¿Qué es la fórmula de transformación de Lorentz?

Esta es la teoría especial de la relatividad, la prueba es la siguiente:

Fórmula y prueba de la relatividad especial

Símbolo de unidad símbolo de unidad

Coordenadas: m (x , y, z) Fuerza: N F(f)

Tiempo: s t(T) Masa: kg m(M)

Desplazamiento: m r Momento: kg *m/s p(P )

Velocidad: m/s v(u) Energía: J E

Aceleración: m/s^2 a Impulso: N*s I

Longitud: m l (L) Energía cinética: J Ek

Distancia: m s(S) Energía potencial: J Ep

Velocidad angular: rad/s ω Momento: N* m M

Aceleración angular: rad/s^2α Potencia: W P

Uno:

Mecánica newtoniana (conocimientos preliminares)

( 1): Fórmula básica de la cinemática de partículas: (1)v=dr/dt，r=r0 ∫rdt

(2)a=dv/dt，v=v0 ∫adt

(Nota: el lado izquierdo de las dos ecuaciones es una forma diferencial y la fórmula de la derecha es una forma integral)

Cuando v no cambia, (1) representa un movimiento lineal uniforme.

Cuando a permanece sin cambios, (2) representa un movimiento lineal uniforme.

Mientras se conozca la ecuación de movimiento de la partícula r=r(t), se pueden conocer todas sus leyes de movimiento.

(2): Dinámica de partículas:

(1) Niu 1: Un objeto sin fuerza se mueve en línea recta a una velocidad uniforme.

(2) Niu 2: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza externa neta e inversamente proporcional a la masa.

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3) Niu 3: La fuerza de acción y la reacción actúan sobre la misma recta como fuerzas iguales y opuestas.

(4) Gravitación universal: La fuerza entre dos partículas es proporcional al producto de la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

F=GMm/r^2, G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

Teorema del momento: I=∫Fdt =p2-p1 (El impulso de la fuerza externa neta es igual al cambio en el momento)

Conservación del momento: Cuando la fuerza externa neta es cero, el momento del sistema permanece sin cambios.

Teorema de la energía cinética: W=∫Fds=Ek2-Ek1 (el trabajo de la fuerza externa combinada es igual al cambio de energía cinética)

Conservación de la energía mecánica: Cuando solo la gravedad sí funciona, Ek1 Ep1=Ek2 Ep2

p>

(Nota: El núcleo de la mecánica newtoniana es F=ma, que es el puente entre cinemática y dinámica. Nuestro objetivo es conocer el movimiento leyes de los objetos, es decir, para resolver la ecuación de movimiento r = r (t), si se conoce la fuerza, se puede obtener a de acuerdo con Niu 2, y luego se puede obtener de acuerdo con la fórmula básica de la cinemática. , si se conoce la ecuación de movimiento r=r(t), se puede obtener a según Niu 2. )

2:

Mecánica relativista especial: (Nota: γ= 1/sqr(1-u^2/c^2), β=u /c, u es la velocidad del sistema inercial)

(1) Principios básicos: (1) Principio de relatividad. : Todos los sistemas inerciales son equivalentes.

(2) Principio de la velocidad constante de la luz: La velocidad de la luz en el vacío es una constante independiente del marco inercial.

(Aquí primero se da la fórmula y luego se da la prueba)

(2) Transformación de coordenadas de Lorentz:

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(3) Velocidad Transformación:

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

V(y)=v( y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2 ))

(4) Efecto escala: △L=△l/γ o dL=dl/γ

(5) Efecto reloj: △t=γ△τ o dt= dτ/γ

(6) Efecto Doppler de la luz: ν(a)=sqr((1-β)/(1 β))ν(b)

(La luz la fuente y el detector se mueven en línea recta.)

(7) Expresión del momento: P=Mv=γmv, es decir, M=γm

(8) Mecánica relativista Ecuación básica. : F=dP/dt

(9) Ecuación masa-energía: E=Mc^2

(10) Relación energía-momento: E^2=(E0)^2 P^2c^2

(Nota: aquí se utilizan dos métodos para demostrarlo, uno en un espacio tridimensional y el otro en un espacio y tiempo de cuatro dimensiones. De hecho, son equivalentes).

Tres:

Prueba tridimensional:

(1) Los axiomas resumidos de experimentos no se pueden probar.

