Matemáticas de primaria sexto grado volumen 1 "Pollo y conejo en la misma jaula"
Esta pregunta es una de las famosas preguntas interesantes de la antigua China. Esta interesante pregunta quedó registrada en Suan Jing de Sun Tzu hace unos 1.500 años. El libro lo describe de esta manera: "Hoy hay faisanes y conejos en la misma jaula. Hay treinta y cinco cabezas arriba y noventa y cuatro patas abajo. ¿Cuántos son cada uno? El significado de estas cuatro frases es: Hay Hay algunas gallinas y conejos en la misma jaula, contando de arriba a abajo, hay treinta y cinco cabezas; contando de abajo hacia arriba, hay noventa y cuatro patas. ?
Solución?:
2×35＝70（solo）
94-70＝24（solo）
24÷ 2＝12（solo）
35-12=23 (solo)
Se escribió el antiguo dios chino "Sun Tzu Suan Jing", un total de tres volúmenes. alrededor del siglo V d.C. El libro es fácil de entender. Hay muchos problemas aritméticos interesantes, como el problema del "pollo y el conejo en la misma jaula":
Ahora hay faisanes y conejos en la misma. jaula, con treinta y cinco cabezas arriba y noventa y cuatro patas abajo, entonces ¿cuántos faisanes y conejos hay?
La pregunta da el número de 35 gallinas y conejos si las dos patas delanteras. Las dos patas traseras también se atan con una cuerda y se tratan como una sola pata. Luego, el conejo se convierte en un pollo con dos patas. es 35 x 2 = 70. (sólo), 94 menos que los 94 de la pregunta 94 - 70 = 24 (sólo).
Ahora, afloja la cuerda de una pata de conejo y calcula el número total de. los pies aumentan en 2, es decir, 72 = 72 (solo), y luego aflojan la cuerda en la otra pata del conejo, el número total de pies aumenta en 2, 2, 2..., y así sucesivamente, hasta que. la suma de 24, por lo tanto El número de conejos: 24÷2=12 (piezas), por lo que hay 35-12=23 (piezas) de gallinas
Resumamos la solución a este problema: Primero. , suponga que todos son pollos. Luego, basándose en el número total de pollos y conejos, puede calcular cuántas patas tiene el hipotético ***. De esta manera, compare el número de pies con el número de pies dado en la pregunta. para ver cuánto es la diferencia. Cada diferencia de 2 pies indica que hay un conejo. Divide el número de patas diferentes entre 2 para calcular cuántos conejos hay****. El problema de gallinas y conejos en la misma jaula es: el número de conejos = (número real - número de gallinas × número total de gallinas y conejos) ÷ (número de conejos - número de gallinas) De manera similar, se puede suponer que todos. los conejos lo tienen También podemos usar una ecuación: Sea el número de conejos X y el número de gallinas Y
Entonces: 23 gallinas: 12 conejos y 23 gallinas
[. Editar] Ejemplos
1. El maestro Zhang, director, llevó a 50 estudiantes de quinto grado (2) a plantar árboles. El maestro Zhang plantó 5 árboles, los niños plantaron 3 árboles cada uno y las niñas plantaron cada uno. Se plantan 2 árboles en total 120 árboles ¿Cuántos árboles hay para niños y cuántos para niñas?
Solución: Supongamos que hay X número de niños y (50-X) número de niñas.
3x=120-5-2(50-x)
3x=115-2 veces 52x
3x=115-102x
3x=15+2x
x=15
50-15=35 (personas) Respuesta: Hay 15 niños y 35 niñas.
2. Una botella de aceite grande contiene 4 kilogramos de aceite y dos botellas de aceite pequeñas contienen 1 kilogramo de aceite. 100kg de aceite en ****60 botellas. ¿Cuántas botellas de aceite de cada especificación hay?
1/2=0.5 (kg) 100/0.5=200 (piezas) 200-60=140 (piezas) 140/4=35 (piezas) 60-35=25 (piezas)
Respuesta: 35 botellas grandes y 25 botellas pequeñas: 35 botellas grandes y 25 botellas pequeñas.
