¿Cómo entender y dominar el concepto de logaritmos y sus propiedades operativas?

El concepto de 1 logaritmo

Si la potencia b de a(agt; 0, y a≠1) es igual a N, es decir, ab=N, entonces el número b se llama a El logaritmo de la base N se registra como: logaN=b, donde a se llama base del logaritmo y N se llama número real.

Se sabe por la definición:

① No hay emparejamiento entre números negativos y cero;

②agt; 0 y a≠1, Ngt;

③loga1=0, logaa=1, alogaN=N, logaab=b.

Específicamente, el logaritmo con base 10 se llama logaritmo común, denotado como log10N, abreviado como lgN; el logaritmo con número irracional e (e). =2,718 28...) como base se llama logaritmo natural, denotado como logeN, abreviado como lgN Registrado como lnN.

Interconversión de 2 logaritmos y expresiones exponenciales

Nombre de la fórmula abN Expresión exponencial ab=N (base) (exponente) (valor de potencia) logaritmo logaN= b (base) (logaritmo) (número real)

3 Propiedades operativas de los logaritmos

Si agt; 0, a≠1, Mgt; 0, Ngt; 0, entonces

(1)loga(MN)=logaM logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN .

(3)logaMn=nlogaM (n∈ R).

Pregunta: ①¿Por qué deberíamos agregar la condición agt; a≠1, Mgt 0, Ngt; en la fórmula?

②logaan=? (n∈R)

③Comparación de logaritmos y exponenciales (Los estudiantes completan el formulario)

Fórmula ab=NlogaN. =b Nombre a—la base de una potencia

b—

N—a—La base de logaritmos

b—

N—Operación

Operación

Calidad am·an=am n

am÷an=

(am)n=

(agt; 0 y a ≠1, n∈R)logaMN=logaM logaN

logaMN=

logaMn=(n∈ R)

(agt; 0, a≠1, Mgt; 0, Ngt; 0)

Avance de puntos difíciles y dudosos

En la definición de logaritmos, ¿por qué es necesario estipular que a>0 y a≠1?

Las razones son las siguientes:

①Si a<0, entonces algunos valores de N no existen, como log-28?

②Si a=0, entonces b no existe cuando N≠0 existe; cuando N=0, b no es único y puede ser cualquier número positivo.

③Si a=1, entonces b no existe cuando N≠1; cuando N=1, b no es único y puede ser ¿Algún número positivo?

Para evitar lo anterior situaciones, ¿se estipula que la base del logaritmo es un número positivo distinto de 1?

Métodos y habilidades para la resolución de problemas

1

(1 ) Escribe las siguientes expresiones exponenciales como logaritmos:

①54=625; ②2-6=164; ③3x=27; ④13m=5?73.

(2) Escribe el siguiente logarítmico; fórmula en fórmula exponencial:

①log1216=-4; ②log2128=7;

③log327=x; ④lg0.01=-2;

⑤ln10=2.303; ⑥lgπ=k.

El análisis se define mediante logaritmos: ab=N?logaN=b.

Respuesta (1) ①log5625=4 ②log2164=-6.

③log327=x.④log135.73=m.

Método de resolución de problemas

La conversión mutua de expresiones exponenciales y logarítmicas debe ser y Simplemente ceñirse a la definición de logaritmo: ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3

x=27.

④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.

2

Encuentra el valor de x según la siguientes condiciones:

(1)log8x=-23; (2)log2(log5x)=0;

(3)logx27=31 log32; )= -1.

Analizar (1) convertir logarítmicamente la expresión exponencial en: x=8-23=?

(2)log5x=20=1. / p>

(3)31 log32=3×3log32=?27=x?

(4)2 3=x-1=1x=?

Respuesta (1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1, x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6,

∴x6=27=33=(3)6, entonces x=3.

(4) 2 3=x-1=1x, ∴x=12 3=2-3.

Habilidades para resolver problemas

①La idea de transformación es una idea matemática importante, los logaritmos y exponentes Las fórmulas están estrechamente relacionadas Al resolver problemas relacionados, las dos formas a menudo se transforman entre sí.

