Coordinar transformación y descripción de actitudes.
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Para reflejar científicamente las características de movimiento del objeto, se describirá en un. sistema de coordenadas específico. En general, dadas las circunstancias, los siguientes sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para analizar las características de movimiento de las aeronaves: 1. sistema de coordenadas geodésicas; 2. sistema de coordenadas fijo centrado en la Tierra; 3. sistema de coordenadas local noreste; Sistema de coordenadas noreste en el aire; 5. Sistema de coordenadas del eje del cuerpo.
Entre ellos, 3, 4 y 5 son sistemas de coordenadas que se utilizan a menudo cuando modelamos y diseñamos leyes de control. La información de seis grados de libertad que describe la información de postura del objeto (cuerpo rígido) es. todos en estos tres Producido en un sistema de coordenadas
El origen del sistema de coordenadas del eje del cuerpo está fijado al centro de gravedad de la aeronave, el eje X apunta a la nariz, el eje Z apunta a el vientre, y ambos El eje Y apunta al lado derecho del fuselaje y forma un sistema derecho con los ejes X y Z Usamos la letra b inicial del cuerpo para representar este sistema de coordenadas.
El origen del sistema de coordenadas NED aerotransportado también se encuentra en el centro de gravedad de la aeronave. Su eje X apunta al polo norte geográfico del modelo elipsoide, su eje Y apunta al polo geográfico. al este del modelo elipsoide, y su eje Z apunta hacia abajo a lo largo de la línea normal de la superficie del elipsoide. En la mayoría de los casos, puede entenderse como la dirección norte, la dirección este y la dirección del suelo habituales. Nevada.
La única diferencia entre el sistema de coordenadas NED local y el sistema de coordenadas NED aéreo es que la coordenada de origen se encuentra en cualquier punto del suelo, lo que generalmente no se utiliza al analizar el movimiento de rotación de un objeto.
Acabamos de hablar de dos sistemas de coordenadas, entonces, ¿cuál es el propósito de establecer estos dos sistemas de coordenadas? Por supuesto, es necesario describir claramente la información de actitud y el estado de movimiento angular de la aeronave. Hasta ahora, hay tres formas de describir la información de actitud: ángulos de Euler, matriz de rotación y cuatro elementos.
Los ángulos de Euler son los tres ángulos introducidos por Euler para describir la postura de los cuerpos rígidos. También son la forma más fácil de entender y expresar con claridad. Hay dos tipos de ángulos de Euler: estáticos y dinámicos. El estático gira alrededor de los tres ejes del sistema de coordenadas inercial estacionario, mientras que el dinámico gira los ejes de coordenadas durante el proceso de rotación, excepto que la primera rotación es alrededor de las coordenadas de. En el sistema inercial, además del movimiento del eje, las dos rotaciones posteriores son dinámicas y el ángulo de la rotación anterior tiene un impacto en el eje de rotación posterior. Los ángulos de Euler obtenidos al girar según diferentes secuencias de ejes también son diferentes. La transformación de rotación se puede resumir como Hay varias combinaciones de rotaciones a lo largo del eje de coordenadas. El número de combinaciones no excede tres y dos rotaciones adyacentes deben realizarse a lo largo de diferentes ejes de coordenadas. Hay un total de 12 métodos de rotación, a saber, XYZ, XZY,. XYX y XZX, YXZ, YZX, YXY, YZY, ZXY, ZYX, ZXZ, ZYZ. Aunque hay 12 métodos de rotación, cada método de rotación tiene un fenómeno de bloqueo universal. ¿Qué es un bloqueo universal? Este es un tema relativamente complicado que describiremos en el capítulo avanzado. La siguiente imagen es un método de rotación de Euler común:
El método de rotación habitualmente utilizado por los profesionales de la aviación es la secuencia ZYX. La siguiente imagen es el proceso de rotación de una aeronave según la combinación ZYX para generar ángulos de Euler. donde , ψ es el ángulo de guiñada, θ es el ángulo de cabeceo y φ es el ángulo de balanceo.