(Autor: Chen Pu/ / )
3. Xiao Mao participó en el concurso de matemáticas. Respondió 20 preguntas y obtuvo 67 puntos. Se sabe que obtuvo 5 puntos. cada respuesta correcta, obtendrá 0 puntos por cada pregunta incorrecta, y se le descontará 1 punto por cada pregunta incorrecta. También se sabe que la cantidad de preguntas que hizo mal es la misma que la cantidad de preguntas que no hizo. . ¿Cuántas preguntas respondió correctamente Xiaomao?
Para esta pregunta, puedes asumir que acertaste X pasos, luego acertaste (20-X) ÷ 2, y si no acertaste (20-X) ÷ 2, entonces multiplica la respuesta correcta por 5 y resta la respuesta incorrecta por 1, es igual a 67.
Lista de ecuaciones:
5X-(20-X)÷2×1=67 X. =14 X=14 Xiaomao acertó 14 preguntas
4. Hay 18 arañas, libélulas y cigarras, cada una con 118 patas y 20 pares de alas (la araña tiene 8 patas; la libélula tiene 6 patas y 2 pares de alas; la cigarra tiene 6 patas y 1 par de alas), ¿cuántas de cada uno de estos tres animales hay?
[Nota del editor] Explicación detallada
1. Problemas básicos
"Pollo y conejo en la misma jaula" es un tipo de problema aritmético famoso en la antigua China . Apareció por primera vez en "Sun Zi Suan Jing". Muchos problemas aritméticos de la escuela primaria pueden transformarse en este tipo de problemas o resolverse utilizando un método típico de resolución de problemas: el "método de hipótesis". Por lo tanto, es necesario aprender sus ideas y métodos de resolución de problemas.
Ejemplo 1 Hay muchas gallinas y conejos. Tienen 88 cabezas y 244 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos tiene cada uno?
Solución: Imagínate, cada gallina es un. "pollo dorado" y se sostiene sobre una pata; cada conejo tiene dos patas traseras y se sostiene sobre dos patas como un ser humano. Ahora bien, hay la mitad del total de pies en el suelo, es decir:
244 ÷ 2 = 122.
En el número 122, el número de gallinas se cuenta una vez y el número de conejos se cuenta dos veces. Por tanto, resta el número total de conejos, 88, de 122, y lo que queda es el número de conejos.
122-88=34,
Hay 34 conejos en total. En total había 34 conejos.
Respuesta: Hay 34 conejos y 54 gallinas: Hay 34 conejos y 54 gallinas.
El cálculo anterior se puede resumir como:
Total de pies ÷ 2 cabezas en total = número de conejos.
La solución anterior proviene de "Sun Tzu Suan Jing". Simplemente haz una división y una resta y podrás encontrar la cantidad de conejos de inmediato. ¡Qué simple! La razón principal es que los conejos y las gallinas tienen 4 y 2 patas respectivamente, siendo 4 el doble que 2. Sin embargo, al convertir otros problemas en este tipo de problema, el número de pies no es necesariamente 4 y 2, y el cálculo anterior no funciona. Por ello, damos una solución general a este tipo de problemas.
Volvamos al ejemplo 1.
Si suponemos que hay 88 conejos, entonces hay 4 × 88 pies, o 244 pies más.
88 × 4 - 244 = 108 (pies).
Cada gallina tiene (4-2) patas menos que un conejo, por lo que hay 54 gallinas
(88×4-244)÷(4-2) = 54.
Esto significa que de los 88 "conejos" que imaginamos, 54 no eran conejos. Son gallinas. Por lo tanto, podemos enumerar la fórmula
Pollo = (número de patas de conejo × número total de cabezas - número total de patas) ÷ (número de patas de conejo - número de patas de pollo).
Por supuesto, también podemos imaginar que hay 88 "pollos", entonces todas tienen patas 2 × 88 = 176 (solamente), que son menos de 244 patas.
244 - 176 = 68 (sólo).
Cada gallina tiene (4-2) menos patas que cada conejo,
68÷2=34.
Para ilustrar el "pollo" en el escenario, hay 34 conejos, que también se pueden calcular en una columna.
Número de conejos = (número total de patas -. número de patas de pollo × número de cabezas) ÷ (Número de patas de conejo - número de patas de pollo).
