¿Cómo explicar la fórmula de Taylor en lenguaje sencillo?

Describe la fórmula de Taylor en una frase: es una función polinómica que se aproxima a una función suave.

Sentiémoslo primero: src="/50/v2-bb282201cc04b2a67a357b47eb8b69d1_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption.

data-size="normal "data-rawwidth= "640 "data-rawheight="252 "data-original-token="v2-bb282201cc04b2a67a357b47eb8b69d1" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="640".

Supongamos que nnn es un número entero positivo. Si la función ff definida en el intervalo que contiene aaa se puede diferenciar n+1n+1n+1 veces en el punto aaa, entonces para cualquier xxx en el intervalo:

f(x)=∑n= 0Nf( ¡yaya! (x?a)n+Rn(x)\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa) ^n+R_n(x)\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n+R_n (incógnita).

El polinomio se llama expansión de Taylor de la función en aaa Rn(x) R_n(x) R_n(x) es el término residual de la fórmula de Taylor. En infinitesimales de orden superior es (x? a)n(xa)^n(xa)^n.

La definición de la fórmula de Taylor en Wikipedia parece dominante y sofisticada. Si a=0a=0a=0, es la fórmula de McLaren, es decir, f(x)=∑n=0Nf(n)(0)n!xn+Rn(x)\displaystyle f(x)=\sum_{ n= 0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)\displaystyle f(x).

Características de la imagen de la función polinómica ∑n=0Nf(n)(0)n!xn\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)} { n!}x^n\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n Expandelo a f(0)+f ′(. 0)x+f″( 0)2!x2+?+ f(n)(0)n!xnf(0)+f'(0)x+\frac{f''(0) Todas estas son constantes

8c82d846d03b32a50c4fb04579ac621d_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=""data-size="normal "data-rawwidth="640 "data-rawheight="474 "data-original-token="v2 -8c82d846d03b32a50c4fb04579ac 621d "class="origin_image zh-lightbox-thumb "width="640 "datos-.

src="/50/v2-.0b3910e61a1b2499983dfbcdd061dc69_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=" " data-size="normal "data-rawwidth="640 "data-rawheight=" 445 " src="/50/v2-.

a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=""data-size="normal "data-rawwidth="640 "data-rawheight= "341 "data-original-token="v2-a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d "class="origin_image zh-lightbox-thumb "width="640 "data-.

original="/v2-a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d_r.jpg?2b580bbda0467050195968fd12df0700_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=""data-size="normal "data-rawwidth="64 0 "data-rawheight = " 316 "data-original-token="v2-2b580bbda0467050195968fd12df0700 ".

class="origin_image zh-lightbox-thumb "width="640 "data-original=" /v2-2b580bbda0467050195968fd12df0700_r.j pg? source= 1940ef5c"/>xn\frac{1}{n!x^n\frac{1}{n!}x^n continúa doblándose para formar una línea polinómica, acercándose a exe^xe^x. Cuanto mayor es nnn, más lejos está el área de acción de 0.

[a, b][a, b][a, b][a, b] es continua en (a, b) (a, b) (a, b) en (a , b ) es diferenciable.

Entonces existe al menos un punto θ\theta\theta (a<θ

Echemos un vistazo al significado geométrico del teorema del valor medio de Lagrange: src="/50/v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f_720w.jpg?source=1940ef5c" data-caption=""data-size=" normal " data-rawwidth="640 "data- rawheight="474".

data-original-token="v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f" class="origin_image zh-lightbox -thumb" width="640" data- original="/v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f_r.jpg? source =1940ef5c"/> Esto está relacionado con la fórmula de Taylor.

Existe un término residual Rn(x) R_n(x) R_n(x) en la fórmula de Taylor, que no hemos mencionado. El término residual es el error estimado usando la fórmula de Taylor, es decir, f(x)?∑n=0Nf(n)(a)n!(x?a)n=Rn(x)\displaystyle f(x)-\ suma_ { n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n! }(x-a)^n=R_n(x)\displaystyle f(x)-\sum_{n=0}^{N}\frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a) La fórmula algebraica del resto de ^n=R_n(x) es.

Rn(x)=f(n+1)(θ)(n+1)! (x?a)(n+1) R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!(xa)^{(n+1)} R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}, donde a

¿Se parece? Cuando N=0N=0N=0, según la fórmula de Taylor, tenemos: f(x)=f(a)+f′(theta)(x?a)f(x)=f(a)+f'( \theta)(x-a)f(x)=f(a)+f'(\theta)(x-a), reemplace bbb en el teorema del valor medio de Lagrange con xxx, entonces el teorema del valor medio de Lagrange es la fórmula de Taylor cuando N=0N=0N =0.

