En el sistema de coordenadas cartesiano plano, se sabe que el punto A (0, 4 raíz de 3), el punto B está en el semieje positivo de X y ∠ABO=30° que mueve el punto P está en el segmento de línea① Encuentre la fórmula analítica de la recta AB; en Rt△ABO, AO=4√3, ∠ABO=30°, entonces, AB=2AO=8√3. B0=12, entonces, B(12,0) Supongamos que AB está en la fórmula analítica de una línea recta: y = kx b Sustituyendo A (0, 4√3) y B (12, 0) en la fórmula anterior, tenemos obtener k= -√3/3 b= 4 √ 3 Por lo tanto, y= (-√3/3)x 4√3 (2) Encuentre la longitud del lado del equilátero △PMN (expresado por la expresión algebraica de t), y encuentre el valor de t cuando el vértice M del △PMN equilátero se mueve para coincidir con el origen O Como △PMN es un triángulo equilátero, entonces: ∠MPN=∠PNM=60° Además, ∠PNM=∠NPB ∠B; =∠NPB 30° Entonces, ∠NPB=30° Entonces, ∠MPB=∠MPN ∠NPM=60 ° 30°=90°, es decir, MP⊥AB, es decir, △MPB es un triángulo rectángulo y PM = MN = PN = BN Por lo tanto, N es el punto medio de Rt△MPB Por lo tanto, PM = MN = PN = BM/2 cuando AP = √3t, PB = 8√3 - √3t = √3*(8 - t) Entonces, en Rt△PMB, MBP=30° Entonces, BM=[√3*(8-t)]/( √3/2)=2*(8-t) Por lo tanto, PM=NM=PN=BM/ 2=(8-t) Cuando M y O coinciden, Rt△PMB es Rt△PBO En este momento, PM= PO=BO/2=6 Entonces: 8-t=6 t=2 (3) Si tomamos. el punto medio D de OB y dibuje un rectángulo ODCE en Rt△AOB con OD OD como lado, como se muestra en la Figura 2, punto C En la línea recta AB, sea el área de la parte superpuesta del equilátero △PMN y el rectángulo ODCE sea S, resuelva la relación funcional entre S y t cuando 0≤t≤2 segundos y encuentre el valor máximo de S. Como se muestra en la figura, supongamos que PM interseca a CE en F, AO intersecta a CE en H y que PN intersecta a CE en G. Se puede ver en (2) que cuando t = 2, M y O coinciden y cuando t = 1, PM; pasa por el punto E. Por lo tanto, cuando 0≤t≤1, la parte superpuesta de △OMN y la ODCE rectangular es el trapecio rectangular ONGE. Cuando 1≤t≤2, la parte superpuesta de △OMN y la ODCE rectangular es. la parte sombreada en la figura. Dibuja una línea perpendicular a AO. La línea recta pasa por el punto P y el punto de apoyo está en AO.
Tomando AO como línea vertical, el pie vertical es Q; tomando CE como línea vertical, el pie vertical es S. Debido a que D es el punto medio de BO, entonces. C y E son los puntos medios de AB y AO respectivamente. Por lo tanto, el punto C (6, 2 √ 3) Porque PQ // CE // BO, entonces: AP/AC = PQ/CE, es decir: (√ 3t) / (4 √ 3 ) = PQ / 6 Por lo tanto, PQ = 3t / 2 Por lo tanto, según el teorema colineal: AQ = √ 3t/ 2 Por lo tanto, QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2) Porque CE//BO Entonces: △PFG∽△PMN, es decir, PS⊥FG Entonces, S es el punto medio de FG, ∠GPC=∠GCP=30° Entonces, PG=GC Entonces, FG=GC= (2/ √3)*PS = (2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t Además, CE=OD=6, entonces, EF FG GC=EF 2*FG=EF ( 8-2t)=6 Entonces, EF=2t-2 Entonces, EG=EF FG=2t-2 4-t=t 2 Y, en Rt△EFH, ∠EHF=30° Entonces, EH=(√3)EF Entonces, Rt△EFH Área= (1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t- 1)^2 De (1), BN=PN=8-t, por lo tanto, ON=OB-BN=12-(8-t)=4 t Por lo tanto, el área del trapecio rectángulo ONGE=. [(EG ON)*OE]/2 =[ (t 2 4 t)*2√3]/2 =2√3(t 3) Por lo tanto, el área de la parte sombreada S=[2√3( t 3)]-[2√3(t-1)^2 ] =(2√3)[(t 3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2 3t 2 ) Debido a que 1 ≤ t ≤ 2, la función cuadrática -t^2 3t 2 tiene un valor máximo. Entonces, cuando t = -b/2a=3/2: Smax=17/4.