Encuentra un punto P en un triángulo equilátero y conecta los tres vértices de modo que los tres triángulos formados sean triángulos isósceles.

Una breve discusión sobre los puntos de Fermat de los triángulos

El famoso matemático francés Fermat una vez planteó una pregunta interesante sobre los triángulos: encontrar un punto en el plano donde se encuentra el triángulo, de modo que el punto alcanza La suma de las distancias entre los tres vértices de un triángulo es la más pequeña. La gente llama a este punto "punto Fermat". Este es un tema histórico famoso y todavía hay muchos documentos que lo presentan en los últimos años.

Este artículo intenta utilizar los ejercicios y ejemplos del libro de texto como materiales y, de acuerdo con el nivel cognitivo de los estudiantes de secundaria, desarrollar un material de entrenamiento del pensamiento para este problema para guiar a los estudiantes a comprenderlo inicialmente. a través del propio pensamiento y aprendizaje el proceso y aplicación de generación, formación, razonamiento y argumentación.

1． Puntos de Fermat de los triángulos

Conocidos: como se muestra en la Figura 1, ΔABD y ΔAEC son ambos triángulos equiláteros. Demuestre: BE=DC.

Esta pregunta es relativamente fácil de probar. Aquí hay algunas preguntas para que los estudiantes piensen.

Reflexión 1: Dibuja un triángulo equilátero BCF en el lado BC de ABC y conecta AF como se muestra en la Figura 2. ¿Qué conclusiones se pueden sacar? ¿Existe

(1)BE=CD=AF?

(2) Las tres rectas BE, CD y AF se cruzan en un punto O?

(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°?

Reflexión 2 Si cambia la Figura 1 de la pregunta original a la Figura 3 y conecta DE, ¿qué otras conclusiones se pueden sacar?

(1) La conclusión de la pregunta original sigue siendo válida: BE=CD.

(2) Si ∠ADC=120°, entonces el punto D está en la circunferencia circunscrita de ΔAEC equilátero. Líneas D, B y E***, de BE=CD: AD+CD=DE si ∠ADC≠120°, es fácil demostrar que AD+DC>DE. Obtenga la siguiente proposición.

Teorema 1 Desde un punto en el círculo circunstante de un triángulo equilátero, la suma de las distancias a los dos vértices más cercanos del triángulo es igual a la distancia al otro vértice desde un punto que no está en el círculo circunstante; de un triángulo equilátero, a los dos vértices del triángulo La suma de las distancias es mayor que la distancia a otro punto.

Pensamiento 3 De acuerdo con el teorema anterior, en la Figura 2 hay

(1)OA+OB+OC=AF.

(2) Elija otro punto O en ΔABC, siempre habrá

O′A+O′B+O′C>AF,

Ese es, OA+OB+OC

(3) El punto O es el punto donde la suma de las distancias a los tres vértices del plano donde se encuentra ΔABC es menor.

Teorema 2: Cuando cada ángulo interior de un triángulo es menor de 120°, debe haber un punto en el triángulo cuyos ángulos a los tres lados sean todos de 120°. La suma de las distancias desde este punto. a los tres vértices alcanza el mínimo, que se llama "punto de Fermat". Cuando un triángulo tiene un ángulo interior no menor de 120°, el vértice de este ángulo es un punto de Fermat.

2. El problema de la tubería de agua más corta

Como se muestra en la Figura 4, se construirá una estación de bombeo de agua junto al río para suministrar agua a Zhangcun y Lizhuang, respectivamente. ¿Hacer las tuberías de agua las más cortas?

Esta es una pregunta de aplicación muy significativa, que tiene cierto valor en el diseño de carreteras, tuberías de agua potable o gas. Si la estación de bombeo de agua C no suministra agua directamente a los lugares A y B, entonces la línea CA + CB determinada por el método del "punto de simetría" en este ejemplo no es la línea más corta. Es fácil saber que cuando los ángulos del triángulo determinado por los tres puntos A, B y C son menores de 120°, debe haber un punto de Fermat O en el triángulo tal que OA + OB + OC < CA + CB Se puede observar que la longitud total de la tubería de agua puede ser menor. Por lo tanto, el problema de la tubería de agua más corta es un problema de Fermat en el que dos puntos A y B están en el mismo lado de la línea recta L, y el punto C es un punto en movimiento en L. Este problema se analiza a continuación en dos categorías.

