¿Cómo se calcula el valor de π (pi)?

En diferentes períodos históricos, restringidos por el nivel de desarrollo de la productividad y el nivel de ciencia y tecnología, los métodos de cálculo, eficiencia y precisión de π también son diferentes. La exploración de los métodos de cálculo π (π) incluye principalmente el período del método experimental, el período del método geométrico, el período del método analítico y la era de la computadora.

1. Período experimental - estimación de π:

Una antigua tablilla de piedra babilónica (producida aproximadamente entre 1900 a. C. y 1600 a. C.) registra claramente π=25/8 =3,125. El antiguo artefacto egipcio "Papiro matemático Rhind" del mismo período también se utilizó para calcular pi. Los egipcios parecen haber conocido pi mucho antes.

El escritor británico John Taylor (1781-1864) señaló en su famoso libro "La Gran Pirámide": "¿Por qué se construyó la Pirámide?", que se construyó en el año 2500 a.C. Se relaciona con la Pirámide de Keops. a pi. Por ejemplo, la relación entre la circunferencia de la pirámide y su altura es igual al doble de la relación de π, que es exactamente la relación entre la circunferencia y el radio de un círculo. Escrito entre el 800 a. C. y el 600 a. C. La obra maestra religiosa "Satapatha Brahmana" muestra que π es igual a la fracción 339/108, que es aproximadamente igual a 3,139. ​​

2. :

(1) La antigua Grecia, como antiguo reino geométrico, hizo una contribución particularmente destacada a π.

El gran matemático griego antiguo Arquímedes (287-212 a. C.) fue pionero. El cálculo teórico de la aproximación de π en la historia de la humanidad A partir del círculo unitario, Arquímedes usó el hexágono interior para encontrar el límite inferior de π como 3, y luego usó el hexágono exterior y el teorema de Pitágoras para encontrar el límite superior de π. ser menor que 4; luego, duplicó el número de lados de los hexágonos interior y exterior, convirtiéndolos en hexágonos interior y exterior respectivamente, y luego mejoró los límites inferior y superior de π con la ayuda del teorema de Pitágoras

Cambió gradualmente los hexágonos interior y exterior. El número de lados del polígono se duplicó hasta que el número de lados de los polígonos interior y exterior fue positivo 96. Finalmente, encontró que los límites inferior y superior de pi. fueron 223/71 y 22/7 respectivamente, y tomaron su valor promedio de 3,141851 como valor aproximado de pi. Kimedes utilizó el concepto de algoritmo iterativo y aproximación numérica de doble cara, y fue el creador de las "matemáticas computacionales". >

(2) Registros del antiguo clásico aritmético chino "Zhoubi Suanjing" (alrededor del siglo II a. C.): "El diámetro es uno y la semana es tres", lo que significa que Zhang Heng de la dinastía Han lo obtuvo (). aproximadamente 3.162), pero simple y fácil de entender

(3) En el año 263 d.C., el matemático chino Liu Hui utilizó la "técnica de corte de círculos" para calcular π. y córtalos uno por uno. Corta hasta 192 polígonos en el círculo. Dijo: "Si lo cortas fino, perderás menos. Si lo cortas una y otra vez, hasta llegar al punto donde no se puede cortar, no perderá nada."

Liu Hui dio un valor aproximado de π = 3,141024. Después de que Liu Hui obtuvo el valor de π = 3,14, también llevó a cabo el diámetro y el volumen del estándar de medición de volumen de cobre Jia Liang. Shi Hu en el arsenal de la dinastía Han después de comprobarlo, descubrió que el valor de 3,14 todavía era demasiado pequeño. Entonces continuó cortando el círculo en 1536 lados, encontró el área de 3072 lados y obtuvo π que lo satisfizo. /p>

(4) Alrededor del año 480 d.C., Zu Chongzhi, un matemático durante las dinastías del Sur y del Norte, obtuvo además resultados con una precisión de 7 decimales, dando un número aproximado insuficiente de 3,1415926 y un número aproximado excesivo de 3,1415927 He. También obtuve dos valores fraccionarios aproximados, a saber, relación de densidad

y relación de aproximación

La relación de densidad es una buena relación de aproximación, que se puede obtener como

un poco más precisa. aproximación que

.

Durante los siguientes 800 años, Zu Chongzhi calculó el valor más preciso de π.

(5) Alrededor del año 530 d.C., el maestro de matemáticas indio Aryabhadra calculó que pi era aproximadamente

Brahmashastra utilizó un conjunto diferente de métodos para calcular que pi es igual a la raíz cuadrada aritmética de 10.

(6) A principios del siglo XV, el matemático árabe al-Qasi descubrió un valor de pi con una precisión de diecisiete dígitos decimales, rompiendo el récord de Zu Chongzhi que se había mantenido durante casi mil años. El matemático alemán Ludolph van Ceulen calculó el valor de π con 20 decimales en 1596, y luego dedicó su vida a calcular el valor de π con 35 decimales en 1610. La gente es famosa por su nombre, lo llama número de Rudolph.

3. Período del método analítico: derivación científica de π:

En este período, la gente comenzó a usar series infinitas o productos de secuencia infinita para encontrar π, deshaciéndose de cálculos complejos de Técnica de círculos secantes. La aparición de varias expresiones de valor π, como productos infinitos, fracciones continuas infinitas y series infinitas, ha mejorado rápidamente la precisión de los cálculos del valor π.

El primer algoritmo rápido fue propuesto por el matemático británico John Machin en 1706, utilizó la siguiente fórmula para calcular que el valor de π superaba la marca de los 100 dígitos:

arctan. x se puede calcular basándose en la serie de Taylor. Un enfoque similar se conoce como "estilo Machen".

