¿Cómo demostrar la distancia más corta de un punto a una línea recta?

Según la definición, la distancia desde el punto P (x?, y?) a la recta L: ax por c = 0 es desde el punto P a la recta L Longitud perpendicular: Sea la recta perpendicular desde el punto P a la recta L L', y el pie vertical sea Q. Entonces, la pendiente de L' es B/A, y la fórmula analítica de L' es y-y. =(B/A)(x-x?)Las coordenadas del punto de intersección q de l y l' son ((B^2x? Abby?-AC)/(A^2 B^2), (A^2y?- ABx? -BC)/(A ^ 2 B ^ 2)) se deriva de la fórmula de la distancia entre dos puntos.

PQ^2=[(B^2x? Abby?-AC)/(A^2 B^2)-x0]^2

[(A^2y? - ABx? -BC)/(A^2 B^2)-y0]^2

=[(-A^2x? Abby?-AC)/(A^2 B^2) ]^ 2

[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2 B^2)]^2

=[A(-Por?- C- ¿Hacha? )/(A^2 B^2)]^2

[B(-Ax?-C-By?)/(A^2 B^2)]^2

=A^2(¿Hacha? ¿Por? C)^2/(A^2 B^2)^2

B^2(¿Hacha? ¿Por? C)^2/( A^ 2 B^2)^2

=(A^2 B^2)(¿Hacha? ¿Por? C)^2/(A^2 B^2)^2

=(Ax? By? C)^2/(A^2 B^2)

Entonces pq = | ax by c |/√ (a 2 b 2), la fórmula está probada.

Método funcional

Demostración: La distancia mínima desde el punto P a cualquier punto de la recta es la distancia del punto P a la recta. La fórmula para tomar la distancia entre dos puntos en cualquier punto del mundo es. Para deformarla con una expresión condicional, el coeficiente coincidente se procesa de la siguiente manera:

Si y solo si el signo igual es. tomado, el valor mínimo es

Método de desigualdad

Demuestre: La distancia mínima desde el punto P a cualquier punto Q en una línea recta es la distancia desde el punto P a una línea recta. Mediante la desigualdad de Cauchy:

Si y sólo si se toma el signo igual, el valor mínimo es

Método de conversión

Prueba: Es obvio que el ángulo de inclinación de la recta es En el punto de intersección P, el eje de PM∨ corta a m.

Es fácil obtener ∠MPQ= o ∠MPQ=

En ambos casos, entonces