La matriz de rotación refleja la relación de transformación entre coordenadas en un sistema de coordenadas y expresadas en otro sistema de coordenadas.
Primero echemos un vistazo a la situación en el sistema de coordenadas del plano bidimensional:
Si se expresa en forma matricial:
Según el orden de acción, desde el sistema de coordenadas NED en el aire al eje del cuerpo La matriz de transformación de Euler de un sistema de coordenadas es
Entonces, una matriz de rotación es básicamente otra representación de los ángulos de Euler. Siempre que el ángulo de cabeceo no sea igual a ±90°, los ángulos de Euler pueden describir claramente la información de actitud y movimiento angular de cualquier cuerpo rígido. Para la mayoría de las aeronaves, el ángulo de cabeceo no alcanzará los 90°, por lo que los ángulos de Euler se utilizan para la actitud. control Puede cumplir completamente con los requisitos de uso, pero para algunas aeronaves que requieren maniobrabilidad anormal, para evitar que ocurra una singularidad cuando el ángulo de cabeceo es de 90 °, es necesario usar cuatro elementos en lugar de ángulos de Euler para el control de actitud.
Pongamos el avión al lado del giroscopio para comparar. Primero, expliquemos cómo giran los tres anillos del giroscopio giratorio de arriba. Cada anillo está conectado a uno o dos ejes. Este eje es el eje de rotación de cada anillo. Podemos ver que la rotación del anillo exterior no afectará. la posición de los dos anillos internos. La rotación del anillo central no afectará la posición del anillo más interno, pero el anillo más externo lo seguirá y la rotación del anillo más interno afectará los dos anillos externos. Lo mismo que las tres rotaciones en la rotación de Euler de las que hablamos la última vez. Es por eso que usamos un giroscopio para explicar el fenómeno de bloqueo universal del ángulo de Euler.
Primero echemos un vistazo a la rotación del anillo más externo la última vez usamos la secuencia ZYX para la rotación, por lo que el anillo más externo corresponde a la rotación alrededor del eje X, que corresponde al giro de. Movimiento de rotación del avión:
Pero si el ángulo de cabeceo de nuestro avión alcanza ±90°, encontrará que el movimiento de balanceo representado en verde y el movimiento de guiñada representado en azul coinciden con sus ejes de rotación. A veces tienes que cambiar el ángulo del eje de rotación más interno para alcanzar la posición espacial que necesitas, y esto va en contra de la ley de fijación del giroeje, por lo que la dirección del movimiento en el giroscopio en la imagen de abajo en realidad está bloqueada. Es imposible tener movimiento en esta dirección cuando el ángulo de inclinación alcanza ±90°. Esto se debe a que cuando su ángulo de inclinación alcanza ±90°, cambia la dirección del tercer eje para girar, que es la misma que su primera rotación. El eje Z coincide, por lo que se pierde un grado de libertad en el espacio:
Este es el fenómeno de bloqueo universal de los ángulos de Euler. Para comprender mejor este fenómeno, usaremos nuestro teléfono móvil para hacer uno. Para la prueba, coloca la pantalla del teléfono hacia arriba, el lado largo del teléfono es el eje X, el lado corto es el eje Y y el eje Z es vertical a la pantalla hacia abajo. Luego, primero gira el teléfono alrededor del. Eje Z, suponiendo que esté girado 30 grados, y luego gire el teléfono. Gire el eje X 90 grados, es decir, coloque el lado largo del teléfono en contacto con la mesa y colóquelo en posición vertical. gire alrededor del lado corto del teléfono. Verá que el lado largo del teléfono siempre está fijo en la mesa y no se puede separar de la mesa. Este es el fenómeno de bloqueo universal.
