Pregunta sobre colorear, ¿cómo colorear?
Ejemplos de métodos comunes y estrategias para afrontar problemas de coloración
Autor: Zhang Haijun
La disposición y combinación de los "tipos de coloración" es novedosa y está bien concebida. , El método de solución es flexible y puede evaluar mejor la capacidad de los estudiantes para analizar y resolver problemas. El método de resolución de problemas de coloración es altamente calificado y flexible. Este tipo de problema es más propicio para cultivar el pensamiento innovador y la capacidad de análisis y. resolver problemas es un nuevo punto culminante en la reforma de los exámenes de ingreso a la universidad y las preguntas de las pruebas de competencia en los últimos años. La clave para resolver tales problemas es encontrar el punto de avance y llevar a cabo discusiones de clasificación adecuadas. Este artículo utiliza el examen de ingreso a la universidad y. preguntas de competencia en los últimos años como ejemplos para resumir métodos comunes y estrategias de afrontamiento para problemas de coloración.
El ejemplo 1 (volumen de Tianjin en 2021) se muestra en la Figura 1. Utilice cuatro colores diferentes para colorear los seis puntos A, B, C, D y E en la imagen deben pintarse con uno. Existen diferentes métodos de coloración si los dos puntos finales de cada segmento de línea en la imagen están pintados con diferentes colores.
Solución 1: Clasifique B, E, D como categorías principales, paso a paso. Colorear imagen 1
(1) B usa cuatro colores, luego A debe ser del mismo color, C y E deben ser iguales color, por lo que existen métodos A44×1×1=24.
(2) Si B, E y D son de tres colores, entonces B y E son del mismo color, o D y D son del mismo color, o B y D son del mismo color. Si B y E son del mismo color, entonces A tiene dos colores para elegir y C tiene solo un color para elegir. del mismo color, entonces A tiene un color para elegir y C tiene dos colores para elegir, es decir, 2 × A4 × 2 × 1, si B y D son del mismo color, entonces A y C tienen dos colores para elegir; elegir, por lo que hay 2×A4×2×1+A4×2×2=192 tipos.
（）B,, E y D usan dos colores, B y E pueden. solo debe ser del mismo color, D, el mismo color, A y C son diferentes de B y D, hay dos colores para elegir, luego está A24×2×2=48, por lo que hay 24 métodos de coloración diferentes. 192+48=264 tipos.
Solución 2: Clasificar A, B, C, D como categorías principales y pintar paso a paso.
(1) Pintar con cuatro colores allí son cuatro puntos ABCD, entonces E tiene dos colores diferentes de A y D, y dos colores diferentes de B y C, es decir, A44×2×2 (2) Use tres colores para pintar cuatro puntos ABCD, entonces debe haber A , C o B y D son del mismo color Cuando A y C son del mismo color, hay tres métodos de coloración para E, a saber, 2 × A4 × () Use dos colores para pintar los cuatro puntos ABCD, luego A y C son. del mismo color, y B y D son del mismo color, E. Hay dos métodos de coloración, a saber, A24×A22, por lo que hay A44×2×2+2×A4×+A24×A22=264.
La solución se selecciona de acuerdo con el número total. Los colores se clasifican y pintan principalmente paso a paso
La primera categoría, después de pintar tres colores, dos pares deben ser del mismo color, es decir, AC, BE, D o A, BD, CE, hay 2A4=48 tipos; Categoría 2: Después de pintar A, D y E con cuatro colores, deben ser colores diferentes. Hay 4 métodos de pintura de A. Luego elija. una posición de B y C para pintar el cuarto color. Hay 1 tipo de C. Si se selecciona B, será el mismo color que D. C tiene 2 métodos de pintura intermedios. Cuando C es un color diferente de D, hay 1 método de pintura intermedio Por lo tanto, ¿hay A4? Método indirecto 1 (sin considerar si A, E, D y B, C tienen los mismos puntos de color)
Los colores de A, E, D debe ser diferente y los colores de B, C deben ser diferentes. Hay formas A4 de pintar A, E y D primero, y luego B y C. También hay formas A4, por lo que hay como máximo A4. ?A4 formas, pero también excluye la situación en la que A, B son del mismo color, E, el mismo color y D, C son del mismo color. Si solo hay 1 par del mismo color, A y B pueden ser del mismo color. del mismo color Si D es del mismo color, C se puede pintar de 2 maneras. Si D es de diferentes colores, C se puede pintar de 1 manera. Si solo hay 2 pares del mismo color, A y B pueden. ser del mismo color, y E puede ser del mismo color, entonces C tiene 1 forma de pintar, si D es de diferentes colores, C tiene 1 forma de pintar, solo hay un caso. : A4?A4-A4 (C1?+C2?1+1=264 Método
Solución método indirecto 2 (no considere primero si E y E son del mismo color)
Primero usa 4 colores (no es necesario usar todos) para pintar ABCD. Si A y C son del mismo color, entonces B, hay dos formas de pintar D. Si A y C
son colores diferentes, entonces hay dos formas de pintar B y D. Por lo tanto, hay C14?C1?C1+A24?C12?C12=84. Independientemente de si E es de un color diferente, si hay (C14? ¿C1? C1+A24? ¿C12? C12? (C12? C12=6, se debe eliminar E, el mismo color, en este caso, E ocupa un color, y al mismo tiempo usar semillas
Colores (no es necesario usar todos) pintar ABCD Si A y C son del mismo color, entonces hay 2 formas de pintar B y D. Si A y C son colores diferentes, entonces hay 1 forma de pintar B. y D. Entonces E, el mismo color *** C14 (C1?C12?C12+A2=72 entonces *** hay 6-72=264 formas
Teorema 1 Usa m colores diferentes para colorear los n vértices del polígono de n lados A1A2...An ((donde m≥, n≥ y m son una constante), cada punto se tiñe con un color y los vértices adyacentes se tiñen con diferentes colores. ¿Cuántos diferentes? ¿Existen métodos de teñido?