② Aplicación competente de fórmulas: loga1=0, logaa=1, alogaM=M, logaan=. n.3

Dado logax=4, logay=5, encuentre el valor de A=[x·3x-1y2]12.

Idea de análisis uno, dado el valor de expresión logaritmica. Para requerir el valor de una fórmula exponencial, puedes convertir la fórmula logarítmica en una fórmula exponencial y luego usar la fórmula exponencial para evaluarla;

La segunda idea es tomar el logaritmo de la misma base en ambos lados de la fórmula exponencial y luego use la fórmula logarítmica Evaluación computacional de x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

Solución dos: toma el logaritmo de ambos lados de la expresión exponencial con a como base

p>

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay= 512×4-13×5=0,

∴A=1.

Habilidades para resolver problemas

A veces las operaciones logarítmicas son más convenientes que las operaciones exponenciales. Por lo tanto, para fórmulas que aparecen en forma de exponenciales, puedes usar el método de tomar logaritmos para convertir operaciones exponenciales en operaciones logarítmicas. 4

Supongamos que x e y son números positivos y que x·y1 lgx. =1 (x≠110), encuentre el rango de valores de lg(xy).

Analizar una ecuación La fórmula contiene dos variables x e y Para cada número positivo determinado x, la ecuación tiene un positivo único. número y correspondiente a él Por lo tanto, y es una función de x, por lo que lg (xy) también es una función de x. Por lo tanto, encontrar el rango de valores de lg (xy) es en realidad una cuestión de encontrar el rango de la función. ¿Podemos establecer esta relación funcional? ¿Podemos también tomar logaritmos en ambos lados de la ecuación conocida?

Respuesta: ∵xgt 0, ygt 0, x·y1 lgx=1,

Es decir, lgy=- lgx1 lgx(x≠110, lgx≠-1).

Sea lgx=t, entonces lgy=-t1 t(t≠-1).

∴lg(xy) =lgx lgy=t-t1 t=t21 t.

Reglas para la resolución de problemas

Tomar logaritmos en ambos lados de una ecuación es una forma común y efectiva de resolver problemas que involucran el método de expresiones exponenciales y logarítmicas; y la sustitución de variables puede transformar problemas más complejos en otros más simples. t21 t, y la ecuación t2-St-S=0 acerca de t tiene una solución en números reales.

∴

Δ=S2 4S≥0, la solución es S≤-4 o S≥0,

Entonces el rango de valores de lg(xy) es (-∞,-4〕∪〔0,∞).

5

Evaluación:

(1)lg25 lg2·lg50 (lg2)2;

(2)2log32-log3329 log38 -52log53;

(3) Suponga que lga lgb=2lg(a-2b), encuentre el valor de log2a-log2b;

(4) Encuentre el valor de 7lg20·12lg0. 7.

Análisis (1) 25=52, 50=5×10 Todos se transforman en la relación entre lg2 y lg5.

(2) se transforma en la relación. entre log32.

(3) El log2a-log2b=log2ab requerido da la relación entre a y b a partir de la ecuación conocida. ¿Se puede obtener el valor de ab a partir de él?

( 4) 7lg20·12lg0.7 es el producto de dos potencias exponenciales, y el exponente contiene logaritmos comunes.

Suponiendo x=7lg20·12lg0.7, ¿podemos encontrar lgx primero y luego x?

Respuesta (1) Fórmula original=lg52 lg2·lg(10×5) (lg2)2

=2lg5 lg2·(1 lg5) (lg2)2

= lg5·(2 lg2) lg2 (lg2)2

=lg102·(2 lg2) lg2 (lg2)2

=(1-lg2)(2 lg2) lg2 ( lg2 )2

=2-lg2-(lg2)2 lg2 (lg2)2=2.

(2)Fórmula original=2log32-(log325-log332) log323-5log59

=2log32-5log32 2 3log32-9

=-7.

(3) Se sabe que lgab=lg(a-2b)2 ( a- 2bgt; 0),

∴ab=(a-2b)2, es decir, a2-5ab 4b2=0.

∴ab=1 o ab=4, aquí agt; 0 , bgt; 0.

