Bases teóricas de la tomografía
1. Transformada de radón y tomografía sísmica
Supongamos que existe una función continua desconocida f(x, y) en el dominio bidimensional, y dejemos que el sistema de coordenadas Oxy gire en sentido antihorario φ. para formar el sistema de coordenadas OPS, como se muestra en la Figura 13-1-1. Haga una integral de línea de f(x, y) a lo largo de L paralela al eje s y configúrela en
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La línea recta L1 en la fórmula se define de acuerdo con la siguiente ecuación
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Hay muchos tipos de observaciones sísmicas que se pueden expresar como integrales de línea como se muestra en (13- 1-1), como f(x, y) es la lentitud (recíproca de la velocidad) u, entonces representa el tiempo de viaje, es decir
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La ecuación (13-1-1) se puede expresar mediante la función delta:
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¿Dónde está el vector unitario en la dirección positiva de el eje P, y es la proyección de r(x, y) en el eje P. Para, en general. Combinando las ecuaciones (13-1-1) y (13-1-4) tenemos
La tecnología de análisis y procesamiento de señales digitales geofísicas es la proyección de f(x, y) a lo largo del rayo L1 cuando el El ángulo es el valor φ, proyectado a lo largo de muchos rayos L1, L2,..., Lt, formando una función de proyección, como se muestra en la Figura 13-1-1.
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Figura 13-1-1 Distribución geométrica y variables en proyección de rayos rectos
Cambiar el ángulo φ dará como resultado una Serie de funciones de proyección. Llamamos a f(x, y) modelo o función objetivo, y la ecuación (13-1-5) se llama transformación directa de radón. Cuando se utiliza para inferir el "modelo", es decir, cuando se repite la fórmula (13-1-5), se llama formación de imágenes o reconstrucción de imágenes. Hay varias fórmulas que se pueden usar para transformar inversamente la ecuación (13-1-5), es decir, f (x, y) se puede obtener de . Aunque estas fórmulas son analíticamente equivalentes, sus resultados numéricos no son los mismos para datos discretos. Son estas diferencias las que reflejan las dificultades de la inversión numérica.
Supongamos que la función de proyección se convolucione con una determinada función del núcleo y se puede obtener la función de proyección convolucionada:
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A Las series de Gφ(t) se retroproyectan para obtener la función objetivo:
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La operación de la fórmula (13-1-7) puede considerarse como El ángulo de proyección φ se utiliza para la retroproyección, es decir, los datos filtrados se proyectan hacia atrás a lo largo de la dirección del rayo. Para todas las proyecciones, estas funciones están integradas (o sumadas). A la fórmula (13-1-7) la llamamos transformada de radón (abreviada como IRT).
Durante la retroproyección de imágenes, para eliminar el "efecto halo lunar", se requiere un filtrado adecuado. La transformada de radón formada por la retroproyección filtrada es
Análisis de señal digital geofísica. y tecnología de procesamiento
Para una aplicación práctica, la ecuación (13-1-8) debe discretizarse y limitarse. Además de los haces de rayos paralelos, los dispositivos de proyección se utilizan más comúnmente para haces de rayos en forma de abanico. La Figura 13-1-2 es un diagrama esquemático de la proyección de un haz de rayos en forma de abanico.
Figura 13-1-2 Proyección del rayo sectorial
Figura 13-1-3 Diagrama del sistema de coordenadas
2 Teorema de corte de proyección
Supongamos que la función objetivo es f(x, y) y la función de proyección satisface la transformación de radón. En el sistema de coordenadas de la Figura 13-1-3, la transformada de Fourier unidimensional de la función de proyección es
En el sistema de coordenadas OUV, la transformada bidimensional de Fourier de f(r, s) es
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En la Figura 13-1-3, Oxy es el origen de las coordenadas, y en la línea recta con ángulo φ, u=0, entonces
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La ecuación (13 -1-11) se llama teorema del corte de proyección, es decir, la transformada de Fourier unidimensional de la función de proyección con ángulo φ es igual al corte formado por el ángulo φ de los dos- Transformada dimensional de Fourier de la función objetivo.
El teorema de corte de proyección de la ecuación (13-1-11) proporciona un método de reconstrucción de imágenes. Al realizar la transformada de Fourier unidimensional en funciones de diferentes proyecciones se puede obtener f*(v, φ) expresada en coordenadas polares en el dominio del número de onda. Es decir, para un ángulo de proyección fijo φ, la transformada de Fourier unidimensional de los datos de proyección. puede dar Devuelve el valor de la transformada de Fourier del modelo en un segmento que pasa por el origen del dominio del número de onda.