(2) Transformación de Lorentz:

Supongamos que el sistema de coordenadas (sistema A) donde (x, y, z, t) es estacionario, (X, Y, Z, T ) La velocidad del sistema de coordenadas (sistema B) es u y está a lo largo del eje x positivo. En el origen del sistema A, x=0, y la coordenada del origen de A en el sistema B es X=-uT, es decir, X uT=0. Sea x=k(X uT), (1). Y como las posiciones de cada punto en el sistema inercial son equivalentes, k es una constante relacionada con u (en la relatividad general, debido a la curvatura del espacio-tiempo, cada punto). ya no es equivalente, por lo que k ya no es una constante). De la misma manera, el origen del sistema B tiene X=K(x-ut). Según el principio de relatividad, los dos sistemas inerciales son equivalentes. La fórmula debe tomar la misma forma, es decir, k=K. Por lo tanto, X=k(x-ut), (2) Para y, z, Y y Z son independientes de la velocidad, podemos obtener Y=y. , (3). Z=z(4). Sustituyendo (2) en (1) podemos obtener: x=k^2(x-ut) kuT, es decir, T=kt ((1-k^2). /(ku))x, ( 5).(1)(2)(3)(4)(5) satisface el principio de relatividad, y es necesario utilizar el principio de invariancia de la velocidad de la luz para determinar k. Cuando los orígenes de los dos sistemas coinciden, se emite una señal luminosa desde el punto coincidente, entonces x=ct, (c-u) Multiplica las dos ecuaciones y elimina t y T para obtener: k=1/sqr(1-u^). 2/c^2)=γ Sustituya γ nuevamente en las ecuaciones (2)(5) para obtener la transformación de coordenadas:

X=γ(x-ut)

Y=. y

Z=z

T=γ(t-ux/c^ 2)

(3) Transformación de velocidad:

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

=(dx/dt-u)/(1-( dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1- v(x)u/c^2)

En el mismo De esta manera se pueden obtener las expresiones de V(y) y V(z).

(4) Efecto de escala:

Hay una varilla delgada con una longitud l paralela al eje x en el sistema B, luego de X=γ(x-ut) : △X= γ(△x-u△t), y △t=0 (las coordenadas de ambos extremos deben medirse simultáneamente), entonces △X=γ△x, es decir: △l=γ△L, △L =△l/γ

(5) Efecto de lentitud del reloj:

Se puede ver en la transformación inversa de la transformación de coordenadas que t=γ(T Xu/c^2), entonces △t=γ(△T △Xu/c^ 2), y △ La longitud intrínseca, la masa en reposo y el tiempo intrínseco son cantidades objetivas que no cambian con la transformación de coordenadas)

(6) Efecto Doppler de luz: (Nota: El efecto Doppler del sonido es: ν(. a)=((u v1)/(u-v2))ν(b).)

Una fuente de luz emite una luz señal en el origen de la serie B, y hay un detector en el origen de la serie A. Hay dos relojes, cuando los orígenes de los dos sistemas coinciden, el reloj calibrado comienza a cronometrar. La frecuencia de la fuente de luz en la serie B es ν (b), el número de onda es N y el tiempo medido por el reloj en la serie B es △t (b). Del efecto del reloj lento, se puede ver que el el tiempo medido por el reloj en la serie A△ es △t( a)=γ△t(b), (1) El detector comienza a recibir el tiempo en t1 x/c, y el tiempo final es t2 (x v△t(a). ))/c, entonces △t(N)=(1 β )△t(a), (2). El movimiento relativo no afecta el número de onda de la señal luminosa, por lo que el número de onda emitido por la fuente de luz es el. igual que el número de onda recibido por el detector, es decir, ν(b)△t(b)=ν(a)△t (N), (3) De las tres fórmulas anteriores, podemos obtener: ν(a). )=sqr((1-β)/(1 β))ν(b).

(7) Expresión de momento Fórmula: (Nota: dt=γdτ, en este momento, γ=1/sqr (1-v^2/c^2) porque para el punto de partícula dinámico, puede elegirse a sí mismo como sistema de referencia, β=v/c)

Bajo la transformación galileana, Niu 2 mantiene el mismo situación, es decir, no importa en qué sistema inercial, Niu 2 es válido. Sin embargo, bajo la transformación de Lorentz, la forma simple original se vuelve confusa, por lo que es necesario modificar las leyes de Newton para hacer correcciones, el requisito es mantener las. forma concisa original bajo transformación de coordenadas.