Si ab=1, entonces a-2blt; ∴ab=1 (descartado).

∴ab=4,

∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.

(4) Supongamos x=7lg20·12lg0.7, entonces

lgx=lg20×lg7 lg0. 7×lg12

=(1 lg2)·lg7 (lg7-1)·(-lg2)

=lg7 lg2=14,

∴x= 14, entonces Fórmula original = 14.

Reglas de resolución de problemas

①La regla de operación de los logaritmos es la base para realizar operaciones logarítmicas con la misma base. La regla de operación de los logaritmos es la siguiente. Hay dos lados de la ecuación. Al usar reglas para transformar logaritmos, debe prestar atención a si el rango de números verdaderos de logaritmos ha cambiado para evitar la suma de raíces, como por ejemplo. (3).

② Encuentre primero una expresión. Su valor logarítmico comúnmente usado y luego encontrar el valor de la fórmula original es un método comúnmente usado en operaciones algebraicas, como (4).6

Demuestre (1) logaN=logcNlogca(agt; 0, a≠1, cgt ;0,c≠1,Ngt;0);

(2)logab·logbc=logac;

(3)logab=1logba(bgt;0,b≠1) ;

(4)loganbm=mnlogab.

Análisis (1) Suponga logaN= b para obtener ab=N, y toma el logaritmo de ambos lados con c como base para encontrar b. Prueba:

También se puede reemplazar logbc en (2) por el logaritmo con a como base.

>

(3) Aplique (1) para cambiar logab al logaritmo con base b.

(4) Aplique (1) para cambiar loganbm al logaritmo con base a.

Respuesta (1) Supongamos logaN=b, entonces ab=N, tomamos el logaritmo de base c en ambos lados: b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca.∴ logaN=logcNlogca.

(2) De (1) logbc=logaclogab.

Entonces logab·logbc=logab·logaclogab=logac.

(3) De (1)logab =logbblogba=1logba.

Reglas de resolución de problemas

En (1), logaN=logcNlogca se llama fórmula base logarítmica, (2)(3)(4) Es una corolario de (1), y a menudo se usan en operaciones logarítmicas y pruebas de ecuaciones que contienen logaritmos. Para la fórmula de cambio de base de los logaritmos, uno debe ser bueno usándola tanto directa como inversamente. loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.

7

Se sabe que log67=a, 3b=4, encuentre log127.

El análisis se basa en el significado de la pregunta a, b es una constante para encontrar log127, debe usar a, b para representar log127 y 3b = 4, es decir, log34 = b. ¿Se puede convertir log127 en un logaritmo con base 6? y luego en un logaritmo con base 3?

La solución se conoce log67=a, log34=b,

∴log127=log67log612=a1 log62.

Y log62=log32log36=log321 log32,

De log34=b, obtenemos 2log32=b.

∴log32=b2, ∴log62=b21 b2=b2 b.

∴log127=a1 b2 b=a(2 b)2 2b.

Habilidades para resolver problemas

Usa condiciones conocidas para encontrar el valor del logaritmo. use la fórmula de cambio de base y las reglas de operación del logaritmo, y use las condiciones conocidas para calcular el logaritmo. Expréselo, ¿es este un método y una técnica comunes? 8

Se sabe que x, y, z∈. R, y 3x=4y=6z.

(1) Encuentre el valor p de 2x=py;

(2) Encuentre el valor entero más cercano a p;

(3) Verifique: 12y=1z-1x.

Análisis completado Sabiendo que la ecuación continua de potencias exponenciales está dada en la condición, ¿podemos introducir la cantidad intermedia m y luego usar m para representar x? , y y z respectivamente. También me pregunto, ¿podemos usar el método logarítmico para resolver la ecuación exponencial?

Respuesta (1) Solución 1: 3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x =2ylog34=ylog316,

∴p=log316.

Solución 2: Supuesto 3x=4y=m, toma el logaritmo:

x·lg3=lgm , ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3, y=lgmlg4, 2x=2lgmlg3, py= plgmlg4.

De 2y=py, obtenemos 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.

(2)∵2=log39lt; log316lt;log327=3,

∴2lt;plt;3.

