transformación z y transformación z inversa
1. Definición de transformada z
La transformada Z es un método eficaz para estudiar varios patrones de movimiento de señales digitales. Se utiliza principalmente en el procesamiento digital de señales sísmicas y acústicas. dominio del tiempo. Primero veamos el método de representación de "series de tiempo". El método común para las "series de tiempo" es representar la amplitud o el pulso de la señal en puntos de tiempo igualmente espaciados. Por ejemplo, en la Figura 8-5, las "series de tiempo" pueden. expresarse como
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Figura 8-5 Gráfico de series de tiempo
Utilice el valor de la función de tiempo b (n) en cada punto de tiempo n como n de la variable z El coeficiente del término de potencia constituye un polinomio B(z), es decir
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Aquí B(z) se llama Transformación z de b(n). Entre ellos, z se denomina "operador de retardo unitario" de la función de tiempo b (n), denominado operador de retardo. Las características de movimiento de la función de tiempo se pueden reflejar mediante la transformación z.
(1) La transformación z puede representar la misma forma de onda con diferentes retrasos
Por ejemplo: zB(z)=z+2z2-z4-z5 significa que la onda anterior se retrasa por una unidad, z2B (z) = z2 + 2z3 - z5 - z6 significa que la onda anterior se retrasa dos unidades, mientras que znB (z) = zn + 2zn + 1 - zn + 3 - zn + 4 significa que la onda es retrasado por n unidades (Figura 8-6).
Figura 8-6 Diagrama esquemático de la transformada z con diferentes retrasos
(2) La transformada z se puede utilizar para representar ondas complejas con diferentes combinaciones de retrasos
Por ejemplo: si B (z) es la transformación z de la función de presión sonora de la primera explosión, después de un retraso de 10 unidades, hay otra explosión. La explosión tiene la polaridad opuesta a la primera explosión y la intensidad es la mitad. del primero. Luego la onda combinada (Figura 8 -7) La transformación z es
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Figura 8-7 Diagrama de forma de onda combinada
Extender el polinomio anterior de z a un En el caso de una secuencia de señal discreta dada x(n), usar esta secuencia como coeficiente para construir una serie infinita de z se llama transformación z de la secuencia x(n) , denotado como X(z), es decir,
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Considerando la convergencia de la ecuación (8-79), la ecuación (8-79) se puede reescribir en dos formas de suma en serie:
Conceptos básicos de la Tierra sobre el procesamiento de datos físicos
Es matemáticamente fácil demostrar que el dominio de convergencia de la transformada z es el dominio del anillo:
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Donde, r es la fórmula (8 -80) La más pequeña de |z| en la que el primer término de la serie en el extremo derecho es absolutamente convergente, y R es el máximo de |z| que el segundo término de la serie en el extremo derecho de la fórmula (8-80) es absolutamente convergente.
En la ecuación de transformación z (8-79), si z=e-iω, entonces
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Se puede ver que La transformación z es el mismo concepto que la transformada de Fourier (espectro), y solo hay una sustitución de símbolos entre ambas. Por lo tanto, la transformada z tiene las mismas propiedades que la transformada de Fourier, como linealidad, conmutatividad, etc., y también existe un teorema de convolución, es decir, la transformada z de la convolución de dos señales es igual al producto de la transformada z de la señal.
2. Cálculo de la transformación z
(1) Cálculo basado en la definición de transformación z
[Ejemplo 1] Serie de tiempo x (t), tome lo siguiente valores {x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),x(3)}, el resultado es {8,3,-2,0,4, - 6}, encuentra su transformación z.
Solución: Su transformada z es
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[Ejemplo 2] Encuentre la transformada z de .
Solución: Su transformación z es su dominio de convergencia 2z<1, es decir,
[Ejemplo 3] Encuentra la transformación z de la secuencia.
Solución: Su dominio de convergencia
[Ejemplo 4] Encuentra la transformada z de la secuencia.
Solución: Obtener su dominio de convergencia
(2) Calcular según el teorema de convolución
Supongamos z de la serie temporal a(k), b(k) Las transformaciones son A(z) y B(z) respectivamente, es decir,
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y(k) son las dos series de tiempo a(k), b(k), es decir,
y(k)=a(k)*b(k)
El teorema de convolución de la transformación z, lo sabemos
Y(z)=A(z)·B(z)
Es decir, la transformada z de la convolución de dos secuencias es igual al producto de la transformada z de las dos secuencias .
[Ejemplo 5] Se sabe que a(k)={a(0), a(1), a(2), a(3), a(4)}={1, 1, 1, 1, 1} y b(k)=a(k), encuentre
el valor de convolución y(k)=a(k)*b(k).
Solución: Según el teorema de convolución de la transformada z
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De esto podemos obtener
y ( k) = {1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1} (k=0, 1,...,8)
Se puede observar que la transformación z es utilizado para calcular a(k)* b(k) es mucho más simple que el algoritmo directo.
Este algoritmo también se puede generalizar a convolución polinómica, es decir, si hay varias secuencias a(j), b(j),...,k(j), entonces su convolución y(j) ) )=a(j)*b(j)*…*k(j) la transformación z es Y(z)=A(z)·B(z)…K(z).
3. Transformada z inversa
Lo anterior analiza el problema directo de encontrar la transformada z a partir de la secuencia conocida x(n). A continuación se analiza el problema inverso de encontrar la secuencia correspondiente x (n) a partir de X (z), es decir, la transformación z inversa. Aquí se enumeran y explican con ejemplos tres métodos para obtener la transformada z inversa.
(1) Método de expansión directa
[Ejemplo 1] Dado |z| Solución: Debido a |z| Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos [Ejemplo 2] Conocido | z|>a, encuentre x(n). Solución: Porque |z|>a, por lo tanto Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos Entonces x (n) = {-a, -a2,… }(n=-1,-2,…) (2) Método de fracción parcial [Ejemplo 3] Se sabe encontrar x(n). Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos [Ejemplo 4] Dado 1<|z|<4, encuentre x(n). Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos Según el ejemplo anterior: X1(z)=-z-1-z-2-..., |z|> 1 X2(z)=1+4-1z+4-2z2+4-3z3+…, |z|<4 Por lo tanto