Un ejemplo del uso de grandes extensiones para buscar habilidades
"Tres personas caminaron setenta veces, cinco árboles y veintiún palos".
Siete hijos se reunieron a mitad de camino Meses después, no se supo hasta hace 105 años "
Estos interesantes juegos matemáticos introducen la solución al mundialmente famoso "Problema de Sun Tzu" de diversas formas, reflexionando. un aspecto popular de las matemáticas chinas antiguas. Logro excepcional.
El "problema de Sun Tzu" es un problema de congruencia en la teoría de números moderna. Apareció por primera vez en los clásicos matemáticos de Sun Tzu en el siglo IV d.C. El título del libro "Sun Zi Suan Jing" "Cosas desconocidas" dice: Si hay cosas desconocidas, tres cuentan como dos más, cinco cuentan como tres más y siete cuentan como dos más. ¿Cuál es el número total de cosas? Obviamente, esto equivale a resolver una ecuación indefinida.
N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2
La solución entera positiva de n, o expresada en la notación moderna de la teoría de números, equivale a resolver el siguiente grupo de congruencia lineal:
N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②
La respuesta dada en el cálculo de Sun Tzu es N=23. Debido a que los datos para la pregunta de Sun Tzu son relativamente simples, la respuesta también se puede obtener mediante cálculos de prueba. Pero los cálculos de Sun Tzu no lograron lograrlo. La técnica de "no saber el número de cosas" indica cómo resolver el problema: tomar el número 70 de tres o tres y multiplicarlo por el resto 2 de los cinco o cinco números, tomar el número veintiuno y multiplicar; por los tres restantes; para 77. Este número se multiplica por 15 y el resto es 2. Suma los productos y resta los múltiplos de 105. La fórmula de la secuencia es:
n = 70×2+21×3+15×2-2×105.
Aquí 105 es el mínimo módulo 3, módulo 5 y módulo 7 común múltiplo. Es fácil ver que el cálculo de Sun Tzu da el número entero positivo más pequeño que satisface la condición. Para el caso de los restos generales, "The Art of War" señala que simplemente reemplace los restos 2, 3 y 2 en el algoritmo anterior por otros nuevos. Usando R1, R2 y R3 para representar estos restos, el cálculo del sutra de Sun Tzu equivale a dar una fórmula.
n = 70×r 1+21×R2+15×R3-p×105 (p es un número entero).
La clave del algoritmo de Sun Tzu reside en la determinación de tres números: 70, 21, 15. Las palabras "Setenta raras", "Veintiuna ramas" y "Media luna llena" en "El arte de la guerra" que circularon más tarde aludían a estas tres figuras clave. El Sutra de Sun Tzu no explica el origen de estos tres números. De hecho, tienen las siguientes características:
Es decir, estos tres números se pueden restar por el mínimo común múltiplo M=3×5×7=105 módulo 3, 5 y 7, y luego multiplicado por Se obtienen los números enteros 2, 1, 1. Supongamos k1=2, K2=1, K3=1, luego elija el número entero Ki (i=1, 2, 3) para que los tres números resultantes 70, 21 y 15 se divida por el módulo correspondiente. Se puede deducir inmediatamente de esto que cuando el resto es R1, R2, R3,
Combinando las tres fórmulas anteriores, podemos obtener
Porque M=3×5×7 puede es divisible por cualquiera de sus factores, entonces:
Aquí p es un número entero. Esto prueba la fórmula de Sun Tzu para calcular las escrituras. Aplicando el razonamiento anterior, el algoritmo de Sun Tzu puede ser completamente similar a la situación general: hay un número n, y los restos R1, R2, .........Rn se obtienen mediante números coprimos por pares a1, a2, ..., eso es.
N≡Ri(Demo)(i=1, 2,...n),
Sólo se necesita un conjunto de números Ki para satisfacer
Entonces, la solución positiva mínima para un grupo de congruencia dado es
(p es un número entero, m = a1× a2× …× an), que es el famoso teorema del resto en la teoría de números moderna. Como se mencionó anteriormente, su forma básica ya está incluida en la solución al problema de la "cosa desconocida" en "El arte de la guerra". Sin embargo, este teorema general no está claramente establecido en Sun Tzu Suan Jing.
No es casualidad que el problema de Sun Tzu apareciera en los cálculos chinos en el siglo IV. A juzgar por los datos de los antiguos calendarios astronómicos chinos, el estudio de la congruencia está obviamente impulsado por las necesidades de la astronomía y los calendarios, y está especialmente relacionado con el cálculo de los llamados "años acumulados de Shangyuan" en los calendarios antiguos. Como todos sabemos, los calendarios requieren una hora de inicio específica. Los antiguos matemáticos del calendario chino llamaron a este punto de partida "Era" o "Shangyuan", y el tiempo acumulado desde la Era hasta el año calendario se llamó "Era Shangyuan".
