¿Cuál es el principio de los números plurales?

La evolución del concepto de números complejos es el capítulo más peculiar de la historia de las matemáticas, es decir, el desarrollo histórico del sistema numérico no sigue la continuidad lógica descrita en los libros de texto. La gente no esperaba a que se estableciera la base lógica de los números reales antes de emprender un nuevo viaje. En el proceso histórico de expansión de los sistemas numéricos, a menudo hay muchas áreas intermedias que no se han comprendido completamente, y la intuición del genio ha alcanzado puestos avanzados lejanos con el ritmo de los valientes.

En 1545, los europeos de esta época no entendían completamente los números negativos y los números irracionales, pero su inteligencia se enfrentaba a un nuevo desafío "monstruoso". Por ejemplo, Cardin hizo una pregunta en su libro "El arte de la significación" (1545): Divide 10 en dos partes para que su producto sea 40. Esto requirió resolver la ecuación x (10-x) = 40. Las raíces que encontró fueron 5-√-15 y 5+√-15, y luego dijo “por mucha conciencia que pueda causar”, agregó 5+√ -15 y multiplica 5-√-15 para obtener 25-(-15)=40. Entonces dijo: "Así es como la aritmética funciona maravillosamente. Su objetivo, como dice el refrán, es a la vez refinado e inútil". Descartes (1596-1650) también abandonó las raíces complejas y creó el nombre "número imaginario". Respecto a la vaga comprensión de los números plurales, Leibniz (1646-1716) es el más representativo: "El Espíritu Santo encuentra extraordinarias manifestaciones en las maravillas del análisis, que son los signos de ese mundo ideal, que entre la existencia, lo anfibio entre ellos y la inexistencia es lo que llamamos la raíz cuadrada imaginaria de -1”.

No fue hasta el siglo XVIII que los matemáticos ganaron cierta confianza en los números complejos. Porque siempre que se utilizan números complejos en pasos intermedios del razonamiento matemático, se demuestra que los resultados son correctos. Especialmente en 1799, la demostración del "Teorema fundamental del álgebra" de Gauss (1777-1855) debe basarse en el reconocimiento de números complejos, consolidando así aún más el estatus de los números complejos. Por supuesto, esto no significa que se hayan eliminado por completo las preocupaciones de la gente sobre los "números plurales". Incluso en 1831, De Morgan (1806-1871) todavía creía en su libro "Sobre las investigaciones y las dificultades de las matemáticas":

"...

Ya resulta que las notaciones no tienen sentido, o incluso son contradictorios o ridículos. Sin embargo, a través de estas notaciones se establece una parte extremadamente útil del álgebra, que depende de un hecho que debe ser probado por la experiencia: las reglas generales del álgebra se pueden aplicar a estos. fórmulas (números complejos)

..."

Sabemos que el siglo XVIII fue el "siglo heroico" en la historia de las matemáticas y el entusiasmo de la gente. al poder del cálculo para expandir el territorio de las matemáticas Nadie se preocupará por la base lógica del sistema de números reales y del sistema de números complejos. Dado que los números complejos son al menos intuitivamente confiables en términos de aritmética, ¿por qué molestarse en buscar problemas?

En 1797, C. Wessel (1745-1818) de Noruega escribió un artículo "Sobre la representación analítica de la dirección", tratando de utilizar vectores para representar números complejos Desafortunadamente, este artículo El gran valor de la. El libro no se tomó en serio hasta que fue traducido al francés en 1897. El suizo J. Argand (1768-1822) dio una interpretación geométrica ligeramente diferente de los números complejos. Se dio cuenta de que los números negativos son una expansión de los números positivos, que se derivan de la combinación de dirección y magnitud. Su idea fue: ¿Podemos usar algún concepto nuevo para expandir el sistema de números reales? El trabajo de Gauss fue más eficaz para lograr que la gente aceptara los números complejos. No sólo expresó a+bi como un punto (a,b) en el plano complejo, sino que también desarrolló la suma y multiplicación geométrica de números complejos. También dijo que si 1, -1 y originalmente no se llamaran unidades positivas, negativas e imaginarias, sino unidades directas, anti y laterales, entonces la gente podría no tener todo tipo de impresiones oscuras y misteriosas sobre estos números. Dijo que las representaciones geométricas podrían dar a la gente una visión verdaderamente nueva de los números imaginarios e introdujo el término "números complejos" en contraposición a los números imaginarios, reemplazándolos por i.

En la labor de clarificar el concepto de números complejos tuvo gran importancia el matemático irlandés Hamilton (1805 – 1865). A Hamilton le preocupaba la lógica de la aritmética y no estaba satisfecho con la intuición geométrica.

Señaló que el plural a + bi no es una suma real en el sentido de 2 + 3. El uso del signo más es un accidente histórico y bi no se puede sumar a a. El número complejo a+ bi no es más que un par ordenado de números reales (a, b), y se dan cuatro operaciones aritméticas sobre el par ordenado. Al mismo tiempo, estas operaciones satisfacen la ley asociativa, el tipo de cambio y la tasa de distribución. Desde este punto de vista, no sólo los números complejos se basan lógicamente en números reales, sino que la hasta ahora algo misteriosa raíz cuadrada de -1 se elimina por completo.