(1) El ángulo entre AB y L es menor que 30”

Como se muestra en la Figura 5, use AB como un lado para construir un triángulo equilátero AB y dibuje el triángulo circunscrito círculo de ΔABM.

Cuando el círculo circunscrito está separado o es tangente a la recta L, traza una perpendicular a la recta L desde el punto M y corta el círculo en el punto O. El pie vertical es C. C es la ubicación de la estación de bombeo de agua. Primero, lleve el agua al punto O. y luego suministre agua a A y B respectivamente desde el punto O. En este momento, el punto O es más corto, es decir, elija otro punto. L no lo mejorará, porque ∠ABC≥120 °, el punto Fermat es el punto C, es decir, se construye una estación de bombeo de agua en C para suministrar agua directamente a A y B.

Si la estación de bombeo de agua C se selecciona a la izquierda del punto P, como se muestra en la Figura 7, entonces el punto Fermat O de △ABC debe estar en el punto P, por lo que no habrá mejor punto para elegir a la izquierda del punto P. en L. De la misma manera, no hay mejor punto a la derecha del punto Q.

(2)El ángulo entre AB y L no es inferior a 30°.

Como se muestra en la Figura 8, si el punto A está cerca de la línea recta L, deje que AC⊥L se cruce en C. El punto C es la ubicación de la estación de bombeo de agua. Debido a que ∠CAB≥120°, El punto A es el punto Fermat del ΔABC, la longitud total de la tubería de agua en este momento es CA + AB. Tomar cualquier otro punto en L no lo mejorará. Obviamente, cuando se toma un punto C′ a la izquierda del punto C, el punto Fermat de ΔABC′ todavía está en el punto A, lo cual es fácil de saber en el arco (porque el círculo circunscrito de ΔABM no cortará ni será tangente a L), por lo que debe haber; O′ A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA+AB.

En resumen, existen tres líneas más cortas de tuberías de agua: en forma de "Y", en forma de "V" y en forma de "fábrica".

3． Dos preguntas de solicitud

El artículo (4) habla sobre el grupo de preguntas del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad en 1995. Se consideraron las siguientes dos preguntas al seleccionar las preguntas de solicitud:

(1) Un río tiene 1 km de ancho, hay ciudades A y B a cada lado del estrecho. La distancia en línea recta entre A y B es de 4 km. Ahora es necesario tender un cable para conectar A y B. Se sabe que la construcción. El costo de los cables subterráneos es de 20.000 yuanes/km y el de los cables submarinos es de 40.000 yuanes/km. Suponiendo que ambos lados del río sean líneas rectas, ¿cómo se debe instalar el cable para minimizar el costo total de construcción?

(2) Hay cuatro puntos ubicados en los cuatro vértices de un cuadrado, y deben estar conectados con líneas para formar una red (es decir, partiendo de cualquier punto, puedes llegar a otros puntos a lo largo del líneas en esta red), pregunte cómo esta red debe conectar estos cuatro puntos para minimizar la longitud total de las líneas utilizadas.

Tang Jianxin y Zhao Hanqun publicaron un artículo (5) en la edición de octubre de 1997 de "Middle School Mathematics" (Hubei), que analizaba la pregunta (1) en detalle y daba una respuesta muy inteligente, que hizo Es más fácil para los estudiantes de secundaria entenderlo. También se puede resolver usando el punto de Fermat, porque el costo de construcción de los cables submarinos por kilómetro es el doble que el de los cables subterráneos, como se muestra en la Figura 9. De hecho, significa encontrar un punto C en la línea recta L de la orilla del río para minimizar AC +2BC, y tomando el punto B con respecto a L Punto simétrico B′, porque BC=B′C, el punto C (el punto de lanzamiento del cable) es el punto Fermat de ΔABB′, que se puede obtener tomando ∠BCA =120°.

En cuanto a la pregunta (2), como se muestra en la Figura 10, es fácil saber que no importa cómo esté conectada, la red requerida debe pasar por el punto central O del cuadrado. transformado en el problema de Fermat de ΔABO y ΔDCO, o también puede transformarse en el problema (1), se pide a los estudiantes que consideren las respuestas detalladas.