El cálculo del número acumulado de años en Shangyuan requiere resolver un conjunto de congruencias lineales. Tomemos como ejemplo el Jing promovido por Wei durante el período de los Tres Reinos en el siglo III d.C. Este calendario estipula que el momento en que el solsticio de invierno, la luna nueva (medianoche de la luna nueva) y Jiazi se encuentran a las cero en punto es la era. Supongamos que A es el número de días del año tropical y B es el número de días del primer mes del calendario lunar. Cuando el solsticio de invierno es el día Jiazi R1 y la hora de Pingshuo es el día R2, entonces el número de días. Los elementos n del calendario Jingchu son un grupo de congruencia.
Anli(mod60)R2(MDB)
Solución (1). Durante las dinastías del Sur y del Norte, el "Da Li Ming" de Zu Chongzhi (462 d.C.) exigía que el calendario comenzara al mismo tiempo que el año Jiazi, y que el sol y la luna estuvieran en la misma dirección, y la luna debería pasa por su perigeo y nodo ascendente. En tales condiciones, calcular el año acumulado del último elemento equivale a encontrar una décima solución congruente. Los datos de efemérides astronómicas son generalmente complejos. Por lo tanto, durante las dinastías Wei, Jin, del Sur y del Norte antes y después de "Sun Tzu Suan Jing", las calculadoras del calendario astronómico de China sin duda pudieron resolver una ecuación de congruencia que era mucho más compleja que el problema del "número desconocido" de "Sun Tzu". Suan Jing", por lo que deben haber dominado el método de calcular una expresión de congruencia según un determinado procedimiento. Este hecho se resume y refleja en el problema de la forma de proporción en "Sun Zi Suan Jing". En el futuro, los astrónomos utilizarán durante mucho tiempo el algoritmo de Sun Tzu para calcular los años acumulados del Alto Yuan, lo que seguramente desencadenará una discusión más profunda. En el siglo XIII, el gran matemático Qin finalmente logró brillantes resultados en el estudio de la congruencia.
Qin Jiushao, llamado Zigu, vivió en la dinastía Song del Sur. Le encantan las matemáticas desde que era niño. Después de una acumulación a largo plazo y una minuciosa investigación, escribió "Nueve capítulos de Shu Shu" en 1247 d.C. Esta obra maestra medieval de las matemáticas se creó en muchos frentes. Entre ellos, “resolver la derivación grande de un grupo de congruencia” y “extracción de cuadrados positivos y negativos” para resolver soluciones numéricas de ecuaciones de orden superior son logros de importancia internacional.
Este artículo presenta principalmente la importante contribución de Qin a la teoría de la congruencia.
Qin describe clara y sistemáticamente los pasos de cálculo generales para comprender los grupos de congruencia lineal en "Nueve capítulos de Shu Shu". El método de Qin es exactamente el teorema del resto mencionado anteriormente. Sabemos que el teorema del resto generalmente selecciona un conjunto de números Ki. Qin nombró a estos números "proporciones de multiplicación" e introdujo en detalle el método de cálculo de las proporciones de multiplicación: el "método de gran bobinado" en el primer volumen de "Nueve capítulos de Shu".
Para introducir la técnica de "buscar una habilidad a través de una gran extensión", tomamos como ejemplo el cálculo del ki de aumento arbitrario. Si Gi =
gi gi(Demo)
Entonces kiGi kiGi(Demo),
Pero porque kiGi 1(Demo)
Entonces el problema se reduce a hacer que ki se ajuste a kigi 1 (Dymo). Qin llamó a Ai un "número fijo" y a Ji un "número impar". Su teoría de la "gran derivación para adquirir una habilidad" se explica en lenguaje moderno. De hecho, se trata de dividir el número impar gi y el número fijo ai para obtener los cocientes q1, q2, .........qn y los restos r1, r2, ......... rn. Cuando un número impar GI y un número fijo AI se dividen, se dividen inmediatamente.
Qin señaló que cuando rn=1 y n es un número par, el cn final es la tasa de duplicación requerida ki. Si r1=1 y n es un número impar, entonces divida rn-1 y rn, y formalmente sea qn+1 = RN-1, entonces el resto rn+1 sigue siendo 1. En cualquier caso, el resto 1 aparece en el último paso y finaliza todo el cálculo. Por lo tanto, Qin llamó a su método "Técnica Qiu Yi" (en cuanto al significado de "Dayan", el propio Qin lo adjuntó al "Número Dayan" en "Zhouyi" en el prefacio de "Nueve capítulos"). Se puede demostrar que el algoritmo de Qin es completamente correcto y muy estricto.
