¿Qué es la ecuación del caos?

No podemos dar una introducción completa y profunda al mecanismo del caos o al problema del camino que conduce al caos. Sólo queremos revelar un camino típico que conduce al caos a través de un ejemplo simple, para que así sea. Esto nos da una comprensión más correcta de los fenómenos del caos. Este ejemplo fue dado por el biólogo May en 1976. Refleja la reproducción de los insectos en la ecología. La reproducción de los insectos se puede utilizar como un sistema dinámico. es un concepto amplio, que consta de estado (y da la cantidad que describe el estado) y características dinámicas (reglas de evolución del estado). Supongamos que el número de insectos en la enésima generación de un determinado insecto es nx 1 enésima generación. poblaciones de insectos es 1 nx, entonces la ley de evolución de este insecto se puede expresar como)1(1nnnxxx-= λ, 3, 2, 1=n donde λ es un parámetro, 1 El número de insectos en la n generación es proporcional a se debe restar el número de insectos en la enésima generación y, al mismo tiempo, el número de muertes de insectos causadas por alimentos limitados e infecciones por contacto. Debido a la presencia del término 2nxλ en la ecuación, se convierte en una ecuación iterativa no lineal. Esta relación iterativa también se denomina mapa logístico. Para simplificar, suponga que el rango de valores de nx es y el rango de valores de λ es

1. Cuando se itera desde cualquier valor inicial, generalmente hay un proceso de estado transitorio, pero cuando el número de iteraciones es muy grande, es decir, cuando ∞ → n, la evolución conducirá a un cierto estado final. Nos preocupa el estado final. , y el estado final tiene una gran relación con el valor del parámetro λ. Los resultados del cálculo numérico son los siguientes

El estado final del valor de λ

4.2=λ.

1271== nnxx

(un punto fijo) con un período de 1

2.3=λ

nnxx= 2 <. /p>

0513.05799.0 El periodo es 2.

5.3=λ

nnxx= 1

|←←-

-→→

9500.00875.0

9862.08382.0

| El período es 4.

┇

El período es 16, 8, etc. El proceso de bifurcación de duplicación del período

4~569.3=λ

Es básicamente caótico. región (es decir, el período es ∞), que también tiene ventanas periódicas y tiene una cierta estructura.

Supongamos que ξ = ∞ → nnx, se puede representar la relación entre el conjunto de estados finales ξ y λ. En la Figura 4. (diagrama esquemático, no dibujado a escala). Podemos ver el proceso de generación y desarrollo del caos. Cuando 13gt;gt;λ, el estado final de la iteración es un valor determinado (o punto fijo), sin importar. cuál es el valor inicial, el estado final es el mismo valor. Este valor solo está relacionado con λ y corresponde al valor de λ uno a uno. Por ejemplo, cuando 4.2 = λ, 127 = ξ. , cada iteración vuelve al valor anterior a la iteración, por lo que el período es 1.

Cuando 3449.3gt;gt;λ, puedes ver que la curva cambia de 3=λ y comienza a bifurcarse en 2 ramas. , es decir, habrá 2 valores ξ correspondientes a un valor λ. El estado final es que los dos valores se turnan para tomar valores y regresan al valor original después de 2 iteraciones, por lo que el período es 2.

Cuando 449.3544.3gt;gt;λ, la curva se bifurca aún más y el estado final es que 4 valores se turnan para tomar valores y el período se convierte en 4. Cuando λ continúa aumentando, el La curva continuará bifurcándose y aparecerá El período es 32, 16, 8, etc. Este proceso se llama proceso de bifurcación de duplicación del período

Cuando 569,3 = λ, el período se convierte en ∞, es decir, el. El estado final puede tomar infinitos valores diferentes, el estado final es extremadamente sensible al valor inicial, lo que lo hace impredecible, es decir, los fenómenos caóticos comienzan a aparecer antes de este (es decir, 569,3lt; λ tiempo), el final. El estado es periódico, predecible y no tiene nada que ver con el valor inicial. En el intervalo 4569.3≤≤λ, es básicamente un área caótica, pero no es un área rígida.

bloques, que también incluyen ventanas periódicas y otras estructuras.

Para tener una comprensión perceptiva del fenómeno caótico, enumeramos los resultados del cálculo numérico cuando 4 = λ en la tabla. Los valores son muy pequeños, solo hay una diferencia en el séptimo y octavo decimal. Después de 10 iteraciones, los resultados no son muy diferentes. Después de 50 iteraciones, los resultados son muy diferentes. . La diferencia entre los tres valores iniciales es tan pequeña que puede resultar imposible distinguirlos físicamente y se consideran el "mismo" valor inicial.

