¿Cómo utilizar el software R o Excel para encontrar los valores propios y vectores propios de una matriz? ¡Por favor, ayúdenme!

1. Los valores propios y los vectores propios de una matriz son un cálculo numérico básico e importante. Por lo general, podemos resolverlo escribiendo programas en lenguajes de alto nivel o podemos utilizar software matemático especializado (como MATLAB, etc.). Este artículo proporciona un método para utilizar Excel para realizar los valores propios y vectores propios de una matriz. No requiere un programa de diseño ni software matemático especial. Con operaciones simples en Excel, puede obtener los valores propios y vectores propios de forma rápida e intuitiva. de una matriz real. Valores propios y vectores propios, y los resultados del cálculo tienen alta precisión.

2. Utilice fórmulas matriciales y constantes matriciales para crear y nombrar matrices en Excel:

En Excel, puede ingresar los elementos de la matriz uno por uno en el área de celda para crear la matriz. También puede utilizar fórmulas de matriz y constantes de matriz para crear matrices de manera más conveniente [1]. Por ejemplo, puede crear una matriz mediante las siguientes operaciones:

(1) En la hoja de cálculo de Excel Hoja1, seleccione el rango de celdas A1:D4

(2) Ingrese la fórmula; : ={ 2,-1,0,0;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;0,-1,2,-1;0,-1,2,- 1;0,0,-1,2} (por cierto: en la fórmula matricial de Excel), los elementos de la matriz encerrados entre llaves {} se denominan constantes de matriz, donde los elementos en diferentes columnas están separados por comas y en diferentes filas. Los elementos están separados por punto y coma;

(3) Presione Ctrl + Shift + Enter para finalizar la entrada de la fórmula matricial y formar una matriz.

Después de crear la matriz, cuando se utilizan fórmulas matriciales en Excel, la matriz se puede representar en el rango de celdas A1:D4, sin embargo, obviamente es más conveniente usar y comprender el significado de la matriz; fórmula si la matriz se llama A. Como se muestra a continuación:

Seleccione el rango de celdas A1:D4 donde se encuentra la matriz, haga clic en el cuadro "Nombre" al final del lado izquierdo de; la barra de edición, ingrese A y presione Entrar para confirmar. A partir de entonces, el nombre A se puede utilizar en fórmulas matriciales para representar la matriz en todas las hojas de trabajo del libro actual. Lo que hay que señalar en particular es que al nombrar la matriz, no solo puede hacer referencia fácilmente a las celdas en las áreas de la hoja de cálculo, sino que, lo que es más importante, al copiar la fórmula, Excel tratará el nombre (como A) como una constante, por lo que es más conveniente operar y usar matrices. De manera similar, también podemos ingresar la fórmula matricial en el rango de celdas F1: I4: { = {1,0,0,0; ,1}} Crea una matriz unitaria de cuarto orden y llámala I.

3. Utilice Excel para encontrar los valores propios de la matriz:

Dado que los valores propios de la matriz A λ son las raíces de la ecuación característica det (A-λI ), puede utilizar el menú de herramientas de Excel. Utilice el comando "Resolver para una variable" para encontrar los valores propios de una matriz.

Por ejemplo, el método de solución para el valor propio de la matriz A anterior cerca de 0,4 es el siguiente:

(1) Ingrese el valor 0,4 en la celda A6; p> ( 2) Ingrese la fórmula en la celda B6: =MDETERM (A-A6*I)=0, donde MDETERM es la función de Excel para encontrar el determinante de la matriz;.

(3) Presione Ctrl+Shift +Tecla Enter para formar una matriz de fórmula: {=MDETERM (A-A6*I)}, por lo que el valor 0.1264 es el valor del polinomio característico en la celda B6;

(4) Haga clic en "Herramientas " menú Utilice el comando "Solución de variable única" para abrir el cuadro de diálogo "Solución de variable única";

(5) Ingrese o seleccione B6 en "Celda objetivo (E)" e ingrese "Valor objetivo (V )" )" e ingrese o seleccione A6 en "Celda variable (C)";

(6) Haga clic en el botón "Aceptar".

En este momento, el valor 0.381966011 en la celda A6 es el valor propio cercano a 0.4 en la matriz A (por cierto: en la pestaña "Recálculo" del cuadro de diálogo "Opciones" en Excel, configurando " cálculo iterativo"). (Por cierto, en la pestaña "Recálculo" del cuadro de diálogo "Opciones" de Excel, también puede controlar la precisión del cálculo configurando la columna "Cálculo iterativo").

4. Vector propio correspondiente al valor propio:

El llamado método de la potencia inversa consiste en tomar un valor aproximado λ del valor propio A λi, y tomar un vector inicial X0 que es no cero, el cálculo iterativo según la fórmula: (donde el símbolo ‖-‖∞ representa el componente máximo del vector según la moda, es decir) es un proceso iterativo cuando Xk-1 y Xk son aproximadamente proporcionales en dos adyacentes. iteraciones, Xk es el valor propio correspondiente de la matriz. Valor aproximado de λi. El vector propio aproximado del valor propio aproximado λi.

Por ejemplo, para encontrar el vector propio correspondiente al valor propio λ = 0,381966011 de la matriz A en el ejemplo anterior, tomamos el valor propio aproximado 0,38 y tomamos el vector inicial como (1,1,1, 1), Puede utilizar el método de iteración de potencia inversa para realizar las siguientes operaciones en Excel:

(1) En la hoja de trabajo Hoja2, primero ingrese 1,1,1,1 en el rango de celdas A1:A4 y luego ingrese el valor del vector propio en el rango de celdas A1:A4. A4, ingrese 1,1,1,1 para formar el vector inicial: A4), presione Ctrl+shift+Enter para formar una matriz de fórmula y calcular Y1 (Nota: MINVERSE y MMULT son fórmulas de entrada de Excel: =B1:B4/ B5, presione Ctrl+shift+Enter para formar una matriz de fórmula y calcular el inverso El vector X1 después de una iteración del método de potencia = (0.618321,1,1,0.618321);

(5) Seleccione el área de celda B1:C5 y arrastre el controlador de relleno de la esquina inferior derecha de C5 hacia la derecha para obtener la secuencia de iteración del método de potencia inversa:

Después de iterar 3 veces con el método de potencia inversa, el vector propio aproximado correspondiente al valor propio aproximado λ=0.381966011 de A se puede obtener como (0.618033989,1,1,0.618033989) El valor propio exacto λ=2-2cos(π/5)=0.3819660112... y el vector propio (sin(π/). 5)/sin(2π/5),1,1,sin(π/5)/sin( 2π/5))=(0.6180339887...,1,1, 0.6180339887...) En comparación, es obviamente alta precisión.