¿Cómo encontrar la transpuesta de una matriz?

Solución: |A-λE|=

|2-λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|-2 -4 5-λ|

r3+r2 (Aunque eliminamos 0, también podemos proponer factores comunes, que es el mejor resultado)

|2- λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|0 1-λ 1-λ|

c2-c3

|2-λ 4 -2|

|2 9-λ -4|

|0 0 1-λ|

= (1 - λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (Ampliar según la línea 3, luego usar el método de multiplicación cruzada)

= (1-λ)(λ^2-11λ +10 )

= (10-λ)(1-λ)^2.

Si hay una matriz A de orden n, los elementos de la matriz son todos números reales, y la transpuesta es igual a sí misma (aij = aji) (i, j son los subíndices de los elementos), y los valores propios correspondientes a la matriz son todos números reales, entonces A se llama matriz simétrica real.

Propiedades principales:

1. Los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de la matriz simétrica real A son ortogonales.

2. Los valores propios de la matriz simétrica real A son todos números reales y los vectores propios son todos vectores reales.

3. La matriz simétrica real A de orden n debe ser diagonalizable, y los elementos en matrices diagonales similares son los valores propios de la propia matriz.

4. Si λ0 tiene k valores propios, debe haber k vectores propios linealmente independientes, o debe haber un rango r(λ0E-A)=n-k, donde E es la matriz identidad.

Información ampliada:

La matriz n×m obtenida al intercambiar las filas y columnas de una matriz m×n se denomina matriz transpuesta de A, denotada como A' o EN .

La ley operativa (es decir, propiedad) de la transposición matricial:

1.(A')'=A

2.(A+B)'= A'+B'

3.(kA)'=kA'(k es un número real)

4.(AB)'=B'A'

Si la matriz A satisface la condición A=A', entonces A se llama matriz simétrica. Se sabe por definición que una matriz simétrica debe ser una matriz cuadrada y los elementos ubicados en las posiciones simétricas de la diagonal principal deben ser iguales, es decir, aij = aji es cierto para cualquier i, j.

(1) ¿Matriz simétrica?

En una matriz cuadrada A de orden n, si los elementos satisfacen las siguientes propiedades:

entonces A se llama simétrica matriz.

(2) ¿Almacenamiento comprimido de matrices simétricas?

Los elementos en una matriz simétrica son simétricos con respecto a la diagonal principal, por lo que siempre que los elementos en el triángulo superior o inferior de la matriz se almacena, deje que cada dos elementos simétricos compartan un espacio de almacenamiento. De esta forma se puede ahorrar casi la mitad del espacio de almacenamiento.

① Almacene los elementos debajo de la diagonal principal (incluida la diagonal) en orden de fila principal

Es decir, guárdelos en un vector sa[0 en

orden ...n(n+1)/2-1] (en la matriz triangular inferior, el número total de elementos es n(n+1)/2).

Entre ellos:

sa[0]=a0,0

sa[1]=a1,0

……< / p>

sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1

②La ubicación de almacenamiento del elemento aij

Hay antes elemento aij Fila i (de la fila 0 a la fila i-1), a*** tiene:

1+2+…+i=i×(i+1)/2 elementos.

En la línea i-ésima,

Hay exactamente j elementos antes, es decir, ai0, ai1,…,ai,j-1?, por lo que hay:

sa[i×(i+1)/2+j]=aij

③La correspondencia entre aij y sa[k]:

Si i≥j, k = i×(i+1)/2+j0≤k

Si i

Sea I=max(i, j), J=min(i, j), entonces la relación correspondiente entre key i, j se puede unificar como:

k=i×(i+1)/2+j0≤k

(3) Fórmula de cálculo de dirección de matriz simétrica

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+ 1)/ 2+J]×d

A través de la fórmula de transformación de subíndice, la posición correspondiente k del elemento de matriz aij en su representación de almacenamiento comprimida sa se puede encontrar inmediatamente. De ahí la estructura de acceso aleatorio.

Material de referencia: Enciclopedia Baidu --- matriz simétrica real