En los primeros 10 pasos. En el proceso de iteración, casi tienen la misma ley de evolución, es decir, la evolución es predecible, pero después de 50 iteraciones, los tres valores iniciales "mismos" produjeron resultados muy diferentes, como si la ley de evolución fuera aleatoria. del caos

n ) 1(41nnnxxx-=

0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1

1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0 <. /p>

2 0,921 6 0,921 600 035 8 0,921 600 358 4

10 0,147 836 559 9 0,147 824 444 9 0,147 715 428 1

50 0,277 569 1 0 0,435 057 399 7 0,937 349 588 2

51 0,802 094 386 2 0,983 129 834 6 0,104 139 309 1

52 0,634 955 927 4 0,066 342 251 5 0,373 177 253 6

II. Número de Feigenbaum Chang

En 1978, Feigenbaum descubrió que existe una constante universal en el proceso de bifurcación de duplicación del período. Sea mλ el valor del parámetro del m-ésimo punto de bifurcación. En la figura se ve que bifurcaciones adyacentes El intervalo entre puntos se vuelve cada vez más pequeño a medida que avanza el proceso de bifurcación. A través del cálculo, se encuentra que la relación de los intervalos de bifurcación adyacentes tiende a una constante 9990102609201669.4lim

1

1

1

1==

-

-

-

∞→

δ

λλ

λλ

mm

mm

m

Esta constante es universal, se llama constante de Feigenbaum. El proceso de bifurcación de duplicación del período es un camino típico que conduce al caos. No sólo es el caso del mapeo logístico, los experimentos han demostrado que muchos fenómenos caóticos, como la vibración del péndulo inverso forzado. Los fenómenos de Caos forzados en el movimiento pendular a gran escala se producen a través de este camino, y esta constante universal también existe en estos procesos.

Tres bifurcaciones invertidas

Lo siguiente. explique las estructuras existentes en la zona caótica. Primero, hay una estructura de bifurcación invertida y, en segundo lugar, hay muchas ventanas periódicas.

Cuando el parámetro λ disminuye gradualmente desde 4, se producirá el fenómeno de bifurcación invertida. la zona caótica Al principio, el área caótica es una pieza entera, pero cuando λ disminuye a menos de un valor 6678.3)1(=λ, la pieza única del caos comienza a cambiar y su valor salta de una a otra. Cuando λ disminuye aún más en 6592.3 )2(=λ, 2 piezas del caos se dividen en 4 piezas. λ continúa disminuyendo y se dividirá en 8 piezas, 16 piezas, 32 piezas...etc., valor de bifurcación)3 ()2()1( ,,λλλ converge a .9569.3. Este proceso de bifurcación inversa se muestra en la figura. La relación de espaciado de los valores de bifurcación adyacentes converge al número de Feigenbaum, es decir,

δ

λλ

λλ

=

-

-

-

∞→

)1()(

)()1(lim

mm

mm

m

Cuatro Ventana

Todavía está en la zona caótica de 4569.3≤. ≤λ Hay una ventana (la dibujada en la figura), que representa que cuando λ toma un valor dentro de un cierto rango, el estado final es una solución periódica estable. Este hecho se puede observar en experimentos físicos o cálculos numéricos por computadora. Por ejemplo, en 8856.34828 Hay una ventana en el intervalo .3≤≤λ Cuando 828.3=λ, aparece una solución con período 3 y aparecen tres curvas en el gráfico. A medida que el valor de λ continúa aumentando, el período se duplica. El proceso de bifurcación ocurrirá nuevamente, sucesivamente. El período de aparición es 24, 12, 6, etc., y cada una de las tres primeras curvas evoluciona hacia un área caótica. Hay tres áreas caóticas en cada área caótica, se escenifican eventos inversos. El proceso de bifurcación, y también hay ventanas periódicas en la zona caótica.

Vemos que la evolución en el intervalo 4~1=λ es completamente similar a la evolución en la ventana 8856.3~4828.3=λ. solo la escala es diferente. Esta ventana que comienza en el período 3 se llama ventana 3. Además de esta ventana, hay muchas otras ventanas

Como se mencionó anteriormente, también hay ventanas en la zona caótica dentro de la ventana. 3. Por analogía, se repetirá una evolución similar dentro de esta ventana más pequeña. Por lo tanto, teóricamente se puede imaginar que esta es una hermosa imagen que muestra estructuras autosimilares infinitamente anidadas. Todas ellas ilustran el fenómeno del caos. Es fundamentalmente diferente del azar.

Este capítulo se centra en el fenómeno del caos revelado en la investigación no lineal desde la década de 1960. Surge de sistemas no integrables porque el comportamiento a largo plazo de la solución de la ecuación tiene una influencia muy fuerte en el valor inicial. Durante el mismo período apareció un comportamiento sensible y aparentemente aleatorio, la investigación no lineal también reveló el fenómeno extremo opuesto, y se descubrió la existencia de ondas solitarias (o solitones) generadas a partir de un conjunto de sistemas de productos no lineales y completamente posibles. Las soluciones son regulares y sorprendentemente estables.

Esto demuestra que la no linealidad también juega un papel importante en la producción de orden. Además, los científicos también han encontrado un método general para resolver este tipo de ecuaciones no lineales.