También 3-p=log327-log316=log32716,

p-2=log316 -log39=log3169,

y 2716lt;169,

∴log32716lt;log3169,∴p-2g

t; 3-p.

∴El número entero más cercano a p es 3.

Ideas para resolver problemas

①Aboga por múltiples soluciones a un problema. diferentes métodos, la aplicación de diferentes conocimientos o el uso flexible de un mismo conocimiento, no solo diversifican el pensamiento, sino que también mejoran la capacidad de analizar y resolver problemas, ¿por qué no hacerlo?

②( 2) implica comparar el tamaño de dos logaritmos. Esta es la razón de dos logaritmos con la misma base. Como la base es 3gt;1, el logaritmo con un número real mayor es mayor. El problema se transforma en comparar el tamaño de dos números reales. , aquí la monotonicidad de la función logarítmica se aplica de antemano para alentar a los estudiantes a aprender con anticipación y su entusiasmo por el aprendizaje consciente (3) Solución 1 Sea 3x=4y=6z=m, ya que x, y, z∈R, <. /p >

∴kgt; 1, entonces x=lgmlg3, y=lgmlg4, z=lgmlg6,

Entonces 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm, 12y=12· lg4lgm= lg2lgm,

Entonces 12y=1z-1x.

Solución 2: 3x=4y=6z=m,

Entonces hay 3=m1x①, 4=m1y②, 6=m1z③,

③÷①, obtenga m1z-1x=63=2=m12y.

∴1z-1x=12y.

9

Se sabe que los números positivos a y b satisfacen a2 b2=7ab Verificar: logma b3=12(logma logmb)(mgt; 0 y m≠1).

Agt analíticamente conocido; 0 , bgt; 0, a2 b2=7ab. Los números reales en la fórmula de verificación solo contienen expresiones lineales de a y b. ¿Se pueden convertir las expresiones lineales en números reales a cuadráticas? expresiones y luego aplicar a2 b2=7ab?

Resolver logma b3=logm(a b3)212=

Habilidades para resolver problemas

①Convertir un b3 en el segundo orden para facilitar la aplicación de a2 b2=7ab es el consejo uno.

②Utilice a2 b2=7ab para convertir la suma de números reales en el producto de ab, de modo que las propiedades de las operaciones logarítmicas puedan ser Consejo dos.12logma b32=12logma2 b2 2ab9.

∵a2 b2=7ab,

∴logma b3=12logm7ab 2ab9=12logmab=12(logma logmb),

Es decir, logma b3=12(logma logmb).

Pensando en expansión y divergencia

1

El grupo de interés en matemáticas estudió específicamente la relación entre notación científica y logaritmos de uso común. Supongamos que el número real N = a × 10 n, entre ellos, Ngt; 1 ≤ alt, n∈Z. ¿Se refleja su naturaleza científica? Sólo necesitamos estudiar el logaritmo común del número N para revelar el misterio.

El análisis se basa en lo conocido, tome el logaritmo común para N=a×10n, lgN. =n lga ¿Cuál es la conexión entre números reales y logaritmos?

Respuesta lgN=lg(a×10n)=n lga.n∈Z, 1≤alt; >∴lga∈[0, 1).

Llamamos al número entero n el dígito principal del logaritmo común de N, lga se llama mantisa del logaritmo común de N. Es un decimal puro positivo. o 0.

Resumen: ① El dígito principal de lgN es el exponente de 10n en N, y la mantisa es lga, 0≤lgalt

②Diferentes números positivos con el; Los mismos dígitos significativos tienen la misma mantisa de sus logaritmos comunes, pero el primer dígito es diferente;

③Cuando N≥1, el número principal n de lgN es 1 menor que sus dígitos enteros cuando N∈(0. ,1), el número inicial n de lgN es un entero negativo y el primer punto decimal después de |n|-1 y N no es 0. El número de ceros antes de cifras significativas es el mismo.

Profesor -interacción estudiantil

¿Qué es la notación científica?

p>

Ngt; 0, ¿cuál es la conexión entre la mantisa principal de lgN y a×10n?