En la mecánica newtoniana, v=dr/dt, la forma de r permanece sin cambios bajo la transformación de coordenadas, ((x, y, z en el antiguo sistema de coordenadas)) ((X, Y, Z) en el nuevo sistema de coordenadas )) Siempre que el denominador se reemplace por un invariante (por supuesto, es el tiempo adecuado dτ), se puede corregir el concepto de velocidad. Es decir, sea V=dr/dτ=γdr/dt=γv la velocidad relativista. El impulso de Newton es p=mv. Reemplazar v con V puede corregir el impulso, es decir, p=mV=γmv. Defina M=γm (masa relativista), luego p=Mv. Esta es la cantidad básica de la mecánica relativista: el impulso relativista. (Nota: generalmente no usamos la velocidad relativista, pero usamos la velocidad newtoniana para participar en los cálculos)

(8) Ecuaciones básicas de la mecánica relativista:

Se puede ver en el impulso relativista expresión: F=dp/ dt, esta es la definición de fuerza. Aunque la forma es exactamente la misma que Niu Er, la connotación es diferente.

(La masa es una variable en la teoría de la relatividad)

(9) Ecuación masa-energía:

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp* dr/dt=∫ vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2 mc^2*sqr(1 -v^2/ c^2)-mc^2

=Mv^2 Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

= Mc^2-mc ^2

Es decir, E=Mc^2=Ek mc^2

(10) Relación energía-momento:

E =Mc^2, p=Mv , γ=1/sqr(1-v^2/c^2), E0=mc^2, podemos obtener: E^2=(E0)^2 p^2c^2

Cuatro:

Demostración cuatridimensional:

(1) El axioma no se puede demostrar.

(2) Transformación de coordenadas: basada en el principio de velocidad constante de la luz: dl=cdt, es decir, dx^2 dy^2 dz^2 (icdt)^2=0 es cierto en cualquier sistema inercial. Defina dS como un intervalo de cuatro dimensiones, dS^2=dx^2 dy^2 dz^2 (icdt)^2, (1). Para señales ópticas, dS siempre es igual a 0, pero para dos espacios-tiempo cualesquiera. puntos, dS generalmente no es 0. . dS^2>0 se llama intervalo similar a un espacio, dS^2lt 0 se llama intervalo similar a un tiempo y dS^2=0 se llama intervalo similar a una luz. El principio de relatividad requiere que la forma de la ecuación (1) sea invariante bajo la transformación de coordenadas, por lo que hay invariantes en la ecuación (1) que son independientes de la transformación de coordenadas. El principio de invariancia de la velocidad de la luz dS^2dS^2 requiere. que la señal óptica dS es una invariante bajo transformación de coordenadas. Por lo tanto, bajo las mismas restricciones de los dos principios, se puede sacar una conclusión importante: dS es un invariante bajo transformación de coordenadas.

La fórmula matemática de transformación de rotación es: (mantenga estacionarios los ejes y y z, gire los ejes x e ict)

X=xcosφ (ict)sinφ

icT=-xsinφ (ict)cosφ

Y=y

Z=z

Cuando X=0, x=ut, entonces 0=utcosφ ictsinφ

Obtenemos: tanφ=iu/c, luego cosφ=γ, sinφ=iuγ/c y sustituimos en la fórmula anterior para obtener:

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)( IV)( 5) (6) (8) (10) Brevemente.

(7) Expresión de momento y vector de cuatro dimensiones: (Nota: γ=1/sqr(1-v^2/c^2), dt=γdτ en la siguiente fórmula)

Supongamos que r=(x, y, z, ict), luego reemplace dt en v=dr/dt con dτ, V=dr/dτ se llama velocidad de cuatro dimensiones.

Entonces V=(γv,icγ)γv es el componente tridimensional, v es la velocidad tridimensional e icγ es el componente cuatridimensional.

(Lo mismo se aplica a continuación)

Momento de cuatro dimensiones: P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

Fuerza de cuatro dimensiones: f=dP/dτ =γdP/dt= (γF, γicdM/dt) (F es una fuerza tridimensional)

Aceleración cuatridimensional: ω=/dτ=(γ^4a, γ^4iva/c)

Entonces f=mdV /dτ=mω

(9) Ecuación masa-energía:

fV=mωV=m(γ^5va i^2γ^5va )=0

Por lo tanto, la fuerza tetradimensional y la velocidad tetradimensional son siempre "perpendiculares" (similar a la fuerza del campo magnético de Lorentz)

De fV=0: γ^ 2mFv γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v es un vector tridimensional, y Fv=dEk/dt (expresión de potencia))

Entonces dEk/dt=c^2dM/ dt es ∫dEk=c^2∫dM, es decir: Ek=Mc^2 -mc^2

Entonces E=Mc^2=Ek mc^2