales) se denominan colectivamente números reales. Entonces se puede decir que existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos de la recta.

Los números reales son completos, luego las rectas son continuas y el espacio es continuo. 2

Eudoxo utilizó ideas tan simples y sofisticadas para complementar los números irracionales en el sistema numérico y reconstruir los fundamentos de la geometría y el álgebra. Quizás él mismo no hubiera imaginado la gran revolución científica que sus ideas darían origen mil años después.

La comprensión que los antiguos griegos tenían de la naturaleza del espacio hace dos mil años es impresionante.

En la antigua China del Este, los logros de los matemáticos fueron igualmente sorprendentes.

Durante el período de los Tres Reinos (siglo III d.C.), Liu Hui propuso la técnica de cortar un círculo, que establecía una base teórica estricta y un algoritmo perfecto para derivar la fórmula del área del círculo y calcular pi, que También contenía el significado profundo del Pensamiento "límite".

A partir del N-gon regular inscrito en un círculo, se puede construir un 2N-gon regular inscrito en él, y el área de este último debe ser mayor que la del primero. Sea la longitud del lado del polígono regular N inscrito L(N), el perímetro C(N) y el área S(N).

De manera similar, para un polígono regular que circunscribe un círculo, el área de un hexágono regular es menor que la de un triángulo regular, el área de un dodecágono regular es menor que la de un hexágono regular ... etcétera.

El área T(N) del polígono regular de N lados que circunscribe el círculo también se puede obtener mediante el método de corte y complemento. Sea la longitud del lado M(N) y el perímetro D(N).

Por muy grande que sea el área del polígono inscrito, no será mayor que el área del círculo, y por pequeña que sea el área del polígono circunscrito, no será menor que el área del círculo. Registra la circunferencia del círculo como y el área del círculo como, así obtenemos la desigualdad

Por otro lado, a medida que aumenta el número de lados, los contornos de los polígonos circunscritos y los polígonos inscritos se ajustan la circunferencia más cercana, es decir, polígonos La circunferencia de está cerca de la circunferencia del círculo 3. Se puede expresar en lenguaje matemático moderno como:

Defina la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro como π, es decir, .

Entonces

Esta es la conocida fórmula para calcular el área de un círculo en la actualidad.

Liu Hui no se quedó ahí. Mediante el arte de la circuncisión, desafió el cálculo de pi.

Para un círculo con un radio de 1, la longitud del lado del hexágono regular inscrito resulta ser 1, así que comenzamos desde aquí. Construye dodecágonos regulares inscritos y polígonos regulares de 24 lados...

No es difícil demostrar a partir del teorema de Pitágoras que existe una relación recursiva entre las longitudes de los lados de polígonos regulares inscritos

Para la operación de raíz cuadrada, es necesario calcular la solución numérica que cumpla con los requisitos de precisión de la operación mediante un método de aproximación (es decir, un método similar al método de Eudoxo para encontrar números irracionales). Sustituyendo la longitud del lado obtenida en la fórmula (1.2) para calcular el área de un polígono regular inscrito, se puede obtener el valor aproximado de pi. Cuantas más iteraciones, menor será la diferencia entre un polígono regular y un círculo, y mayor será la precisión del pi resultante. Como dijo Liu Hui: "Si cortas demasiado fino, perderás muy poco. Si cortas una y otra vez hasta que no se pueda cortar, encajará en el círculo y no se perderá nada". > En el caso de herramientas de cálculo toscas, en la antigüedad, Liu Hui calculó 3072 polígonos solo mediante cálculo y obtuvo una relación pi de 3,1416 que lo satisfizo.

Posteriormente, Zu Chongzhi, un matemático de las dinastías del Norte y del Sur, continuó dividiéndolo en 12.288 polígonos y calculó el área de 24.576 polígonos. Obtuvo un valor aproximado de 3,1415926, que se convirtió en el pi más preciso del mundo por miles. de años.

La idea de “límites” es un paso importante para que la humanidad entre en el ámbito de la ciencia racional.

