Potencias complejas de números complejos generales en funciones complejas

Para resolver este problema, utilizamos principalmente la fórmula w z = exp(z * lnw)= exp { z *[I *(arg(w) 2kπ) ln w |].

Donde w y z son números complejos, tenga en cuenta que Lnw es una función multivaluada. Por lo tanto, los siguientes resultados son todas funciones multivaluadas y diferentes valores se distinguen por diferentes k.

Supongamos que θ = arg (a ib), r = √ (a? b?), entonces

(a ib)^(a ib)

=exp{[i(θ 2kπ) lnR]*(a ib)}

= exp {-(θ 2kπ)* b) alnR } * exp { I[(θ 2kπ)* a blnR] }

= exp {-(θ 2kπ)* b) alnR } * { cos[(θ 2kπ)* a blnR] I * sin[(θ 2kπ)* a blnR]}

= exp {-(θ 2kπ)* b) alnR } * cos[(θ 2kπ)* a blnR] I * exp {-(θ 2kπ)* b) alnR } * sin[(θ 2kπ)* a blnR]

Supongamos φ = arg (COSA icosb), k = √ [r? (cos? a cos? B)], entonces

(r*(cosa i*cosb))^(r*(cosa i*cosb))

= exp { I (φ 2kπ lnK)* r *(cosa I * cosb)}

= exp {-r *[(φ 2kπ)* cosb cosa * lnK]} * exp { I * r *[(φ 2kπ)* cosa cosb * lnK]}

= exp {-r *[(φ 2kπ)* cosb cosa * lnK]} *(cos { r *[(φ 2kπ)* cosa cosb * lnK ]} I * sin { r *[(φ 2kπ)* cosa cosb * lnK]})

= exp {-r *[(φ 2kπ)* cosb cosa * lnK]} * cos { r *[(φ 2kπ)* cosa cosb * lnK]} I * exp {-r *[(φ 2kπ)* cosb cosa * lnK]} * sin { r *[(φ 2kπ)* cosa cosb * lnK]}

I I = exp { I[(π/2) 2kπ]* I } = exp {-[(π/2) 2kπ]}, donde k ∈ z.