Programación Dayan Yishu
Transferencia de propiedad:
Resuelva la ecuación de congruencia lineal de una variable (fórmula de congruencia) ax = = bmod n Aquí, se usa un signo doble igual = = en lugar de un triple igual. signo ≡ Congruente.
Solución:
En primer lugar, ax==b mod m
es completamente equivalente a la ecuación indefinida ax=b ym.
Si tienen divisor común, o están reducidos, se resuelven y luego se convierten al módulo m. Por ejemplo, x==r mod n
X==r n*i mod kn, i=0,…,k-1.
Si mcd(a, m) |b no se cumple, no hay solución.
Obviamente, si hay solución y se eliminan los divisores comunes, se puede transformar al caso de mcd(a, m)=1.
Además, preste atención a la descomposición de módulos grandes.
ax==b mod m, gcd(a,m)=1
La descomposición del módulo es m=m1*m2*...*mn, (principalmente factores coprimos) , y los resultados se obtienen usándolos como módulo. Grupo de congruencia pública inversa. No es difícil encontrar el inverso de un grupo de congruencia. Tengo una versión simplificada del teorema del resto chino.
Búsqueda de Baidu: método de conteo de productos modular wsktuuytyh
Este método inverso es útil cuando m es un número compuesto grande.
El siguiente es un enfoque general.
Idea 1: Solución fórmula.
Según el teorema de Euler, mcd(a, m)=1, entonces a φ (m) = = 1 mod m Entonces a * a (φ (m)-1) = = 1 mod m. ,Ahora mismo.
x==a^(φ(m)-1)mod m
Este método es una buena manera de realizar cálculos con computadoras de una manera inteligente. Por lo general, φ (m) -1 se binariza y luego se toman varios términos del producto como resto para calcular el producto. También es posible calcular utilizando otros sistemas numéricos u otras ideas. ¿Cómo calcular fácilmente? Utilizando la representación de congruencia de Hong Boyang (que se explicará en detalle más adelante), el cálculo manual también es más conveniente.
Idea 2: Simplificación equivalente, superposición lineal.
Como ejemplo simple, puedes tomar un número k que es primo relativo con m y obtener Kax = = KB mod m.
Y ka mod m es un valor menor o mejor, simplificado a UX = = kb = = v mod m
Luego intenta hacer as-ut==1, y luego Aplicar S y T a dos congruencias, obtenemos la solución.
Por supuesto, también podemos obtener dos o más congruencias similares, dejarlas superponer linealmente, de modo que el coeficiente de x izquierda sea 1, y podemos obtener la solución.
Idea 3: Método de resolución de ecuaciones indefinidas equivalentes.
Esta forma de pensar es original para mí. Escribe en cuanto te familiarices con él, tus ideas serán claras y muy económicas. De todos modos, es muy conveniente.
Usando la idea de congruencia, toma los restos de ambos lados de la ecuación indefinida al mismo tiempo y luego junta los múltiplos para obtener otra ecuación indefinida con coeficientes reducidos. En comparación con la fórmula original, la ecuación de comparación puede reflejar la relación de coeficiente simple entre los dos. )
Así hasta que puedas ver la solución especial. Luego según la fórmula de comparación.
Para obtener más información, busque en Baidu:
Congruencia Wsktuuytyh
o
Ecuación indefinida
ideas cuatro :
Primero resuelve ay==1 mod n, que consiste en encontrar la multiplicación y la inversa de a bajo la operación modular. Las operaciones de multiplicación e inversas de la aritmética modular se denominaban razones de multiplicación en la antigüedad. Ahora también se le llama inverso modular, o inverso congruencial, o recíproco congruencial, o recíproco en teoría de números.
Entonces ayb==b mod n, es decir, la solución de la congruencia original es x = = ybmod n.
Nota: El método de cálculo de la tasa de duplicación——————————————
Existe un algoritmo famoso llamado “Gran extensión para encontrar uno” (en realidad "Se busca una gran expansión"). Matemáticos relevantes: el fundador Qin lo llamó tasa de multiplicación e hizo un análisis sistemático y científico del algoritmo de la tasa de multiplicación. Fundador Huang Zongxian. Consulte la Enciclopedia Baidu: busque grandes habilidades.
