¿Cómo resolver la desigualdad cuadrática de una variable?
El concepto de desigualdad que contiene un número desconocido y el grado más alto del número desconocido es 2 se llama desigualdad cuadrática de una variable. Su forma general es ax^2+bx+c>0 o ax. ^2+bx+c <0 (a no es igual a 0), donde ax^2+bx+c es un trinomio cuadrático en el campo de números reales.
Solución a la desigualdad cuadrática de una variable 1) Cuando V ("V" significa que el discriminante es, lo mismo a continuación) = b^2-4ac>=0, el trinomio cuadrático, ax^2+ bx +c tiene dos raíces reales, entonces ax^2+bx+c siempre se puede descomponer en la forma a(x-x1)(x-x2). De esta manera, resolver desigualdades cuadráticas de una variable se puede reducir a resolver dos conjuntos de desigualdades lineales de una variable. El conjunto solución de una desigualdad cuadrática de una variable es la unión de los conjuntos solución de estos dos grupos de desigualdades lineales de una variable.
Pongamos un ejemplo.
2x^2-7x+6<0
Usa el método de multiplicación cruzada
2 - 3
1 - 2
p>
Obtén (2x-3)(x-2)<0
Luego, analiza en dos situaciones:
1. 0, x- 2>0
Obtenemos x<1,5 y x>2. No es cierto
2.2x-3>0, x-2<0
Obtenemos x>1,5 y x<2.
El conjunto solución de la desigualdad final es: 1,5 Además, también puedes utilizar el método de emparejamiento para resolver la desigualdad cuadrática: 2x^2-7x+6 =2(x^2 -3,5x )+6 =2(x^2-3,5x+3,0625-3,0625)+6 =2(x^2-3,5x+3,0625)-6,125 +6 =2(x-1,75)^2-0,125<0 2(x-1,75)^2<0,125 (x-1,75 )^2 <0.0625 Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos x-1.75<0.25 y x-1.75>-0.25 x<2 y x> 1.5 El conjunto solución de la desigualdad es 1.5 Sabemos que existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en el eje numérico. Entre dos puntos diferentes en el eje numérico, el número real representado por el punto de la derecha es mayor que el número real representado por el punto de la izquierda. Por ejemplo, en la Figura 6-1, el punto A representa el número real a, el punto B representa el número real b y el punto A está a la derecha del punto B, entonces a>b. Veamos la Figura 6-1 nuevamente. a>b significa que la diferencia entre a menos b es un número mayor que 0, es decir, un número positivo. Generalmente: Si a>b, entonces a-b es un número positivo; la proposición inversa también es correcta. De manera similar, si a Esto significa: Se puede ver que para comparar el tamaño de dos números reales, sólo es necesario examinar su diferencia. Ejemplo 1 Compara los tamaños de (a+3)(a-5) y (a+2)(a-4). Solución: (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) ＝(a2-2a-15)-(a2-2a -8) =-7<0, ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). Ejemplo 2 Dado que x≠0, compara los tamaños de (x2+1)2 y x4+x2+1. Solución: (x2+1)2-(x4+x2+1) ＝x4+2x2+1-x4-x2-1 = x2． De x≠0, obtenemos x2>0, entonces (x2+1)2>x4+x2+1. Piénselo: en el ejemplo 2, si no existe ninguna condición de x≠0, ¿cuál es la relación entre las dos ecuaciones? Ejercicio 1. Compara los tamaños de (x+5)(x+7) y (x+6)2. Utilizando el método de comparación de magnitudes de números reales, podemos deducir las propiedades de las siguientes desigualdades. Teorema 1 Si a>b, entonces b Demostración: ∵a>b, ∴a-b>0. Dado que el opuesto de un número positivo es un número negativo, obtenemos -(a-b)<0, Es decir, b-a<0, ∴b＜a． (Se pide a los estudiantes que demuestren la segunda mitad del Teorema 1 por sí mismos.) El Teorema 1 muestra que al intercambiar los lados izquierdo y derecho de la desigualdad, la desigualdad resultante es de la dirección opuesta a la desigualdad original ①. ① En dos desigualdades, si el lado izquierdo de cada una es mayor (o menor) que el lado derecho, las dos desigualdades son desigualdades en la misma dirección, por ejemplo, a2+2>a+1, 3a2+5>2a son desigualdades en la misma dirección si El lado izquierdo de una desigualdad es mayor (o menor que) que el lado derecho, y el lado izquierdo de otra desigualdad es menor que (o mayor que). que) el lado derecho. Estas dos desigualdades son desigualdades opuestas. Por ejemplo, a2+3>2a, a2 Teorema 2 Si a>b, y b>c, entonces a>c. Demuestre: ∵a>b, b>c, ∴a-b>0, b-c>0. De acuerdo a que la suma de dos números positivos sigue siendo un número positivo, obtenemos (a-b)+(b-c)>0, Es decir, a- c>0, >∴a>c. Según el Teorema 1, el Teorema 2 también se puede expresar como: Si c Teorema 3 Si a>b, entonces a+c>b+c. Demostración: ∵(a+c)-(b+c) =a-b>0, ∴a+c>b+c. El teorema 3 muestra que si se suma el mismo número real a ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante estará en la misma dirección que la desigualdad original. Piénsalo: si a Usando el Teorema 3, podemos obtener: Si a+b>c, entonces a>c-b. Es decir, después de cambiar el signo de cualquier término de la desigualdad, se