Sistema de coordenadas polares y análisis de rotación de coordenadas
Resumen: La transformación de coordenadas es una herramienta útil en geometría analítica. Mediante traslaciones y rotaciones apropiadas de los ejes de coordenadas, cualquier ecuación cuadrática se puede reducir a la ecuación estándar de una sección cónica (o su caso especial). Sin embargo, la simplificación de ecuaciones es muy engorrosa y el uso de sistemas de coordenadas polares puede simplificar enormemente la solución del problema.
Palabras clave: matemáticas; coordenadas polares; transformación de coordenadas
Primero introduzca dos conocimientos básicos
1. Rotación del eje polar
Si la "posición" del polo, la unidad de longitud y la dirección positiva del ángulo permanecen sin cambios, y el eje polar gira un ángulo alrededor del polo, esta transformación del El sistema de coordenadas se llama rotación del eje polar.
Como se muestra en la figura siguiente, OX es el eje polar original y OX es el nuevo eje polar obtenido después de girar un ángulo alrededor del polo O. Sea p cualquier punto del plano y su? Las coordenadas antiguas son, Las coordenadas son. Su relación de coordenadas antigua y nueva es:
2 Tome el centro del círculo de la ecuación de coordenadas polares cónicas como polo
Tome el origen del sistema de coordenadas rectangulares como polo. , y tome la dirección positiva del eje x como eje polar y tome las mismas unidades de longitud en ambos sistemas de coordenadas.
3. Simplificación de ecuaciones cuadráticas generales
Porque la simplificación de ecuaciones cuadráticas generales requiere tanto la rotación del eje de coordenadas como la traslación del eje de coordenadas, y la traslación de la coordenada. eje Es muy sencillo utilizar las ecuaciones de traslación habituales en el sistema de coordenadas cartesiano. Por lo tanto, al simplificar dichas ecuaciones, puede utilizar las coordenadas polares anteriores. Por lo tanto, al simplificar estas ecuaciones, puede utilizar las coordenadas polares mencionadas anteriormente. La rotación de coordenadas en el sistema de coordenadas se combina con la traslación de coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano. Por analogía, según el orden habitual, es decir, la curva centrada primero se traslada y luego gira; la curva sin centros primero gira y luego se traslada.
Referencias:
[1] Ji Suyue. Introducción a la Enseñanza de las Matemáticas. Southeast University Press, abril de 2000
[2] Tutorial de geometría analítica, agosto de 2002