El matemático esloveno Jurij Vega derivó π en 1789 con 140 decimales, de los cuales sólo 137 eran correctos. Este récord mundial se mantuvo durante cincuenta años. Usó una fórmula numérica propuesta por Machen en 1706.

En 1948, D. F. Ferguson del Reino Unido y Renzi**** de los Estados Unidos anunciaron el valor decimal número 808 de π, que se convirtió en el cálculo manual más alto del valor de π.

4. Era de las computadoras: calcular π de manera científica y eficiente:

La aparición de las computadoras electrónicas ha llevado a un rápido desarrollo en el cálculo de los valores de π.

En 1949, el primer ordenador del mundo fabricado en Estados Unidos, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), se puso en funcionamiento en Aberdeen Proving Ground. Al año siguiente, Rietweisner, von Neumann y Metberis utilizaron esta computadora para calcular pi con 2037 decimales. La computadora completó el cálculo en sólo 70 horas, menos el tiempo empleado en insertar tarjetas perforadas, lo que equivale a una media de dos minutos calculando un solo dígito.

Cinco años después, el IBM NORC (Naval Ordnance Research Computer) calculó π con 3.089 decimales en sólo 13 minutos. La tecnología siguió avanzando y las computadoras se volvieron cada vez más rápidas. En las décadas de 1960 y 1970, mientras los científicos informáticos de Estados Unidos, Gran Bretaña y Francia seguían compitiendo en computadoras, el valor de π se volvió cada vez más preciso. En 1973, Jean Guilloud y Martin Bouyer descubrieron el millonésimo decimal de pi utilizando el ordenador CDC 7600.

En 1976 se produjo un nuevo avance. Eugene Salamin publicó una nueva fórmula, que es aritmética cuadráticamente convergente, lo que significa que los dígitos significativos aumentan con cada cálculo. Gauss había descubierto una fórmula similar antes, pero era demasiado compleja y no funcionaría en la era anterior a las computadoras. Este algoritmo se llama algoritmo Brent-Salamin (o Salamin-Brent), también conocido como algoritmo Gauss-Legend.

En 1989, investigadores de la Universidad de Columbia utilizaron las supercomputadoras Cray-2 e IBM-3090/VF para calcular el valor de π con 480 millones de decimales y luego con 1,01 mil millones de bits.

7 de enero de 2010: el ingeniero francés Fabrice Bella calculó el valor de π con 2,7 billones de decimales. 30 de agosto de 2010: el mago informático japonés Shigeru Kondo utilizó una combinación de computadoras domésticas y computación en la nube para calcular pi con 5 billones de decimales.

16 de octubre de 2011: Shigeru Kondo, un empleado de la empresa en la ciudad de Iida, prefectura de Nagano, Japón, utilizó una computadora doméstica para calcular pi con 10 billones de decimales, rompiendo su propio récord establecido en agosto de 2010. En enero se estableció el récord mundial Guinness de 5 billones de dígitos. Kondo, de 56 años, usó una computadora que él mismo armó y tardó aproximadamente un año en establecer el récord, a partir de octubre.

Extensión:.

1. Día Internacional del Pi:

En 2011, la Asociación Internacional de Matemáticas declaró oficialmente el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas de cada año, que se deriva del pi del antiguo matemático chino Zu Chongzhi. .....?

El Día Internacional del Pi se remonta al 14 de marzo de 1988, cuando el físico Larry Shaw del Museo de Ciencias de San Francisco organizó al personal del museo y a los participantes para que hicieran 3 paseos alrededor del monumento del museo. círculo (22/7, uno de los valores aproximados de π) de movimiento circular, y coman pastel de frutas juntos. El Museo de Ciencias de San Francisco ha continuado esta tradición y celebra este día todos los años.

En 2009, la Cámara de Representantes de Estados Unidos aprobó oficialmente una resolución no vinculante designando el 14 de marzo como el Día Pi. La resolución establece: "Mientras que las matemáticas y las ciencias naturales son una parte interesante e integral de la educación, y aprender π consiste en enseñar geometría a los niños e involucrarlos en las ciencias naturales y las matemáticas... π es aproximadamente igual a 3,14, por lo que el 3 de febrero El 14 es el día más apropiado para conmemorar el Día Pi."

2. La aplicación de π en diversas disciplinas:

(1) Geometría:

(2) Álgebra:

π es Un número irracional no se puede representar mediante la relación entre dos números enteros, como demostró el científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761. En 1882, Ferdinand von Lindemann demostró además que π es un número trascendental, es decir, π no puede ser la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

La trascendencia de π niega la posibilidad del antiguo problema de construcción con regla y compás de "convertir un círculo en un cuadrado", porque todas las construcciones con regla y compás sólo pueden producir números algebraicos y trascendentales. Los números no son números algebraicos.

(3) Teoría de números:

La probabilidad de que dos números naturales arbitrarios sean primos entre sí es

La probabilidad de que cualquier número entero arbitrario no tenga factores primos repetidos en en cualquier momento Sí

El promedio de cualquier número entero arbitrario se puede escribir de una manera como la suma de dos números perfectos.

(4) Teoría de la probabilidad:

Coloquemos partículas de madera paralelas e igualmente espaciadas en el suelo, arrojemos al azar una aguja con una longitud menor que la distancia entre las partículas de madera y encuentre la aguja y la probabilidad de que una de las partículas de madera se cruce.

(5) Estadística:

Función de densidad de probabilidad de distribución normal:

(6) Física:

Principio de incertidumbre de Haisen Fort:

Ecuación de campo relativista:

Enciclopedia Baidu - π