¿Qué es una analogía en matemáticas?

Pregunta 1: Las analogías matemáticas son lo mismo que los descubrimientos matemáticos. Generalmente se basan en analogías, inducción y otros métodos de investigación, y luego intentan probar o negar conjeturas para lograr el propósito de resolver problemas. La analogía y la inducción son dos métodos importantes para llegar a conjeturas. El proceso básico de usar la analogía para resolver problemas se puede representar mediante un diagrama de bloques de la siguiente manera: La clave para usar la analogía es encontrar un objeto de analogía adecuado. Según las diferentes perspectivas de la búsqueda de objetos análogos, los métodos de analogía a menudo se dividen en los siguientes tres tipos. Si un objeto en un espacio tridimensional se reduce a un objeto en un espacio bidimensional (o unidimensional), este método de analogía se denomina analogía de reducción de dimensionalidad. En el ejemplo 2, todos los lados de un tetraedro regular con longitud de lado 1 se consideran superficies esféricas y S es el punto de intersección de seis superficies esféricas. Se demuestra que la distancia entre cualquier par de puntos en S es mayor que 65433. Analice y considere la proposición de analogía en el plano: "Un triángulo equilátero con una longitud de lado de 1 es un círculo con cada lado como diámetro, y S' es el punto de intersección de los tres círculos". Al explorar las propiedades similares de S', podemos encontrar el argumento para esta pregunta. Como se muestra en la figura, es fácil saber que S' está contenido en un círculo con el centro de gravedad del triángulo equilátero como centro y el radio como centro. Por lo tanto, la distancia entre dos puntos cualesquiera en S' no excede 65438. Prueba: Como se muestra en la figura, en el tetraedro regular ABCD, m y n son los puntos medios de BC y AD respectivamente, g es el centro de △BCD, Mn ∩ Ag = O, obviamente, O es el centro del tetraedro regular ABCD. ¿Fácil de saber OG=? AG=, y se puede deducir que la distancia entre dos puntos cualesquiera en una esfera con O como centro y OG como radio no es mayor que 0, y su esfera O debe contener s. La prueba es la siguiente. Basándonos en la simetría, también podríamos examinar el tetraedro OMCG en la región espacial. Supongamos que P es cualquier punto del tetraedro OMCG. P no está en la esfera O. Se demuestra que P tampoco está en S. Si la bola o pasa por OC en el punto t. △TON, ON=, OT=, cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-. Según el teorema del coseno: TN2=ON2 OT2 2ON? ¿ANTIGUO TESTAMENTO? =, ∴TN=. En Rt△AGD, n es el punto medio de AD, ∴GN= De GN=NT=, OG=OT, ON=ON, obtenemos △GON≔△TON. ∴∠TON=∠GON, ambos son ángulos obtusos. Entonces es obvio que cualquier punto P en △GOC que no pertenezca a la esfera O tiene ∠PON >; es decir, hay PN gtTN=, y el punto P no pertenece al área S fuera de la esfera. con N como centro y AD como diámetro. De esta forma, la esfera O contiene la intersección S de seis esferas, es decir, no existen dos puntos en S tales que su distancia sea mayor que . Algunos problemas a resolver no tienen analogías ya preparadas, pero podemos descubrir problemas de analogía observando y confiando en similitudes estructurales, y luego transformar los problemas originales en problemas de analogía mediante sustituciones apropiadas. Se da el ejemplo 3. El análisis muestra que si dos de los siete números reales son iguales, la conclusión es obviamente cierta. Si los siete números reales no son iguales, será difícil empezar. Sin embargo, si miras de cerca, puedes encontrar que la fórmula tangente de la diferencia entre dos ángulos tiene una estructura muy similar, por lo que elegimos esta última como analogía y la transformamos en un problema de analogía mediante sustituciones apropiadas. Para sustitución, xk = tanαk(k = 1, 2, ..., 7), demuestre que debe existir. Demuestre que xk=tanαk(k =l,2,…,7) y αk∈(-,), luego la proposición original se transforma en: demuestre que existen dos números reales αi, αj∈(-,), y satisfaga 0≤tan(αi -αj)≤? Según el principio del cajón, debe haber cuatro αk en [0,] o en (-0), por lo que es mejor establecer cuatro en [0,]. Tenga en cuenta que tan0 = 0, tan =, y en [0,], tanx es una función creciente, por lo que solo necesitamos probar la existencia de αi, αj, de modo que 0; 0≤tan(αi -αj)≤De esta manera, con el correspondiente xi=tanαi, xj=tanαj, tenemos 0≤≤La analogía simplificada es analogizar la proposición original en una proposición de analogía más simple que la proposición original y resolver la problema a través de la proposición de analogía Inspirado por métodos y métodos, busca ideas y métodos para resolver la proposición original.