Supongamos que existen diferentes métodos de teñido y especies, ahora descubramos la relación recursiva a través de una distribución razonable y una clasificación adecuada:
Leyenda (volumen nacional de 2 años) ) Como se muestra en la figura, una región se divide en regiones administrativas. Ahora coloree el mapa y requiera que las áreas adyacentes no puedan usar el mismo color. Actualmente hay 4 colores para elegir. p>
La solución 1 debe usar al menos un color según el significado de la pregunta
(1) Cuando se usan tres colores primero, las áreas 2 y 4 deben ser del mismo color.
Las áreas 2 y 4 deben ser del mismo color, por lo que hay tipos A4
(2) Cuando se usan cuatro Al seleccionar colores, si las áreas 2 y 4 son del mismo color,
Ejemplo (Liga Nacional de Matemáticas de 1996) selecciona varios colores de los seis colores diferentes dados para teñir los seis lados de un cubo, cada uno Si la superficie se tiñe con exactamente un color, y cada dos superficies con bordes comunes se tiñen con diferentes colores, entonces hay diferentes esquemas de teñido (Nota: si teñimos dos cubos idénticos, podemos usar el apropiado. Al voltear los dos cubos se obtienen las seis caras correspondientes de la parte superior, inferior, izquierda, derecha, frontal y posterior del dos cubos tienen el mismo color. Entonces, decimos que los esquemas de color de los dos cubos son iguales)
Solución La situación de esta pregunta es más complicada. Clasificaremos y discutiremos cuántos colores se utilizan.
(1) Si solo se usan tres colores, hay C6 formas de elegir un color entre seis colores diferentes, ya que cada dos Si las caras con bordes comunes se tiñen de diferentes colores, entonces las caras opuestas de. todos los cubos son del mismo color. Por la simetría del cubo, solo existe un esquema de teñido, por lo que hay C6 = 2 esquemas de teñido diferentes
(2) Si solo se usan cuatro colores, hay. Hay C46 formas de elegir 4 colores de seis colores diferentes. Solo un lado opuesto es de un color diferente y hay C24 métodos de pintura diferentes. ***Hay C46 × C24 = 9 esquemas de teñido diferentes
(. ) Si solo se utilizan cinco colores, elija un color entre seis colores diferentes. Hay reglas de selección C6. Solo una superficie opuesta tiene el mismo color, también podría definirse como las superficies inferior superior e inferior. métodos y luego los lados Hay tres métodos de recubrimiento, por lo que hay C6 × C1 × = 9 esquemas de teñido diferentes
(4) Uso Si se pinta con seis colores diferentes, los colores en los seis lados serán. Suponiendo que los colores han sido pintados, podemos voltearlos adecuadamente para que las superficies superior e inferior sean todas del mismo color (como el rojo). Luego, considerando la superficie inferior, debe tener un color diferente con el mismo color. en la parte inferior (como el azul), y luego usa los cuatro colores restantes para pintar los lados, ¡hay 4! =! ¡Este tipo de método de recubrimiento tiene ×! = diferentes esquemas de teñido, por lo que hay 2+9+9+=2 esquemas de teñido diferentes en uno ***
Un problema de permutación y combinación que utiliza el color como plataforma, examinando principalmente los principios de clasificación y paso -conteo paso a paso La principal forma de resolver este tipo de problemas es captar la posición específica o la categoría de color general para lograr un avance y colorearlo paso a paso. La clave para resolver el problema es encontrar un estándar determinado de acuerdo con. el significado de la pregunta y clasificar o dividir razonablemente el problema en pasos. Sin embargo, es necesario prestar atención a que la discusión de clasificación sea completa y no omitir nada cuando la clasificación directa o paso a paso sea más complicada. También puede comenzar indirectamente, buscar eventos contradictorios o buscar relaciones recursivas y responder con flexibilidad.