Prueba de equivalencia de dos proposiciones de completitud en r.
Supongamos que a[1], a[2],... son secuencias de Cauchy en r.
Es fácil saber que la secuencia de Cauchy es acotada, por lo que establecemos L
Consideremos que en el conjunto E = {x ∈ R hay infinitos k, tales que a[k | ] ≤ x }.
¿Por U ∈ E, E≦? También es fácil ver que l es un límite inferior de e.
e es un conjunto no vacío con un límite inferior, por lo que existe un límite inferior b.
Aseverar lim {k→∞} a [k] = B.
De lo contrario, existe ε>; 0, tal que infinitos k satisfacen |a[k]-b|
Debido a que b es el límite inferior de e, existe a[k] lt; la k más finita constituye a[k]
Sin embargo, debido a que {a[k]} es Ke Secuencia occidental, entonces hay n, cuando m, n >; hay | a [m]-a [n] |
Hay infinitos k, y k > N tales que a[k] ≥ b ε.
Entonces, para cualquier n > N, donde a[n] > a[k]-ε/2 ≥ b ε/2.
Por lo tanto, hay como máximo un número finito de k tales que a[k] ≤ b ε/2, es decir, b ε/2 no pertenece a e.
Es fácil entender cualquier x
Entonces la afirmación es verdadera y la secuencia de Cauchy converge.
(2) Convergencia de la secuencia de Cauchy → principio supremo.
Supongamos que E es un conjunto no vacío en R y existe en el límite superior.
Primero, demostramos el lema: para cualquier límite superior b de e, si t > 0 tal que b-t no es el límite superior de e,
entonces e tiene un límite superior c, entonces c-t/2 no es el límite superior de e.
La razón es simple: si b-t/2 es el límite superior de E, entonces c = b-t/2 satisface la condición.
Si b-t/2 no es el límite superior de e, entonces c = b satisface la condición.
Supongamos que x es un límite superior de E y y ∈ E, sea t = x-y 1>0, entonces x-t = y-1
Construya la secuencia {a[k]} : Supongamos que a[1] = x, entonces a[1] es el límite superior de e, y a[1]-t no es el límite superior de e.
Se puede ver en el lema que E tiene un límite superior a [2], por lo que a[2]-t/2 no es el límite superior de E.
Hay un límite superior de E, a[3], de modo que a[3]-t/4 no es el límite superior de E. límite superior, y así sucesivamente.
A[k] es el límite superior de E, y A [k]-t/2 (k-1) no es el límite superior de E.
Supongamos que a[ k 1] es el límite superior de e, donde a[k 1]> a[k]-t/2^(k-1).
Y a [k 1]-t/2 k no es el límite superior de e, existe a[k]>; a[k 1]-t/2^k.
Completo | p>
Se puede demostrar que { a[k]} es la secuencia de Cauchy:
| a[n m]-a[n]|≤| -1]| ... | un[norte 1]-un[norte]|
lt2 | a[ n 1]-a[n]| lt; t/2^(n-2).
Para cualquier ε>0 dado, sabemos que hay es n, cuando n>; cuando n| a [n m]-a [n] |
Supongamos que lim{k → ∞} a[k] = d, demuestre que d es el límite supremo de e. .
En primer lugar, D es el límite superior de E, porque para cualquier x ∈ E, x ≤ a[k] es válido para cualquier k.
X ≤ lim{k → ∞} a [k] = d se obtiene preservando el orden en el límite.
Por otro lado, d es la cota suprema de e
Para cualquier d'
La existencia de k hace que d' ≤ a [k]- t/ 2 (k-1), y a [k]-t/2 (k-1) no es el límite superior de e debido al proceso de construcción.
Por lo tanto, D' ≤ A [k]-T/2 (k-1) no es el límite superior de E.
Entonces d es el límite superior mínimo de e, es decir, d es el supremo de e, e tiene un supremo.
Nota (*): De hecho, aquí se utiliza un corolario sobre la completitud de los números reales (propiedad de Arquímedes):
Para cualquier a, b > 0, hay un positivo entero n tal que na > b.
Estrictamente hablando, comenzamos usando secuencias de Cauchy para construir números reales, lo que requiere que ε sea un número racional positivo.
La propiedad de Arquímedes se cumple para los números racionales.