¿Cuáles son los mismos logaritmos comunes de diferentes números positivos con los mismos dígitos significativos? ¿Cuál es la diferencia?

2

Si el primer dígito de lgx es 9 mayor que el primer dígito de lg1x, la mantisa de lgx es menor que la mantisa de lg1x en 0?380 4, y lg0 .203 4=1.308 3, Encuentra los valores de lgx, x, lg1x.

Análisis ①lg0.203 4=1?308 3, es decir, lg0.203 4=1 0.308 3, 1 es el número principal del logaritmo, 0.308 3 es el logaritmo. La mantisa de es un decimal puro positivo ② Si lgx=n lga, entonces lg1x también se puede expresar.

Respuesta: Supongamos que lgx=n lga, de acuerdo al significado de la pregunta, lg1x=(n-9) (lga 0.380 4).

También lg1x=-lgx=-(n lga),

∴(n- 9) (lga 0?380 4)=-n-lga, donde n -9 es el número principal, lga 0?380 4 es la mantisa, -n-lga=-(n 1) (1-lga), - (n 1) es el número principal 1-lga es la mantisa, entonces:

n-9=-(n 1)

lga 0.380 4=1-lga?n= 4,

lga=0.308 3.

∴lgx=4 0.308 3=4.308 3,

∵lg0.203 4=1.308 3, ∴x= 2.034×104.

∴lg1x=-(4 0.308 3)= 5.691 7.

Reglas de resolución de problemas

Considere el dígito principal y la mantisa de lgx y el dígito principal y la mantisa de lg1x como números desconocidos, y formule ecuaciones de acuerdo con la relación de equivalencia del problema. Entonces: El número principal del mismo logaritmo es igual al número principal y la mantisa es igual a la mantisa. el valor de la incógnita es un método común para resolver este tipo de problemas 3

Cálculo:

(1)log2 -3(2 3) log6(2 3 2-3. );

(2)2lg(lga100)2 lg(lga).

En análisis (1).2 3 ¿Cómo se relaciona con 2-3? 3 doble radical, ¿cómo simplificarlo?

El denominador en (2) no se puede simplificar, ¿se puede simplificar el numerador?

Métodos de resolución de problemas

Revise el problema detenidamente, comprenda el significado del problema, comprenda las características, encuentre ideas y métodos claros para la resolución del problema y no se deje intimidar por la aparente complejidad y dificultad. Respuesta (1) Fórmula original = log2-3(2-. 3)-1 12log6(2 3 2-3)2

=-1 12log6(4 22 3·2-3)

=-1 12log66

=-12.

(2) Fórmula original=2lg(100lga)2 lg(lga)=2〔lg100 lg(lga)〕2 lg(lga)=2〔 2 lg(lga)〕 2 lg(lga)=2.

4

Se sabe que log2x=log3y=log5zlt;0, compara los tamaños de x, 3y y 5z.

4

Se sabe que log2x=log3y=log5zlt;0. p>

Analíticamente, se sabe que es una ecuación logarítmica. Lo que hay que comparar es la expresión radical. La expresión radical se puede convertir en una potencia exponencial. Por lo tanto, la ecuación logarítmica debe convertirse en una expresión exponencial.

Resolver Supongamos que log2x=log3y=log5z=mlt; x=2m, y=3m, z=5m.

x=(2)m, 3y=(33)m, 5z=(55)m.

Solo lo siguiente necesita comparar los tamaños de 2 y 33, 55:

(2)6=23=8, (33)6=32= 9, entonces 2lt; (2)10=25=32, (55)10=52=25,

∴2gt 55.

∴55lt;2lt;33. También mlt;0,

La Figura 2-7-1 examina la función exponencial y=(2)x, y=(33)x, y=(55)x en ¿La imagen de los dos cuadrantes, como se muestra en la Figura 2-7-1?

Reglas de resolución de problemas

①La idea de transformación es una idea matemática importante, y los logaritmos y los exponentes están estrechamente relacionados Al resolver problemas relacionados, debemos prestar total atención a esta relación y a la conversión mutua de logaritmos y exponenciales.