Ellos, matemáticos y pensadores de la antigua Grecia, China y otros países, han dedicado su arduo trabajo, sudor y sacrificio al desarrollo de la civilización humana. Son dignos de elogio y dignos de recordar.

En la discusión sobre el pensamiento límite de Eudoxo, se introdujo la visión de que "el espacio es continuo".

En primer lugar, está claro que el espacio material real y el espacio teórico abstracto no son conceptos equivalentes, pero la gente los ha considerado equivalentes durante mucho tiempo, porque las primeras teorías científicas, la geometría y el álgebra, ambas en Antigua Grecia y China Ya sean otras civilizaciones, todas se basan en teorías derivadas de la observación del tiempo y el espacio por parte de las personas, es decir, abstraídas de los fenómenos.

La gente "concluyó" que el universo en el que vivimos tiene propiedades.

Estas propiedades no pueden explicarse mediante teorías más básicas y se consideran proposiciones verdaderas evidentes por sí mismas, llamadas Un axioma es en realidad una Hipótesis que precede a todas las pruebas. La teoría del límite de Eudoxo y el sistema de álgebra geométrica de Euclides son autoconsistentes y razonables bajo sus respectivos sistemas de axiomas, y son modelos eficaces para describir el mundo material a nivel cognitivo en ese momento. La física clásica también se basa en un suelo específico, y una vez que se separe de este suelo, no tendrá ningún valor.

La continuidad es teóricamente una premisa importante para la teoría de límites e incluso para el cálculo y el análisis matemático. En el mundo material real, ¿el espacio es continuo o es correcta la descripción del mundo objetivo mediante un sistema teórico basado en la continuidad?

En los tiempos modernos, con la mejora del nivel de observación, la gente tiene una comprensión más profunda del espacio y el tiempo. Varias escuelas de pensamiento tienen opiniones diferentes sobre la naturaleza del espacio real, y aún no hay ninguna conclusión.

En esta columna, el sistema teórico utilizado por el autor sigue basándose en la física clásica. Por lo tanto, las diversas premisas que hacen razonable la física clásica son también las premisas predeterminadas de la teoría y la lógica involucradas en esta columna.

Nota:

1 El quinto postulado es consistente con los hechos objetivos de la geometría plana, pero su expresión no es tan concisa y clara como los otros cuatro postulados. En sus investigaciones, generaciones posteriores de matemáticos propusieron reemplazar el postulado original por el negativo del quinto postulado, pero por casualidad se desarrolló un sistema geométrico no euclidiano.

2 En rigor, la completitud de los números reales fue propuesta formalmente como teorema de análisis en el siglo XIX. Sin embargo, los antiguos matemáticos griegos ya tenían un conocimiento relativamente profundo de la "densidad" de los números y la continuidad del espacio.

3 La discusión aquí no es rigurosa, puedes ver el siguiente ejemplo

El mismo método de usar polígonos para aproximar un círculo es la razón por la que Liu Hui puede obtener el pi correcto usando aproximación de polígono regular, pero el polígono en zigzag de la imagen es incorrecto. La razón es que el núcleo del método de aproximación es hacer que la diferencia entre el resultado aproximado y el objetivo sea infinitesimal. ¿Y cuál es la definición de cantidad infinitesimal? ¿Qué se considera infinitesimal? Este problema también provocó una crisis tras el establecimiento del cálculo. Después de los incansables esfuerzos de Cauchy, Dirichlet, Dedekind, Cantor y otros por establecer un análisis maduro y riguroso, esta pregunta tiene una respuesta.

Cada vértice del polígono regular utilizado por Liu Hui está en la circunferencia. Esta idea de sustituir curvas por líneas rectas es razonable y eficaz, por lo que se obtiene el resultado correcto.

Parte del material de este artículo proviene de "Misterios eternos y dos mil años de astronomía geométrica"/Xiang Wuyi, Zhang Haichao, Yao Heng, 2010.2. Algunas imágenes provienen de Internet.

Texto original de la cuenta oficial