En la era Qin, los cálculos todavía se basaban en cálculos. En un pequeño plato cuadrado, Qin dispuso el número impar G en la esquina superior derecha, el número fijo A en la esquina inferior derecha y el 1 en la esquina superior izquierda (lo llamó "Tian Yuan 1"), y luego interactuó. arriba y abajo en la fila derecha para dividir menos por más. El cociente resultante se multiplica por la esquina superior izquierda (o inferior) y se fusiona con la esquina inferior izquierda (o superior) hasta que aparezca 1 en la esquina superior derecha. La siguiente página es el diagrama de cálculo general de Qin y a la derecha hay un ejemplo numérico (g=20, a=27, K= c4=23).
Qin recopiló una gran cantidad de ejemplos en "Nueve capítulos de Shu Shu", como "según la historia antigua", "búsqueda de fuentes de acuerdo con las regulaciones", "cálculo del trabajo geotécnico", "cálculo del trabajo geotécnico ", etc., y los utilizó ampliamente. El enfoque de "una habilidad" resuelve problemas prácticos como calendario, ingeniería, impuestos y servicio militar. En estos problemas prácticos, los módulos ai no siempre son pares de números enteros relativamente primos.
Qin distinguió entre diferentes situaciones como "números unarios" (ai es un número entero), "números recibidos" (ai es un decimal) y "números pasados" (ai es una fracción), y explicó cómo abordar cada situación. El "método total" calcula la situación de convertir "números recibidos" y "números generales" en "elementos". Sin embargo, para situaciones en las que los elementos no son primos entre sí, se proporciona un procedimiento confiable para seleccionar adecuadamente los factores de esos elementos. es una constante y el problema se reduce al caso de primos mutuos por pares. La teoría y la cuidadosa consideración de todos estos sistemas no son simples incluso hoy en día, lo que demuestra plenamente el excelente nivel matemático y las habilidades de cálculo de Qin.
Cuando Qin era niño, siguió a su padre a Hangzhou, la capital de la dinastía Song del Sur, y aprendió el calendario astronómico de la mano de los funcionarios del Museo Taishi (institución encargada de los calendarios astronómicos). Probablemente sea el resultado de resumir el método de cálculo de Yuan Jiyuan en el calendario astronómico. Pero parece que sus contemporáneos no entendieron del todo que "un gran desarrollo requiere una habilidad". Casi se perdió después de mediados de la dinastía Ming. No fue hasta la dinastía Qing que se redescubrió la teoría de "buscar una habilidad a través de una gran expansión", lo que despertó el interés de muchos estudiosos (Zhang Dunren, Li Rui, Luo, Huang Zongxian, etc.) llevaron a cabo más investigaciones. sobre la teoría de "buscar habilidades a través de una gran expansión" Interpretación, mejora y simplificación, entre las cuales "Buscar habilidades con Tongjie" de Huang Zongxian ofrece un método más conciso para el caso en el que el módulo no es de dos en dos, sino que la era está en el finales de la dinastía Qing.
Desde el “no sé cuántos contar” de Sun Tzu en sus cálculos hasta la “generalización” de Qin, la investigación de los antiguos matemáticos chinos sobre una fórmula de congruencia no sólo ha dejado una huella en la historia de los chinos. Las matemáticas, sino también en la historia de las matemáticas mundiales, ocupan una posición gloriosa. En Europa, el matemático italiano Pepponacci (1170-1250), contemporáneo de Qin, fue el primero en entrar en contacto con la primera fórmula de congruencia. Dio dos problemas de congruencia lineal en "El libro de los algoritmos", pero no existía un algoritmo general. Estos dos problemas son similares a los problemas de Sun Tzu en forma y datos, y el nivel general no excede los cálculos de Sun Tzu. Hasta los siglos XVIII y XIX, los grandes matemáticos Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855) también hicieron la misma comparación en 1801. Euler y Gauss no tenían conocimiento previo de la obra china. De 1815 a 1887, los misioneros británicos (1852) publicaron "Notas sobre la ciencia china", que introdujeron problemas desconocidos en los cálculos de Sun Tzu y las soluciones de Qin, que atrajeron la atención de los eruditos europeos. En 1876, el alemán Matheson (1830-1906) señaló por primera vez que la solución al problema de Sun Tzu era consistente con el método de Gauss. Cantor (1829-1920), el famoso historiador de las matemáticas alemán de la época, elogió a "Dayan" después de leer el artículo de Matheson. Hasta el día de hoy, la teoría de "ampliar las habilidades mediante una gran expansión" todavía despierta un gran interés de investigación entre los historiadores de las matemáticas occidentales. Por ejemplo, en 1973, una monografía sobre la historia de las matemáticas "Las matemáticas chinas en el siglo XIII", publicada en los Estados Unidos, presentó sistemáticamente los logros de los eruditos chinos en una teoría de la congruencia. Al comentar sobre la contribución de Qin, el autor Liebrecht (belga) dijo: "El trabajo de Qin sobre análisis indefinido es bastante temprano. Considerando esto, veremos que Sutton ② llamó a Qin 'su nación', suya.
