¿Cómo resolver la ecuación estándar de una elipse?
¿Cómo resolver la ecuación estándar de una elipse?
En geometría plana, a menudo necesitamos resolver la ecuación estándar de una elipse. El método para resolver la ecuación estándar de una elipse se presentará en detalle a continuación, incluido el proceso de solución en términos de coordenadas centrales, radio del eje mayor, radio del eje menor y ángulo de rotación.
Coordenadas centrales
La coordenada central de la elipse es el punto donde la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es igual a la constante 2a. Entre ellos, a es el radio del eje mayor y c es el radio del eje menor. La fórmula de cálculo de la coordenada central es:
(x0, y0) = (?(c2 c2), 0)
Donde, c1 y c2 son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente. Radio del eje mayor
Se puede considerar que la forma de una elipse se obtiene trasladando un círculo en una dirección determinada. Esta dirección está relacionada con el ángulo de rotación de la elipse. El radio del eje mayor es el radio con la mayor distancia desde el punto de la elipse hasta el centro de la elipse. Su fórmula de cálculo es:
a = (c2 c2)
Donde. , a representa el radio del eje mayor, b representa el radio del eje menor y c representa la distancia desde el foco al origen. Radio del eje menor
El radio del eje menor de una elipse es el radio en el que la distancia desde un punto de la elipse al centro de la elipse es mínima. La fórmula de cálculo es:
b = √(a2?c2)
Entre ellos, a representa el radio del eje mayor, b representa el radio del eje menor y c Representa la distancia desde el foco al origen. Ángulo de rotación
El ángulo de rotación de la elipse se refiere al ángulo de rotación en sentido antihorario desde el eje x hasta la línea recta donde está el eje largo. La fórmula de cálculo es:
θ = atan(y/x)
Donde, xey son las coordenadas de cualquier punto de la elipse, y θ representa el ángulo de rotación. Determina las coordenadas centrales de la elipse.
Supongamos que las coordenadas centrales de la elipse son (h, k). Según la definición de las coordenadas centrales, podemos enumerar la siguiente ecuación:
(x?h)2. (y?k) 2=(a c)2①
Donde, (x, y) son las coordenadas de cualquier punto de la elipse, (h, k) son las coordenadas del centro de la elipse, a y c son el semieje mayor y el semieje mayor de la elipse respectivamente. Determine los radios de los ejes mayor y menor de la elipse.
Supongamos que el radio del eje mayor de la elipse es a y el radio del eje menor es b. De acuerdo con las definiciones de radio del eje mayor y radio del eje menor, podemos enumerar las siguientes ecuaciones:
x2/a2 y2/b2=1②
Donde, x e y son las coordenadas de cualquier punto de la elipse, a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente. Determina el ángulo de rotación de la elipse.
Supongamos que el ángulo de rotación de la elipse es θ. Según la definición del ángulo de rotación, podemos enumerar la siguiente ecuación:
x=rcosθ③
y=rsinθ④
p>
Entre ellos, (x, y) es la coordenada de cualquier punto de la elipse, r es la distancia desde el punto de la elipse hasta el centro de la elipse, y θ es el ángulo de rotación de la elipse. Según la definición de elipse, se deriva la ecuación estándar de elipse.
Reemplaza x e y en la fórmula ② con las fórmulas ③ y ④ para obtener la siguiente ecuación:
(rcosθ)2/a2 (rsinθ)2/b2=1⑤
Simplifica la ecuación ⑤:
r2=(cos2θ/a2) (sen2θ/b2)⑥
Dado que el valor máximo de r es a c, por lo tanto la ecuación ⑥ r2 in puede ser reemplazado por (a c)2, y se obtiene la siguiente ecuación:
(cos2θ/a2) (sin2θ/b2)=(a c)2/a2b2⑦
Formula ⑦ Simplemente obtiene:
abcos2θ (acos2θ bsin2θ)c=(a c)2⑧
Reemplaza cos2θ en la ecuación ⑧ con 1-sin2θ para obtener la siguiente ecuación:
ab?absin2θ (acos2θ bsin2θ)c=(a c)2⑨
Reemplaza sin2θ en la ecuación ⑨ con 1-cos2θ para obtener la siguiente ecuación:
ab?absin2θ acos2θ(a c ) b(1? cos2θ)(a c)=(a c)2⑩
Reemplaza sin2θ en la fórmula ⑩ con 1-cos2θ para obtener la siguiente ecuación:
ab?ab(1 ?cos2θ) acos2θ(a c ) b(1?cos2θ)(a c)=(a c)2?