Se sabe que el plano α es perpendicular a la diagonal BD1 del cubo ABCD-A1B1C1D1 con una longitud de arista de 2, entonces el valor máximo del área de la sección transversal obtenida al cortar el cubo con el plano α es 333

Como se muestra en la figura, la sección transversal obtenida al cortar el cubo con el plano α es un hexágono regular.

En este momento, el área de la sección transversal es la más grande. donde MN=22, GH=2, OE=1+12=62,

El área de la sección transversal S=2×2+222×OE=32×62=33．

Entonces la respuesta es: 33