Por ejemplo, un problema multivariado se puede comparar primero con un problema con varios elementos, y un problema de orden superior se puede comparar con...> gt

Pregunta 2: Matemáticas de secundaria, analogía, escribir un proceso de solución detallado K (K 2 )= 1/6[K(K 2)(K 4)-(K-2)K(K 2)]

Se puede ver en esto:

1x 3 = 1/ 6[1x3x 5-(-1)x 1x 3]

2x4=1/6(2x4x6-0x2x4)

3x 5 = 1/6(3x5x 7-1x3x 5)

4x6=1/6(4x6x8-2x4x6)

.......

n( n 2)= 1/6[n( n 2)(n 4)-(n-2)n(n 2)]

Total:

1x3 2x4.. . n(n 2)

= 1/6[-(-1)x 1x 3-0x2x 4 (n-1)(n 1)(n 3) n(n 2)(n 4) ]

=1/6[n(n 1)(2n 7)]

Pregunta 3: Cómo realizar actividades efectivas de enseñanza de las matemáticas a través de analogías en la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria es matemáticas Enseñanza en el aula El objetivo importante de la reforma es también un eslabón clave en la construcción de un modelo de enseñanza en el aula de matemáticas con educación de calidad. Mejorar la eficacia de las actividades de enseñanza de las matemáticas es una parte importante de la reforma de la enseñanza de las matemáticas en las aulas. Para ello, debemos cambiar activamente los conceptos educativos a través de la reflexión docente y establecer verdaderamente un nuevo currículo.

Pregunta 4: ¿Cuáles son los usos de la inducción, la explicación y la analogía en la vida escolar primaria? Hay muchas reglas y fórmulas en los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria. De acuerdo con las reglas cognitivas de especial a general, se pueden sacar conclusiones generales mediante la observación, el análisis y la experimentación de situaciones especiales, es decir, la inducción.

En el proceso de ampliación del conocimiento matemático, las analogías a menudo se inspiran e inducen a través de la comparación y asociación para buscar variación y divergencia de pensamiento. Al resumir el sistema de conocimiento, también se puede utilizar para conectar contenido similar en diferentes niveles para ayudar a la comprensión y la memoria. A la hora de resolver problemas, tanto la proposición en sí como el método de resolución del problema son la motivación para generar especulación y obtener la mejora o ampliación de la proposición. Por lo tanto, la inducción y la analogía no sólo son métodos importantes para el aprendizaje matemático, sino también métodos eficaces para el descubrimiento matemático.

La inducción y la analogía son razonamientos razonables y sus conclusiones deben demostrarse mediante deducción. La conjetura es el resultado de la inducción y la analogía, y contiene elementos de conjetura, por lo que la conjetura en sí es una especie de razonamiento razonable. Para decirlo sin rodeos, el razonamiento razonable no es más que una conjetura. Newton dijo: "Sin conjeturas audaces, los grandes descubrimientos son imposibles". Por lo tanto, diseñar un proceso de enseñanza razonable y lleno de conjeturas no solo puede organizar bien la enseñanza, sino también mejorar el interés de los estudiantes en aprender y cultivar sus habilidades innovadoras.

Primero, la inducción

El método de inducción es un método para sacar conclusiones generales estudiando objetos especiales de cosas similares, es decir, un método de razonamiento de lo específico a lo general.

1. La inducción tiene la función de descubrir y explorar la verdad.

Muchos teoremas famosos en matemáticas se descubrieron primero mediante inducción incompleta y luego se demostraron.