74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=""data-size= "normal "data-rawwidth="640 "data-rawheight="474 "data-original-token="v2 -74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482".

class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="640" data-original="/v2-74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482_r.jpg?source=1940ef5c"/>Fórmula de Taylor Geométricamente significativo Es fácil para entender Cuando N=0N=0N=0, entonces N=1, 2N=1, 2,\cdots N=1,2,\cdots

Así es como entiendo este problema: Vamos. Primero imaginemos el significado geométrico de las derivadas de orden superior. La de primer orden es la pendiente, la de segundo orden es la curvatura y las de tercer y cuarto orden no tienen un significado geométrico obvio. Quizás, el significado geométrico de las derivadas de orden superior. No se presenta en un espacio tridimensional, pero es a través del significado del espacio-tiempo de alta dimensión que podemos ignorarlo.

Hoy hemos descubierto el secreto de los espacios de dimensiones superiores proyectados en nuestro plano sólo a través de pruebas algebraicas. Lo mismo ocurre con la fórmula de Taylor; la fórmula de Taylor nos permite vislumbrar el desarrollo de toda la función a través de un punto. ¿Por qué? Porque la tendencia del punto está contenida en la derivada y la tendencia de la derivada está contenida en la segunda derivada.

f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72_720w.jpg?source=1940ef5c "data-caption=""data-size= "normal "data-rawwidth="640 "data-rawheight="486 "data-original-token="v2 -f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72".

original="/v2-f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72_r.jpg?source=1940ef5c"/>. Divide la curva en nnn partes, a1a_1a_1, a2a_2a_2, \cdot s\cdo ts,ana_na_n, haciendo a1= aa_1 =aa_1=a, a2=a+Δxa_2=a+\Delta xa_2=a+\Delta x, ?\cdots\cdots, an=a+(n?)Δxa_n=a+(n-1)\Delta xa_n=a+(n - 1)\Delta x.

Podemos introducir (Δ2\Delta^2\Delta^2, Δ3\Delta^3\Delta^3) que puede considerarse como diferencial de segundo orden y de tercer orden. diferencial de orden. El término matemático exacto es diferencia, en comparación con diferencial, uno es una cantidad finita y el otro es una cantidad límite) (x) Es decir, todos los valores de f (x) pueden determinarse mediante aaa y Δx. \Delta x\Delta x. Esta es la idea básica de la fórmula de Taylor. Con base en esta idea, más el límite Δx→0\Delta xto0\Delta x\to0, la practicidad de la fórmula de Taylor se puede derivar de esta manera. son funciones a las que podemos acercarnos. Son muy abiertas y honestas, y pueden decir lo que piensan. Por ejemplo, f(x)=2?3xf(x)=2- 3xf(x)=2-3x,. este polinomio nos dirá cualquier cosa. Queremos preguntar aún más el mensaje, por ejemplo, si preguntamos: "Oye, hombre. ¿Cuál es su valor a las 4 en punto? "

En este momento, f(x) f(x) f(x) responderá sin dudarlo: "¿Si pones 4, obtendrás 2?".

Pero ln(x) ln(x) ln(x) ln(x) es turbio y sospechoso si le preguntas: "Oye, ¿cuál es tu valor en 3?" La respuesta que obtengas puede ser: "¿Qué quieres hacer? ¿Por qué quieres husmear en los asuntos privados de otras personas? ¿Crees que puedes conocer mis asuntos con tu poca habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir? Además, ¿Cuánto valía cuando tenía 3 años?" ¡No es asunto tuyo!".

"El cálculo de la espada celestial" Una de las aplicaciones más directas de la fórmula de Taylor es el cálculo que generalmente realizan las computadoras. sin(x) sin(x) sin(x) La expansión de Taylor se utiliza para los cálculos. La fórmula de Taylor también puede simplificar problemas, como calcular limx→0sin(x)x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x sustituyendo sin(x) sin(x) sin(x) }\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x} .

La expansión de Taylor es: limx→0sin(x)x=limx→0x+o(x3)x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{ x }=\lim_{x\to0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1\ displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=\lim_ { x\to0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1.

Entre ellos, o(x3) o(x^3) o(x^3) o( x^3) es el término residual dentro de la fórmula de Taylor, que es un decimal infinito de orden superior, y limx→0o(x3)=0\displaystyle\lim_{x\to0}o(x^3)=0\displaystyle\ lim_{x\to0}o(x^3)=0.