② Para comparar los tamaños de potencias exponenciales con el mismo exponente pero con diferentes bases. (la base es mayor que 0), múltiple ¿Comparar las propiedades de la función exponencial en el primer cuadrante (exponente mayor que 0) o el segundo cuadrante (exponente menor que 0) en el mismo sistema de coordenadas?

① es y = (55) x, ② es y = (2) x, ③ es y = (33) x Cuando el índice es 0, la imagen está en el segundo cuadrante de abajo hacia arriba. de grande a pequeño Entonces (33)mlt; (2)mlt; (55)m , entonces 3ylt; ③e-5=m.

(2) Convierta el siguiente logaritmo. forma exponencial:

①log128=-3; ②lg10000=4; ③ln3.5= p.

2 cálculo:

(1)24 log23; )2723-log32; (3)2513log527 2log52.

3(1) ha sido Conociendo lg2=0.301 0, lg3=0.477 1, encuentre lg45;

(2) Si lg3 .127=a, encuentra lg0.031 27.

4Se sabe que a≠0 , entonces entre las siguientes fórmulas, la que siempre es igual a log2a2 es ()

A Si logx 1(x 1)=1, entonces el rango de valores de x es ()

A tiene Sabemos ab=M(agt; 0, bgt; 0, M≠1), y logMb =x, entonces el valor de logMa es ()

A si log63=0.673 1, log6x=-0.326 9, entonces x es ()

A Si log5[log3(log2x )]=0, entonces x=.

98log87·log76·log65=.

10 Si las dos raíces de la ecuación lg2x (lg2 ​​​​lg3)lgx lg2·lg3= 0 son x1 y x2, entonces el valor de x1·x2 es.

11 La ecología señala: En los sistemas biológicos, cada entrada a un nivel trófico de la energía, sólo alrededor del 10% de la energía fluye hacia el siguiente nivel trófico H1→H2→H3→H4→H5→H6 en esta cadena biológica (Hn representa el enésimo nivel trófico, n=1, 2, 3, 4, 5, 6). se ingresan a H1 ¿En qué nivel trófico se pueden obtener 100 kilojulios de energía?

12 Se sabe que x, y, z∈R y 3x =4y=6z, compare los tamaños de 3x, 4y. , y 6z.

13 Se sabe que a y b son números positivos distintos de 1, y axby=aybx=1, verifique x2=y2.

14 Se se sabe que 2a·5b=2c·5d=10, se demuestra que (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).

15 Supongamos que el conjunto M= {x|lg〔ax2-2(a 1)x-1〕gt;0}, si M≠?, M?{x|xlt;0}, encuentra el rango de valores del número real a.

16 En el Centro de Supercomputación de Shanghai en el Parque de Alta Tecnología de Zhangjiang, la computadora llamada "Shenwei I" opera a una velocidad de 384 000 000 000 de veces por segundo. Este número se expresa en notación científica como N=, si es así. Se sabe que lg3.840=0.584 3, luego lgN=.

17 Una fábrica ha introducido nuevos equipos de producción y se espera que el costo de producción del producto se reduzca en un 10% con respecto al año anterior. ¿Cuántos años disminuirá el costo de producción para los 40 originales?

2=0.3, lg3=0.48)

18 Para adaptarse a la reforma y apertura, mejorar el mecanismo de gestión y satisfacer la demanda del mercado, un determinado producto tiene una tasa de crecimiento promedio de 10,4 por trimestre en comparación con el trimestre anterior luego, después de y trimestre, la tasa de crecimiento es x veces el valor original, entonces la fórmula analítica de la función y=f(x) es f(x)=.

Los profesores famosos ayudarán. creces

1.(1)①log7343=3.②log1416 =-2.③lnm=-5.

(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep =3.5.

2.(1)48 dial: primero aplique la potencia del producto y luego use la identidad logarítmica.

(2)98 Consejos: aplique la potencia de el cociente y la identidad logarítmica.

(3)144 Consejos: Aplicar el par Propiedades de operaciones numéricas y potencias de productos.

3.(1)0.826 6 puntos: lg45= 12lg45=12lg902=12(lg32 lg10-lg2).

