¿Cómo obtiene el método de iteración de Newton la fórmula para la inversión de matrices?
Un problema
Supongamos que A es una matriz dominante diagonalmente dominante y utilice el método de iteración de Newton para encontrar la inversa aproximada de la matriz A.
2. Propósito del experimento:
Estar familiarizado con el entorno de programación MATLAB, dominar el método de programación MATLAB y utilizar el método de iteración de Newton en el curso de análisis numérico para resolver el método aproximado. inversa de la matriz.
Tres principios experimentales:
La fórmula de iteración es xn 1 = xn(2i–axn), y el requisito de convergencia del cálculo iterativo es | 1. Matriz angular dominante A=En este experimento, de acuerdo con las condiciones de convergencia iterativa, tome la matriz X0 = diag(; ingrese una matriz de quinto orden con diagonales dominantes
X0=diag([1/10 , 1/20, 1/30, 1/40, 1/50]); Construya una inversa aproximada usando elementos diagonales
e = Eye(5); Genera una matriz identidad de orden 5*5
p. >Formato e breve; representación de número de punto flotante de 5 dígitos
Para k=1: 6
xn = X0 *(2 * E-A * X0);
er = norma (E-A*X0, inf)
X0 = Xn Cálculo iterativo de Newton
Fin
Formato 5 bits fijo- representación puntual
p>Xn representa el recíproco aproximado de a
Y=inv(A) representa la matriz inversa de A.
Resultados y análisis de datos experimentales:
Después de ejecutar el programa, la visualización es la siguiente:
er =
0.8333
er =
0.1543
er=
0.0104
er=
3.9879e-005
er =
5.8016e-010
er =
2.2833e-016
Xn =
0.1023 -0.0036 -0.0066 0.0003 -0.0020
-0.0097 0.0509 -0.0010 0.0001 -0.0008
-0.0022 -0.0047 0.0336 -0.0017 0.0002
-0.0042. 0035 0,0004 0,0250 -0.0003
-0.0090 -0.0057 0.0001 -0.0000 0.0203
Y =
0.1023 -0.0036 -0.0066 0.0003 -0.0020
-0.0097 0.0509 -0.0010 0.0001 -0.0008
-0.0022 -0.0047 0.0336 -0.0017 0.0002
-0.0042 -0.0035 0.0004 0.0250 -0.0003
-0.0090. 0057 0,0001 -0,0000 0.0203
Observar datos experimentales, matriz La inversa aproximada de A después de seis iteraciones es completamente consistente con la matriz inversa de inv(A) en MATLAB cuando hay cuatro cifras significativas.
Seis conclusiones experimentales:
El número efectivo de dígitos de los datos experimentales aumenta muy rápidamente. Después de 6 iteraciones, el error alcanza 10-16 y la velocidad de convergencia es muy rápida. Las iteraciones cuarta y quinta se ajustan a la tasa de convergencia de segundo orden. La matriz inversa aproximada de la matriz calculada en este experimento es exactamente la misma que la matriz inversa obtenida por inv (A) en MATLAB, con cuatro cifras significativas.
Las razones estimadas son las siguientes: ① Una matriz es estrictamente diagonalmente dominante; ② inv (A) en MATLAB es el método de iteración de Newton.
Siete puntos:
①El método iterativo se utiliza para resolver ecuaciones o matrices grandes y dispersas (hay muchos elementos 0 en esta matriz). ② Ninguno de los elementos de la diagonal principal de la matriz A es cero y el valor del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la fila.
Método de iteración de Newton para calcular la inversa aproximada de una matriz
Un problema
Supongamos que A es una matriz dominante diagonalmente dominante y utilice el método de iteración de Newton para encontrar la matriz A Inversa aproximada.
2. Propósito del experimento:
Estar familiarizado con el entorno de programación MATLAB, dominar el método de programación MATLAB y utilizar el método de iteración de Newton en el curso de análisis numérico para resolver el método aproximado. inversa de la matriz.
Tres principios experimentales:
La fórmula de iteración es xn 1 = xn(2i–axn), y el requisito de convergencia del cálculo iterativo es | 1. Matriz angular dominante A=En este experimento, de acuerdo con las condiciones de convergencia iterativa, tome la matriz X0 = diag(; ingrese una matriz de quinto orden con diagonales dominantes
X0=diag([1/10 , 1/20, 1/30, 1/40, 1/50]); Construya una inversa aproximada usando elementos diagonales
e = Eye(5); Genera una matriz identidad de orden 5*5
p. >Formato e breve; representación de número de punto flotante de 5 dígitos
Para k=1: 6
xn = X0 *(2 * E-A * X0);
er = norma (E-A*X0, inf)
X0 = Xn Cálculo iterativo de Newton
Fin
Formato 5 bits fijo- representación puntual
p>Xn representa el recíproco aproximado de a
Y=inv(A) representa la matriz inversa de A.
Resultados y análisis de datos experimentales:
Después de ejecutar el programa, la visualización es la siguiente:
er =
0.8333
er =
0.1543
er=
0.0104
er=
3.9879e-005
er =
5.8016e-010
er =
2.2833e-016
Xn =
0.1023 -0.0036 -0.0066 0.0003 -0.0020
-0.0097 0.0509 -0.0010 0.0001 -0.0008
-0.0022 -0.0047 0.0336 -0.0017 0.0002
-0.0042. 0035 0,0004 0,0250 -0.0003
-0.0090 -0.0057 0.0001 -0.0000 0.0203
Y =
0.1023 -0.0036 -0.0066 0.0003 -0.0020
-0.0097 0.0509 -0.0010 0.0001 -0.0008
-0.0022 -0.0047 0.0336 -0.0017 0.0002
-0.0042 -0.0035 0.0004 0.0250 -0.0003
-0.0090. 0057 0,0001 -0,0000 0.0203
Observar datos experimentales, matriz La inversa aproximada de A después de seis iteraciones es completamente consistente con la matriz inversa de inv(A) en MATLAB cuando hay cuatro cifras significativas.
Seis conclusiones experimentales:
El número efectivo de dígitos de los datos experimentales aumenta muy rápidamente. Después de 6 iteraciones, el error alcanza 10-16 y la velocidad de convergencia es muy rápida. Las iteraciones cuarta y quinta se ajustan a la tasa de convergencia de segundo orden. La matriz inversa aproximada de la matriz calculada en este experimento es exactamente la misma que la matriz inversa obtenida por inv (A) en MATLAB, con cuatro cifras significativas. Las razones estimadas son las siguientes: ① Una matriz es estrictamente diagonalmente dominante; ② inv (A) en MATLAB es el método de iteración de Newton.
Siete puntos:
①El método iterativo se utiliza para resolver ecuaciones o matrices grandes y dispersas (hay muchos elementos 0 en esta matriz). ② Ninguno de los elementos de la diagonal principal de la matriz A es 0 y el valor del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la fila.