Ecuaciones básicas y condiciones de contorno del campo electromagnético.

(1) Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales que el campo electromagnético debe obedecer. La expresión en el Sistema Internacional de Unidades es

. Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

▽·B=0 (campo de vórtice B) (1?2?3)

▽ · D=q (ley de Coulomb) (1?2?4)

En la fórmula: E es la intensidad del campo eléctrico, V·m-1; B es la intensidad de inducción magnética o densidad de flujo magnético, T ; D es la densidad de flujo del campo eléctrico o desplazamiento eléctrico, C·m-2; H es la intensidad del campo magnético, A·m-1; j es la densidad de corriente, A·m-2; C·m-3. ▽ se llama operador hamiltoniano, que es un operador diferencial vectorial. En el sistema de coordenadas cartesiano, es:

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

La suma del producto escalar de ▽ y el. campo vectorial El producto vectorial representa la divergencia y la curvatura del campo vectorial respectivamente. Por ejemplo:

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

El significado físico de las ecuaciones es: el campo eléctrico puede ser un campo disperso causado por la densidad de carga q, o puede ser un vórtice causado por un campo magnético cambiante El campo magnético H es un campo de vórtice generado por la corriente de conducción j y la corriente de desplazamiento. No hay carga magnética independiente en el espacio.

Las cuatro cantidades básicas del campo electromagnético están conectadas a través de los parámetros físicos ε y μ. En medios isotrópicos, su relación es:

D=εE (1?2?5)

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

ε y μ son la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética del medio respectivamente. Estos parámetros del medio se dan en la tabla general en forma de permitividad relativa εr y permeabilidad magnética relativa μr. Son la relación entre el parámetro ε o μ del medio y los parámetros correspondientes ε0 y μ0 en el vacío:

εr=ε/ε0; μr=μ/μ0

εr y μr tienen una dimensión, pero ε y μ ambos tienen dimensiones en el Sistema Internacional de Unidades, y ε0 y μ0 en el vacío. son

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

μ0=4π×10-7H/m (1?2?8)

Densidad de corriente j en campo electromagnético La la relación con E es

j=σE (ley de Ohm) (1?2?9)

donde σ es la conductividad del medio:

Tierra Eléctrica prospección eléctrica y de campo

En el trabajo real, la unidad de medida del campo magnético B es nT, la unidad del campo eléctrico es mV·km-1, la unidad de longitud es km y la unidad de resistividad es Ω·m.

(2) Ecuaciones de campos armónicos de Maxwell

Usando la transformada de Fourier, cualquier campo electromagnético que cambia con el tiempo se puede descomponer en una serie de combinaciones de campos armónicos. Generalmente usamos e-iωt. representa el factor de tiempo del campo armónico (es decir, expresado en tiempo armónico negativo). Según la fórmula de Euler, podemos saber:

e-iωt=cosωt-i sinωt (1? 2? 10).

Se puede observar que tanto su parte real como la imaginaria indican que el campo cambia armoniosamente con el tiempo.

La frecuencia del campo electromagnético discutida en el sondeo magnetotelúrico es extremadamente baja. Generalmente, se estudia la vibración con período T>1s. En este momento, la corriente de desplazamiento en el medio conductor se puede ignorar en relación con la corriente de conducción. j=σE (ωε ?σ). Por tanto, las ecuaciones de Maxwell del campo armónico de baja frecuencia del medio conductor son

▽×E=iωμH (1?2?1a)

▽×H=σE (1 ?2?2a )

▽·H=0 (1?2?3a)

▽·E=0 (1?2?4a)

Donde ▽· E=0 se debe a que la densidad de carga del cuerpo dentro del medio conductor es en realidad cero. Los factores de tiempo en la fórmula están implícitos en los campos E y H. Las ecuaciones (1?2?1a)~(1?2? 4a) son los magnetotelúricos electromagnéticos. El punto de partida de la investigación teórica sobre batimetría.

(3) Ecuación de onda y condiciones de contorno del campo electromagnético

En el proceso de excitación mutua y transformación mutua, los campos electromagnéticos alternos se propagarán en el medio en forma de ondas.

La ecuación de onda de las ondas electromagnéticas describe cómo cambia el campo eléctrico o el campo magnético con el espacio y el tiempo. La ecuación de onda del campo armónico se llama ecuación de Helmholtz y se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell.

Calcule el rizo a ambos lados de la ecuación 1?2?1a:

▽×▽×E=iωμ (▽×H)

Según la fórmula de análisis vectorial, El lado izquierdo de la ecuación

▽×▽×E=▽(▽·E)-▽2E=-▽2E

El lado derecho de la ecuación se sustituye con la ecuación (1?2?2a), Obtenga:

-▽2E=iωμσE

o escriba como

▽2E-k2E=0 ( 1?2?11)

Entre ellos

Campo Geoeléctrico y Exploración Eléctrica

k se llama constante de propagación, que es un número complejo, también conocido como el número de onda complejo o número de onda angular [complejo].

Se puede utilizar un método similar para obtener:

▽2H-k2H=0 (1?2?13)

Fórmula (1?2?11 ) y (1? 2? 13) se denominan ecuaciones de Helmholtz, que son las ecuaciones de onda de las ondas E y H en el caso de campos armónicos.

▽2 se llama operador Plath, que es la vuelta del campo vectorial en el sistema de coordenadas cartesiano.

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

Operación del operador Rath , realice la suma de vectores en sus componentes por separado, por ejemplo:

▽2E=▽2Exi ▽2Eyj ▽2Ezk

Dónde

El campo geoeléctrico y la Exploración Eléctrica

Campo Geoeléctrico y Exploración Eléctrica

Campo Geoeléctrico y Exploración Eléctrica

Usa la ecuación de Helmholtz para resolver la distribución y los campos electromagnéticos generales en los medios El problema de encontrar un campo definido La solución de una ecuación diferencial parcial es la misma, debe satisfacer las condiciones de frontera dadas. Para las condiciones de contorno en la interfaz entre los dos medios, se puede derivar el siguiente conjunto de expresiones relacionales correspondientes utilizando la forma integral de las ecuaciones de Maxwell:

Campo geoeléctrico y exploración eléctrica

Que es decir, el campo E Las componentes tangentes de H y H en ambos lados de la interfaz son continuas, mientras que las componentes normales de D y B en ambos lados de la interfaz son continuas. Además, de acuerdo con el principio de conservación de carga, se puede derivar que la componente normal de la densidad de corriente j en ambos lados de la interfaz también es continua, es decir, jin=j2n (1? 2? 18)

Y en Todas las cantidades del campo electromagnético en el infinito deben ser cero.