puede mover de un lado al otro. Corolario Si a>b, y c>d, entonces a+c>b+d. Demostración: ∵a>b, ∴a+c>b+c. ① ∵c>d, ∴b+c>b+d. ② De ① y ②, obtenemos a+c>b+d. Obviamente, esta inferencia se puede extender a la suma de ambos lados de cualquier número finito de desigualdades en la misma dirección. Es decir, si se suman dos o más desigualdades en la misma dirección en ambos lados, la desigualdad resultante será en la misma dirección que la desigualdad original. Teorema 4 Si a>by c>0, entonces ac>bc; si a>by c<0, entonces ac Demuestra: ac-bc=(a-b)c. ∵a>b, ∴a-b>0. Según la multiplicación del mismo signo, el resultado es positivo, y la multiplicación de los diferentes signos, el resultado es negativo, obtenemos Cuando c>0, (a-b )c>0, es decir ac>bc; Cuando c<0, (a-b)c<0, es decir, ac Del Teorema 4, también podemos obtener: Corolario 1 Si a>b>0 y c>d>0, entonces ac>bd . Los estudiantes pueden seguir el corolario del Teorema 3 para demostrar el Corolario 1 del Teorema 4. Obviamente, esta inferencia se puede extender a la multiplicación de ambos lados de cualquier número finito de desigualdades en la misma dirección con números positivos en ambos lados. Es decir, si se multiplican respectivamente dos o más desigualdades en la misma dirección con números positivos en ambos lados, las desigualdades resultantes estarán en la misma dirección que las desigualdades originales. De esto también podemos obtener: Corolario 2 Si a>b>0, entonces an>bn(n∈N, and n>1). Utilizamos la prueba por contradicción para demostrar. Todos estos son contradictorios con la condición conocida a>b>0. Usando las propiedades de las desigualdades anteriores y sus corolarios, podemos probar algunas desigualdades. Ejemplo 3 Se sabe que a>b, c Demostración: De a>b, sabemos a-b>0, de c ∵(a-c)-(b-d) =(a-b)+(d-c)>0, ∴a -c>b-d. Prueba: ∵a>b>0, Es decir, y c<0, Referencia: /shuxue/ 60 /noname.htm Respuesta: ☆Dios portador de amor♂ - Mago en formación Nivel 2 1-27 13:42 Otras respuestas*** 1 Resolver desigualdades 1. Clasificación de la resolución de problemas de desigualdad (1) Resolución de desigualdades lineales de una variable. (2) Resolver la desigualdad cuadrática de una variable. (3) se puede transformar en una desigualdad de desigualdad lineal o cuadrática de una variable. ①Resolver desigualdades de orden superior de una variable; ②Resolver desigualdades fraccionarias; ③Resolver desigualdades irracionales ④Resolver desigualdades exponenciales; /p> ⑤Resolver desigualdades logarítmicas; ⑥Resolver desigualdades con valores absolutos ⑦Resolver grupos de desigualdades. 2． Al resolver desigualdades se debe prestar especial atención a los siguientes puntos: (1) Aplicar correctamente las propiedades básicas de las desigualdades. (2) Aplicar correctamente las propiedades de aumento y disminución de funciones potencia, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. (3) Preste atención al rango de valores de los números desconocidos en la fórmula algebraica. 3. La misma solución de las desigualdades (5)|f(x)| (6)|f(x)|>g(x)① y f(x)>g(x) o f(x)<-g(x ) (donde g(x)≥0) tiene la misma solución ② y g(x)<0 tienen la misma solución; (9) Cuando a>1, af(x)>ag(x) y f(x)>g(x) tienen la misma solución. Cuando 0 Función 1. Si hay n elementos en el conjunto A, entonces el número de todos los subconjuntos diferentes del conjunto A es y el número de todos los subconjuntos verdaderos no vacíos. es . La ecuación del eje de simetría de la gráfica de la función cuadrática es y las coordenadas del vértice son. Cuando se utiliza el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de una función cuadrática, hay tres formas de abordar la expresión analítica, a saber, y (forma de vértice). 2. Una función de potencia, cuando n es un número impar positivo, m es un número par positivo y m 3. la función es p> De la imagen, sabemos que el rango de valores de la función es, el intervalo monótonamente creciente es y el intervalo monótonamente decreciente es. 5. Secuencia 1. La fórmula general de la secuencia aritmética es , y la fórmula de la suma de los primeros n términos es: = . 2. La fórmula del término común de la secuencia geométrica es, La fórmula de la suma de los primeros n términos es: Cuando la razón común q. de la secuencia geométrica satisface <1, =S= . En términos generales, si existe el límite de la suma de los primeros n términos de la secuencia infinita, este límite se llama suma de los términos de la secuencia (o suma de todos los términos), representado por S, es decir, S= . 4. Si m, n, p, q∈N, y , entonces: cuando la secuencia es una secuencia aritmética, hay ; cuando la secuencia es una secuencia geométrica, hay ; 5. En la secuencia geométrica, si Sn=10, S2n=30, entonces S3n=60 6. , entonces S3n=70;