Conocido: El punto D es un punto dentro del triángulo ABC, y ∠DAC=∠DCB=∠DBA=30° Demuestra: △ABC es un triángulo equilátero

Establezca un sistema de coordenadas rectangular con C como origen y CD como eje x, suponiendo D(1,0),B(a√3/2,a/2),A(x, y),

Entonces BD pendiente k1=(a/2)/(a√3/2-1)=a/(a√3-2),

AB pendiente k2=(a -2y)/(a√3-2x),

Pendiente AC k3=y/x,

Pendiente AD k4=y/(x-1),

Donde a>2/√3, x>0>y,

Se obtiene de ∠DAC=∠DBA=30° y la fórmula del ángulo

(k2-k1) /(1+k2k1)=[(a-2y)/(a√3-2x)-a/(a√3-2)]/[1+(a-2y)/(a √3-2x)* a/(a√3-2)]=1/√3,

[(a-2y)(a√3-2)-a(a√3-2x )]√3=( a√3-2)(a√3-2x)+a(a-2y),

[-2a+(4-2a√3)y+2ax]√3 =4a^2-2a √3+(4-2a√3)x-2ay,

(4√3-6a)y+2ax√3=4a^2+(4-2a√3 )x-2ay,

(4√3-4a)y=(4-4a√3)x+4a^2,

y=[(1-a√3) )x+a^2 ]/(√3-a),①

(k3-k4)/(1+k3k4)=[y/x-y/(x-1)]/[1+ y^2/(x ^2-x)]=1/√3,

x^2-x+y^2+y√3=0, ②

Resolver x de ① y ② ,y.

Pon ① en ②, x^2-x+[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a)*{[( 1-a√3 )x+a^2]/(√3-a)+√3}=0,

(x^2-x)(√3-a)^2+[ (1-a√ 3)x+a^2][(1-a√3)x+a^2+3-a√3]=0,

（x^2-x) (3-2a√ 3+a^2)+(1-a√3)^2x^2+(1-a√3)(2a^2-a√3+3)x+a^4-√3a ^3+3a^ 2=0,

(4a^2-4a√3+4)x^2+(-2√3a^3+4a^2-2√3a)x+a ^4-√3a ^3+3a^2=0,③

Si △ABC es un triángulo equilátero, entonces la raíz de ③ es a√3/2,

Conjunto x=a√3/ Sustituyendo 2 en ③, obtenemos

3a^4-3√3a^3+3a^2-3a^4+2√3a^3-3a^2+a^ 4-√3a^3+3a ^2

=a^4-2√3a^3+3a^2=a^2(a-√3)^2=0,

Sólo cuando BC=a La proposición es verdadera cuando =√3. Se puede ver que esta proposición es falsa.