Al discretizar la ecuación (13-1-11) y realizar la inversión numérica, los datos en la cuadrícula de coordenadas polares deben interpolarse para obtener el valor numérico f*(u, v) en la cuadrícula rectangular en el dominio requerido, y finalmente usar dos Transformada de Fourier -dimensional para obtener el mapa digital de la función objetivo f(x, y).
En exploración sísmica, el registro sísmico es la proyección de los pares de ondas excitadas por la fuente del terremoto a través del área media (campo de velocidades). Al realizar la transformada de Fourier sobre proyecciones (registros sísmicos) de diferentes direcciones, se obtiene la transformada de Fourier bidimensional de la función de coordenadas (campo de velocidades) del área de estudio, y luego se obtiene la transformada inversa de Fourier bidimensional para obtener la velocidad. distribución del área de estudio.
3. Teoría de los rayos de las ondas sísmicas
Dado que los rayos de las ondas sísmicas reales no son líneas rectas, el tiempo de viaje de observación t de las ondas elásticas se puede expresar como la integral de línea a lo largo de la rayos de ondas elásticas, es decir
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En la fórmula, v es la velocidad de propagación de la onda elástica y ds es la elemento de arco del rayo de onda. Si se introduce lentitud, la ecuación (13-1-12) se puede expresar como
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Utilice transformación lineal para expresar la ecuación anterior:
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R es un operador relacionado con la trayectoria del rayo. Si el rayo de onda es una línea recta, se llama operador de radón. La transformación inversa del operador radón R se escribe como R-. Si la línea de onda es una línea recta, se puede obtener un tiempo de viaje de onda elástica correspondiente t para líneas de onda desde todas las direcciones en cualquier punto del objeto sin error, entonces la transformación inversa R- del operador radón se puede escribir como
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En la fórmula, B es el operador de proyección, D es el operador diferencial y H es el operador de transformada de Hilbert.
La ecuación (13-1-15) es la base teórica de la tecnología CT. Si se utiliza en la tecnología de tomografía sísmica, es necesario encontrar métodos de procesamiento de datos. Si se discretiza la ecuación (13-1-14), los elementos de arco de la curva en el rango local se pueden tratar como líneas rectas y el tiempo de viaje no causará grandes errores. Además, si los puntos de transmisión y recepción se colocan con suficiente densidad alrededor del objeto, se pueden obtener los tiempos de viaje de las ondas en todas las direcciones. Esto es fácil de obtener en TC, pero en tomografía sísmica, el impacto de diferentes sistemas de observación y diferentes volúmenes de datos en la tomografía se puede evaluar de antemano.
Al procesar datos de tomografía sísmica, el área de estudio debe dividirse en muchas cuadrículas (píxeles). Supongamos que la lentitud de la j-ésima cuadrícula es uj y que el tiempo de llegada de la onda medido también está discretizado. Si la longitud de la trayectoria del rayo i en la j-ésima cuadrícula es δij, entonces la ecuación (13-1-14) se puede discretizar como
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En En la fórmula, ti representa el tiempo de viaje de la i-ésima línea de onda desde la fuente hasta el punto receptor. Suponiendo líneas de onda I y cuadrículas J, R en (13-1-14) puede entenderse como la matriz de transformación lineal entre los vectores t y U:
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Si se conoce la línea de onda, se puede determinar la matriz R. Invertir (13-1-14) se reduce a encontrar la matriz inversa R- de R. Por supuesto, debido a la gran cantidad de datos de observación y al error en los valores de observación, la matriz formada es grande y escasa, fuertemente sobredeterminada o subdeterminada e inconsistente, por lo que R- no se puede calcular directamente. Esto requiere el desarrollo de soluciones aproximadas a problemas de tomografía sísmica, como métodos de procesamiento iterativos. Dado que hay errores tanto en los modelos como en los datos, la gente normalmente no presta atención a las soluciones de alta precisión, pero los métodos prácticos iterativos pueden dar una solución aceptable mediante operaciones geométricas.
En el trabajo real, los rayos ondulatorios son generalmente desconocidos. En el procesamiento iterativo, generalmente intervienen el procesamiento de filas (RA) o la reconstrucción algebraica (ART). Si se puede dar una Ui que sea lo suficientemente cercana a la distribución de lentitud real, Ri+1 se puede calcular a partir de Ui mediante el método de onda-rayo, y luego se puede calcular Ui+1 mediante la inversión anterior, y la base se puede modelar y se itera repetidamente para que el tiempo de viaje calculado a partir de la lentitud sea el mismo que El tiempo de viaje observado t es suficientemente cercano. Siempre que la distribución inicial U0 esté lo suficientemente cerca de la distribución real U, este método iterativo se puede resolver.