(2)lg0 .031 27=lg(3.127×10-2)=-2 lg3.127=-2 a

4.C Consejo: a≠0, a puede ser un número negativo, preste atención a las propiedades de las operaciones logarítmicas. Ambos logaritmos son significativos.

5.B mensaje: base x 1gt; x 1≠1; número real x 1gt; 0.

6.Un mensaje: ab =M toma el logaritmo con M como base.

7.C: Tenga en cuenta que 0.673 1 0.326 9=1, log61x=0.326 9,

Entonces log63 log61x=log63x=1 .∴3x=6, x=12.

8.x=8: de de afuera a adentro.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.

9.5 Consejos: log87·log76·log65=log85, 8log85=5.

10.16 Consejos : Las dos raíces de la ecuación cuadrática de lgx son lgx1, lgx2.

De lgx1= -lg2, lgx2=-lg3, x1=12, x2=13.

11. Supongamos que el enésimo nivel trófico puede obtener 100 kilojulios de energía,

según la pregunta: 106·10100n-1=100,

Simplificado para obtener: 107-n=102, usando las mismas potencias base para ser iguales, obtenemos 7-n=2,

o tomamos ambos lados como de costumbre. El logaritmo también produce 7-n=2.

∴n= 5, es decir, el quinto nivel trófico puede obtener 100 kilojulios de energía.

12?Supongamos 3x=4y=6z =k, porque x, y, z∈R,

entonces kgt; 1. Tomando el logaritmo con k como base, obtenemos:

x=1logk3, y=1logk4, z=1logk6.

∴3x=3logk3=113logk3= 1logk33,

De manera similar: 4y=1logk44, 6z=1logk66.

Y 33=1281, 44=1264, 66=1236,

∴logk33gt; ; logk66.

Y kgt;logk44gt;logk66gt;0,∴3xlt;4ylt;6z.

13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,

Es decir, xlga ylgb=ylga xlgb=0.(※)

Suma las dos fórmulas, obtenemos x(lga lgb) y(lga lgb)=0.

Es decir (lga lgb)(x y)=0.∴lga lgb=0 o x y= 0.

Cuando lga

Cuando lgb=0, sustituimos xlga ylgb=0, obtenemos:

(x-y)lga=0, a es un número positivo lga≠0 que no es 1, ∴x-y=0.

∴x y=0 o x-y=0, ∴x2=y2.

14.∵2a5b=10, ∴2a-1=51-b Toma el logaritmo de base 2 en ambos lados, obtenemos: a-1=(1-b)log25.

∴log25=a-11-b(b≠1) De manera similar, log25=c-11-d(d≠1).

Es decir, cuando b≠1 y d≠1, a-11-b=c-11-d.

∴(a-1)(1-d )=(c-1 )(1-b),

∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).

Cuando b=1, c =1, obviamente es cierto.

15 Supongamos que lg[ax2-2(a 1)x-1]=t (tgt; 0), entonces

ax2-2(a 1)x-1=10t(tgt; 0).

∴10tgt 1, ax2-2(a 1)x-1gt; (a 1)x-2gt; 0.

①Cuando a=0, el conjunto de soluciones {x|xlt;-1}?{x|xlt;0};

Cuando a≠0, M≠ ?Y M?{x|xlt;0}.

∴La ecuación ax2-2(a 1)x-2=0 debe tener dos raíces reales desiguales, sean x1, x2 y x1lt;x2, entonces

②Cuando agt;0, M={x|xlt;x1, o xgt;x2}, que obviamente no es un subconjunto de {x|xlt;0};

③Cuando alt; 0, M={x|x1lt; xlt; ,

x1 x2=2(a 1)alt; 0. Según el cálculo anterior, el rango de valores de a es: 3-2lt; a≤0.

16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.

17. Supongamos que después de 1-10)=lg40,

Es decir, x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.

Entonces, después de 10 años, el costo que se ha reducido es el 40 original.

18.f(x)=log1.104x [o f(x)=lgxlg1.104].

Instrucciones: Sea el producto trimestral original a , luego a(1 10.4)y=xa, ∴y=log1.104x.