Además, la tasa de multiplicación también se puede obtener mediante el método de división euclidiana y su aritmética matricial relacionada.
Entre las soluciones recientes, lo que más admiro es la notación y el método del Sr. Hong Boyang, que se escribe como x==1/a mod m, que es muy conveniente de resolver. Consulte a continuación para obtener más detalles.
Idea 5: utilizar directamente la notación de congruencia de Yang Hongbo para resolver el problema.
Usar la representación de Hong Boyang para describir y calcular puede hacer que este proceso sea muy simple y eficiente. En su numerador y denominador se pueden utilizar propiedades de congruencia, propiedades de proporcionalidad, propiedades fraccionarias (es decir, tratadas como fracciones impropias, números mixtos), etc.
Nota: La primera vez que vi esta expresión fue en las obras del Sr. Hong Boyang, por eso a menudo la llamo expresión congruente de Hong Boyang. Después descubrí que también estaba incluido en otras obras, por lo que no verifiqué el orden cronológico. Esta forma de escribir tiene una base teórica y se puede encontrar en el álgebra moderna, pero no he encontrado suficiente información rigurosa y completa, ni la he organizado en un sistema estricto. Sin embargo, no hay necesidad de dudarlo.
Ax==b mod n, escrito como x==b/a mod n, o escrito como x = b/a
Propiedades: b/a=(kb mt) /( ka ms), donde (k, m)=1.
Ejemplo de solución:
17y==5 mod 31, y==5/17 mod 31==10/34==10/3==60/18== ( 5-60)/(17-18)= =55.
En este artículo, utilizamos el teorema de la razón fraccionaria, 5/17 = = 60/18 = = (5-60)/(17-18) = = 55.
Si se combina con aritmética mental, el resultado se puede obtener rápidamente: n==5/17==10/3==55.
Esos pasos omitidos se pueden completar mediante aritmética mental.
Podemos ver que además de las propiedades de las fracciones (nota a continuación: # # # se usa con fracciones), las propiedades de proporción y las propiedades de congruencia están conectadas entre sí, lo cual es extremadamente libre y conveniente. . (Hay una introducción y ejemplos del Sr. Hong Boyang en el libro. He realizado algunas mejoras al método original aquí)
ax = b ltmod m gt, registrado como x = b/a
Zheng Yi: b/a=(kb mt)/(ka ms), donde (k, m)=1.
De hecho, el proceso anterior se puede evaluar o probar de muchas maneras:
n = = 5/17 = = 10/3 = =-5/14 = 50/15 = =55/1 = =55.
Por el contrario, resolvamos 17==5n mod 31, es decir, 5n = = 17 mod 31. n = = 17/5 = = 102/30 =-102.
(# # #usar con fracción) De hecho, también puedes usar con fracción, es decir, entero más fracción
También puedes descomponer la suma de los números componentes, encuentre el número entero correspondiente y luego encuentre y.
n = = 3 2/5 = = 3 12/30 = =-9 = = 22.
Todavía estoy pensando en cómo usar fracciones continuas para generalizar a congruencias de orden superior y otras estructuras algebraicas. Creo que una mayor investigación generará expresiones matemáticas ricas, rigurosas, libres y simples; una apreciación de la elegancia y la vulgaridad en el pensamiento matemático y facilitará la promoción de una investigación en profundidad, e incluso inducirá o conducirá directamente a resultados importantes; ............a discusión.
Además, reemplazar fracciones con dos números uno al lado del otro, usar un método similar a las operaciones matriciales o escribir una tabla puede simplificar el proceso de pensamiento. Este método también debería constituir un estándar matemático y promoverse. Solo tuve algunos intentos no sistemáticos.
Para obtener más contenido relacionado, por favor: busque en Baidu wsktuuytyh Hong Boyang Tongyu dijo (nota: entre ellos, los cinco códigos de mi nombre actual, He Dongzhou)