¿Puedo usar nginx sin los puertos 80 y 443?

No. nginx no puede reenviar direcciones URL que no sean los puertos 80 y 443. Los puertos predeterminados para los nombres de dominio http y los nombres de dominio https son 80 y 443. "Puerto" es la traducción libre del inglés port, que puede considerarse como la salida de comunicación entre el dispositivo y el mundo exterior.