Eruditos indios También hicieron importantes contribuciones a la teoría de la congruencia. Del siglo VI al XII, desarrollaron un algoritmo llamado "Kutaka" para resolver el equivalente de un lineal. El método de congruencia "Kutaka" apareció después del algoritmo de Sun Tzu. Los matemáticos indios Brahma Gupta (siglo VII), Mokvira (siglo IX) y otros El problema de las cosas desconocidas es el mismo. Esto ciertamente no es una afirmación de que el método de Kutaka deba estar influenciado por el algoritmo de Sun Tzu, sino de que algunas personas (como). como Wan Haiyi, etc.) insisten en que el "gran desarrollo de China busca una habilidad" proviene de Kutaka, lo cual no tiene fundamento. En realidad, Hay escribió los números en el algoritmo chino horizontalmente de izquierda a derecha, lo cual es una base importante para la influencia india. En el "Libro Dayan", como todos sabemos, China comenzó a contar y contar en la antigüedad a más tardar desde el Período de Primavera y Otoño y el Período de los Reinos Combatientes. Este método de conteo de izquierda a derecha también se puede ver en el. Moneda existente del siglo III a. C. Esto muestra cuán ridícula es la declaración de Wan Haiyi. No hay duda del alto estatus de "buscar una habilidad por generalización" en la historia de las matemáticas mundiales. En la historia de las matemáticas occidentales, la solución al teorema del resto de un grupo de congruencia se llama naturalmente "Teorema del resto chino"
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(1) "Canción de Sun Tzu". También conocida como "La Orden de los Soldados de Han Xin", escrita por Cheng Dawei en la dinastía Ming en "La Gran Unificación de la Aritmética" (1592 d.C.), pero de hecho había circulado entre la gente mucho antes.
① Según la definición de Época, desde la Época hasta el solsticio de invierno acaban de pasar N años tropicales, a×N días. La fecha de Jiazi es un ciclo de 60 días, con Jiazi a la cabeza, por lo que 60 se divide por An, y el resto debe ser el número de días desde el último día Jiazi del solsticio de invierno de ese año. aN≡R1 (mod60). De la misma forma se puede obtener la segunda fórmula de congruencia.
El método de acumular años comenzó en la dinastía Han. Sin embargo, debido a que los astrónomos de la dinastía Han hicieron uso de datos especiales de observaciones astronómicas en ese momento, solo necesitaron resolver una o dos ecuaciones de congruencia lineal con datos menos complicados para calcular los años acumulados del período Shangyuan. Por ejemplo, se puede verificar que los años acumulados de Shangyuan en el calendario Santong (siglo I a.C.) satisfacen la forma de 145×4617×p≡135 (mod 1728) (p es un número entero, el número de año acumulado es x = 4617).
Tipo. Esta fórmula de congruencia se puede resolver mediante cálculo de prueba. Desde el siglo III, con la mejora de la tecnología de medición astronómica, se han propuesto requisitos más precisos para el calendario. En ese momento, la fórmula de congruencia para calcular los años acumulados de la Primera Dinastía Yuan se volvió cada vez más compleja, lo que llevó a los calculadores del calendario astronómico de la época a buscar un método de cálculo universal para la fórmula de congruencia.
①De hecho, sea l2=q2, L3=q3L2+1, L4=q4L3+L2,...ln = QLN-1+LN-2, entonces r 1 = AI-giq 1 = AI -c65438. R2 = gi-r 1q 2 = gi-(ai-c 1gi)Q2 = C2 G4-l2a 4, R3 = r 1-r2g 4 =(ai-c 1gi)-(c2gi-l2ai)Q3 = l3ai-. rn = cngi-Li Ai=1, que es cngi (Dai Mo). Esto prueba que Cn es el K3 deseado.
(2) El método de Qin consiste en eliminar los factores comunes apropiados de esos elementos ai, obteniendo así un factor ti para cada elemento, de modo que m = t1× t2× …× tn es el mínimo de esos ai Múltiplos comunes, cada ti es un número primo por pares. Luego utilice estos ti como un número fijo y calcule el ki correspondiente según la técnica de derivación grande.