Por ejemplo, el famoso matemático alemán Goldbach observó a partir de la fórmula 3 7=10, 3 17=20, 13 17=30 que la suma de dos números primos impares es igual a un número par. Hizo más experimentos y descubrió que

6=3 3,

8=3 5,

10=3 7=5 5,

12=5 7,

14=3 11=7 7,

16=3 13=5 11,

Entonces, obtuvo Conclusión : Cualquier número par que no sea ni primo ni cuadrado de un número primo (es decir, un número par mayor que 4) es la suma de dos números primos impares. Ésta es la famosa conjetura de Goldbach. Aunque sigue siendo una conjetura, los matemáticos descubrieron e inventaron muchos teoremas matemáticos en el proceso de demostrar esta conjetura, haciendo grandes contribuciones al desarrollo de las matemáticas e incluso de la sociedad.

2. El método de inducción tiene una gran importancia en la educación matemática de primaria.

Casi todas las fórmulas, reglas y propiedades de las matemáticas de la escuela primaria se entienden mediante una inducción incompleta. Por lo tanto, los profesores deben estudiar cuidadosamente los estándares del plan de estudios de matemáticas, comprender a fondo los materiales didácticos, brindar a los estudiantes la oportunidad de pensar de manera divergente, brindarles más orientación, más inspiración, más aliento y darles suficiente tiempo y espacio para dominar gradualmente la inducción en clase. Ley. Por ejemplo, al enseñar "puntajes promedio", el maestro puede darles a los estudiantes el problema de dividir manzanas entre varios compañeros y dejar que lo resuelvan ellos mismos, y brindarles tiempo y espacio para usar su imaginación y luego resumir la solución más justa. La puntuación: cuántas tiene cada persona, obteniendo así el concepto de puntuación media. Esto no solo cultiva el pensamiento divergente de los estudiantes, sino que también les permite tener una comprensión y un dominio más profundos del concepto de "puntuaciones promedio" en esta actividad. Cuando los profesores explican conceptos, reglas, propiedades, fórmulas y ejemplos, deben permitir que los estudiantes los asocien y promuevan desde diferentes aspectos y ángulos. Por poner otro ejemplo, al enseñar rectángulos, los estudiantes pueden dar rienda suelta a su imaginación y dibujar rectángulos de diferentes formas y ubicaciones. Luego, guíelos para que resuman las * * * mismas características de estas figuras: (1) todas son cuadriláteros; (2) los cuatro ángulos son todos ángulos rectos; (3) los lados opuestos son iguales. Esto no solo cultiva la capacidad de pensamiento divergente de los estudiantes, sino que también les permite tener una comprensión más profunda de los rectángulos. Al enseñar cuadrados, los estudiantes no cometerán el error de que un cuadrado no es un rectángulo.

La inducción incompleta como "razonamiento razonable" es fácil de aceptar y dominar para los estudiantes de primaria. Por lo tanto, abundan los métodos de inducción incompleta en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Los estudiantes aprenden definiciones, propiedades operativas (leyes), propiedades de divisibilidad de números, etc. , son todos comprendidos y dominados a través de una inducción incompleta. Esta atmósfera única aporta una gran comodidad al cultivo de la capacidad de inducción de los estudiantes de primaria. Por lo tanto, el método de inducción incompleta se considera un método eficaz e importante para cultivar la capacidad de pensamiento creativo de los estudiantes de primaria en la enseñanza de matemáticas de la escuela primaria. Los profesores deben aprovechar esta ventaja y ayudar a los estudiantes de primaria a dominar el método de inducción incompleta. Deje que los estudiantes den rienda suelta a su imaginación, hagan preguntas, hagan conjeturas audaces, rompan con los estereotipos de pensamiento comunes y se atrevan a adivinar. Al mismo tiempo, también debería...> gt

Pregunta 5: El pensamiento analógico en el pensamiento matemático compara dos (o dos) objetos matemáticos diferentes. Si se encuentran similares o similares en algunos aspectos, se infiere que también pueden ser similares o similares en otros aspectos.