¿Dibujar un polígono cuadrado de 17 lados usando una regla? Suma 200 puntos.

Paso 1:

Dado un círculo O, construye dos círculos OA y OB con diámetros perpendiculares.

Construye un punto C en OB de modo que OC=1 /4 OB,

Haz un punto D para hacer ∠OCD=1/4∠OCA,

Haz un punto E en la línea de extensión de AO para hacer ∠DCE=45 ° ,

Paso 2:

Dibuja un punto M en AE, toma M como centro del círculo y dibuja un círculo que pase por el punto A.

Tome M como centro del círculo, dibuje un círculo que pase por el punto A y cruce a OB en el punto F. Tome D como centro del círculo, dibuje un círculo que pase por el punto F y cruce con la recta línea OA en los puntos G4 y G6.

Paso 3:

La línea perpendicular que dibuja OA a través de G4 intersecta el círculo O en P4,

La línea perpendicular que dibuja OA que pasa por G6 intersecta el círculo O En P6,

tomando el círculo O como círculo base, A es el primer vértice del heptágono,

P4 es el cuarto vértice y P6 es el sexto vértice.

Con 1/2 arco P4P6 como radio, todos los vértices del heptágono pueden ser interceptados en este círculo.

Nota 1

La condición necesaria y suficiente para que un polígono primo positivo pueda dibujarse con regla y compás es que el número de lados del polígono deben ser números primos de Fermat. En otras palabras, sólo los triángulos regulares, los pentágonos regulares, los heptágonos regulares, los polígonos regulares de 257 lados y los polígonos regulares de 63,357 lados no se pueden dibujar con una regla; otros polígonos primos positivos no pueden dibujarse con una regla. (A menos que descubramos otro número primo de Fermat.)

Nota 2

Richelieu dio una regla para un polígono regular de 257 lados, llenando 80 páginas. Gelmers entregó un dibujo de una regla y un compás con 63.357 lados positivos, un manuscrito que llenó una maleta y que ahora se encuentra en la Universidad de Göttingen en Alemania. Este es el dibujo con regla más tedioso hasta ahora.

Nota 3

Demuestra la existencia de la construcción con regla y compás del cuadrado diecisiete:

Supongamos que el ángulo central del cuadrado diecisiete es a, entonces 17a=360 grados , es decir, 16a=360 grados-a

Por lo tanto, sin16a=-sina,

sin16a=2sin8acos8a=2 al cuadrado sin4acos4acos8a=2 a la cuarta potencia sinacosacos2acos4acos8a

Como sina no es igual a 0, los dos lados de la división son:

16cosacos2acos4acos8a=-1

Entonces 2cosacos2a=cosa+cos3a, y así sucesivamente. , ahí

Sin16a= -sina. Sí

2(cosa+cos2a+...+cos8a)=-1

Ten en cuenta que cos15a=cos2a, cos12a=cos5a, entonces

x=cosa+ cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a

Esto es lo mismo que cos3a+cos6a.

cos5a+cos6a+cos7a

Hay:

x+y=-1/2

Y xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)( cos3a +cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a +cos6a+....+cosa+cos15a)

Calcular xy=-1

Obtener

x=(-1+root 17)/4,y=(-1-root 17)/4

A continuación, establezcamos:

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

Entonces hay x1+x2=(- 1 +raíz 17)/4

y1+y2=(-1-raíz 17)/4

Resuelto:

（Solución

(Resuelve tú mismo~~~~)

Finalmente, la expresión de cosa se puede obtener de cosa+cos4a=x1, cosacos4a=(y1)/2

Es una combinación de suma, resta, multiplicación y división de la raíz cuadrada de un número,

Así que puedes usar una regla y un compás para hacer el cuadrado 17