Finalmente, usemos fórmulas de datos para explicar la causa del fenómeno del bloqueo universal. Revisemos la matriz de rotación de ayer:
Si el ángulo de inclinación es ±90°, entonces la fórmula se convierte en. :
Cuando los ángulos de Euler representan posturas, encontrarán el problema del bloqueo universal. Esto hace que la expresión de los ángulos de Euler en el mismo estado espacial no sea única. Cuando ocurre el bloqueo universal, el fenómeno es la misma rotación. tiene innumerables representaciones de los ángulos de Euler, lo que genera problemas con las diferencias de los ángulos de Euler, porque cuando el ángulo de inclinación es cercano a 90 °, dos conjuntos de representaciones muy diferentes de los ángulos de Euler pueden tener el mismo tipo de rotación. Entonces, para resolver estos problemas, las matemáticas idearon un método para representar la postura en forma de cuaterniones.
Para el algoritmo de navegación y control de vuelo, ¿qué necesitamos saber sobre los cuaterniones? En realidad, es muy simple. Necesitamos conocer sus reglas básicas de operación, cómo representa la actitud y cómo representa la actitud. actitud. Cómo se pueden convertir entre sí con los otros dos ángulos de Euler y los métodos de matriz de rotación que representan la actitud. Además, también se explica cómo utilizar los cuaterniones para modelar y diseñar leyes de control, y cómo obtener el estado de los cuaterniones en el algoritmo de navegación.
El cuaternión está compuesto por 1 número real más 3 números complejos. Generalmente se puede expresar como w xi yj zk o (w, (x, y, z)), donde w, x, Tanto y como. z son números reales e i^2 = j^2 =k^2 = -1, i^0 = j^0 = k^0 = 1.
En cuanto a las reglas de operación de los cuaterniones, debemos tener claro lo siguiente: supongamos que hay dos cuaterniones, q1=(w1, (x1, y1, z1)) y q2= (w2, (x2). , y2, z2)), sea v1 = (x1, y1, z1), v2= (x2, y2, z2), entonces
Comprende las reglas básicas de operación de los cuaterniones Finalmente, echemos un vistazo a cómo representa la postura Supongamos que hay un eje de rotación u, y que existe tal rotación alrededor del eje u en un ángulo de σ. Entonces el cuaternión que representa esta rotación en este momento se ve así:
En cuanto a por qué existe este resultado, no entraremos en la prueba aquí. La idea es que solo necesitas demostrar que el ángulo entre v y w es σ, y dejar la prueba a los matemáticos. Solo necesitamos saber que el cuaternión escrito así se puede usar para representar la actitud. De hecho, representa la relación de rotación. Es similar al método de representación de la matriz de rotación, excepto que solo requiere 4 elementos. La matriz de rotación requiere 9 elementos.
Cuatro elementos de la matriz de rotación:
Cuatro elementos de la matriz de rotación:
Matriz de rotación conocida:
Entonces al resolver el cuaternión El El método se obtiene a partir de la fórmula de conversión de cuaternión en matriz de rotación:
Luego cuatro elementos:
Conversión de ángulo de Euler en cuaternión:
Ángulos de Euler ya conocidos: α , β, γ
Los cuaterniones son:
Cuatro elementos para los ángulos de Euler
Cuaterniones conocidos:
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Los El ángulo de Euler es:
En este momento, generalmente establecemos α=0 y luego resolvemos el valor del ángulo de Euler.
En este punto, se explica básicamente la relación entre los ángulos de Euler, las matrices de rotación y los cuaterniones. Para los cuaterniones, no necesitamos imaginar cómo gira, solo necesitamos saber cómo gira. ¿Para caracterizar la actitud? El diseño de la ley de control posterior y la estimación del estado se llevarán a cabo en función del modelo de movimiento angular. Esto es suficiente. Resumamos las ventajas y desventajas de estos tres métodos:
Ángulo de Euler: muy. Intuitivamente, podemos entender fácilmente su significado e imaginar la posición espacial correspondiente. Sin embargo, existe un fenómeno de bloqueo universal, que conducirá a muchos problemas matemáticos más adelante.
Matriz de rotación: La matriz de rotación tiene 9 elementos, el cálculo es complicado, sobre todo a la hora de calcular diferenciales, y no es intuitivo.
Cuaterniones: No hay puntos singulares, pueden representar cualquier relación de rotación y son simples de expresar. Tienen solo cuatro elementos y requieren una pequeña cantidad de cálculo, pero no son intuitivos.