Teoría de números de matemáticas universitarias

La teoría elemental de números incluye las siguientes partes.

1. Teoría de la divisibilidad. Introducir conceptos básicos como números enteros, factores, múltiplos y primos. Los principales logros de esta teoría incluyen la división euclidiana de Euclides, el teorema fundamental de la aritmética y la prueba de la infinidad de números primos.

2. Teoría congruente. Principalmente del contenido de "Investigación aritmética" de Gauss. Se definen los conceptos de congruencia, raíces primitivas, exponenciales, residuos al cuadrado y ecuaciones de congruencia. Principales logros: ley de reciprocidad cuadrática, teorema de Euler, teorema de Fermat, teorema de Wilson, teorema de Sun Tzu (es decir, teorema del resto de China), etc.

3. Teoría de fracciones continuas. Se introducen los conceptos y algoritmos de fracciones continuas. Especialmente el estudio de expansiones de raíz cuadrada de fracciones continuas de números enteros. Principales resultados: expansión de series cíclicas, problema de mejor aproximación, solución de la ecuación de Pell.

4. Ecuación indefinida. Estudia principalmente las ecuaciones indefinidas correspondientes a curvas algebraicas bajas, como el teorema del cociente y la altura del teorema de Pitágoras, y la solución en fracción continua de la ecuación de Pell. También incluye problemas para resolver la ecuación de Fermat de cuarto orden.

5.

5. Funciones de la teoría de números. Como la función de Euler, la transformada de Möbius, etc. [Editar este párrafo] Trabajos representativos 1. Fermat

Fermat logró muchos logros en el campo de la teoría de números clásica, como demostrar la insolubilidad de ecuaciones indefinidas mediante el método de descenso infinito, proponer números de Fermat, etc.

Junto con Fermat, fue el primer matemático en la teoría de números clásica.

La famosa conclusión relacionada con el nombre de Fermat es la siguiente:

El pequeño teorema de Fermat: a^p-a ≡ 0 (mod p), donde p es un número primo y a es un número positivo entero.

De hecho, es un caso especial del teorema de Euler. El teorema de Euler dice: a^φ(n)-1 ≡ 0(mod n), a y n son enteros positivos, φ(n) es la función de Euler, que representa el número de enteros positivos menores que n que son primos relativos con n.

Último teorema de Fermat (una conjetura en ese momento): n>2 es un número entero, entonces la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene una solución entera que satisfaga xyz≠0. Esta ecuación es indefinida, como ha sido demostrada con considerable dificultad por el matemático estadounidense Outers (1995).

2. Introdujo la función de Euler y obtuvo el famoso teorema de Euler, la extensión del pequeño teorema de Fermat; estudió la expansión de fracciones pares; demostró números primos infinitos utilizando métodos analíticos, discutió el problema de la suma de cuadrados y la conjetura de Goldbach, contenido de la teoría de números aditivos.

3. Gaussiano. Gauss, conocido como el "Príncipe de las Matemáticas". Resolvió el problema de la construcción de polígonos regulares con regla y compás y lo relacionó con los números de Fermat. Gauss propuso la teoría de la congruencia en su libro "Investigaciones sobre aritmética", analizó el problema de los residuos cuadrados y descubrió la ley cuadrática inversa. Gauss propuso el famoso teorema de los números primos (que en aquel momento era sólo una conjetura) y estudió problemas de indexación y estimación; este fue el comienzo de la teoría de la representación.