No tienes que usar ambas fórmulas al mismo tiempo, simplemente usa una fórmula para encontrar el número de conejos o gallinas, y luego resta el número total de cabezas para encontrar la otra fórmula.
Supongamos que todos los pollos o conejos los tienen. Este método se suele utilizar para resolver el problema. Este es el "método de hipótesis".
Ahora, probemos la fórmula anterior en un problema específico.
Ejemplo 2 Los lápices rojos cuestan 0,19 yuanes cada uno y los lápices azules cuestan 0,11 yuanes cada uno. **** compró 16 de los dos lápices y gastó un total de 2,80 yuanes. Pregunte cuántos lápices rojos y azules comprar
Respuesta: Utilice "céntimos" como unidad monetaria. Imaginemos que una gallina tiene 11 patas y un conejo tiene 19 patas. Tienen 16 cabezas y 280 patas.
Ahora tenemos 16 cabezas y 280 patas.
Ahora, el problema del lápiz se convierte en el problema del "conejo y la gallina". Usando la fórmula de conteo de conejos anterior, obtenemos
Lápiz azul = (19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3 (lápices).
El número de bolígrafos rojos=16-3=13.
Respuesta: Compré 13 lápices rojos y 3 lápices azules.
Al calcular este tipo de problemas, a menudo es posible aprovechar la especificidad del número conocido de pies. En el ejemplo 2, la suma de los números de pin 19 y 11 es 30. También podemos imaginar que de las 16 patas, 8 son conejos y 8 son gallinas. Según esta suposición, el número de patas es 8 × (11 + 19) = 240.
40 es menor que 280.
40÷(19-11)=5.
Sabemos que el número de 8 gallinas es 5 menos que el número de pies. Sabemos que la cantidad de gallinas debería ser. menor que El número de pies es 5 menos Sabemos que el número de gallinas debe ser 5 menos que el número de pies. Sabemos que el número de gallinas debe ser 5 menos que el número de pies. "
30 × 8 es más fácil de calcular que 19 × 16 o 11 × 16. Al calcular, debes aprovechar la especificidad de los números conocidos y realizar cálculos mentalmente.
> De hecho, puedes imaginar cualquier número conveniente de conejos o gallinas. Por ejemplo, si imaginas que el número de conejos es 10 y el número de gallinas es 6 de 16, entonces obtendrás el número de pies
.19×111×6=256.
Esto es 24 menos que 280.
24÷(19-11)=3,
Ya sabes, si imaginas que hay 6 gallinas, hay 3 menos
Para ello debemos aprovechar la especificidad de los números conocidos. > Para hacerte imaginar, los números son fáciles de calcular, generalmente dependiendo de tus habilidades matemáticas.
Hay cuatro ejemplos más difíciles a continuación.
Ejemplo 3: A escribió el manuscrito. 6 horas. B tardó 10 horas en terminar de escribir. ¿Cuántas horas tardó A en escribir ahora? Por razones de B, tardó *** 7 horas. en 30 partes iguales (30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10). A imprime 30÷6=5 (copias) por hora y B imprime 30÷10=3 (copias) por hora. > Ahora el tiempo que A dedica a escribir es el número de cabezas de "conejo", y el tiempo que B dedica a escribir es el número de cabezas de "pollo". El número total de cabezas es 7 y el número de patas de "conejo" es 5. El número de patas es 3 y el número total de patas es 30. El problema se transforma en "pollos y conejos en la misma jaula"
Según la fórmula anterior
el número de conejos = (30-3×7. ) ÷ (5-3)
=4.5,
Número de gallinas = 7-4.5
= 2,5,
Es decir, A pasó 4,5 horas escribiendo y B pasó 2,5 horas
Respuesta: A pasó 4 horas y 30 minutos
En 1998, el La suma de las edades de los padres es 78 años, la suma de las edades de los hermanos es 17 años después (en 2002), la edad del padre es 4 veces la edad del hermano y la edad de la madre es 3 veces la edad del hermano, entonces. la edad del padre es 3 veces la edad del hermano. Cuando se duplica el tiempo, ¿qué año es?
Solución: Después de 4 años, la suma de las edades de las dos personas se debe sumar a 8.
En este momento, la suma de las edades de los dos hermanos es 17+8=25, y la suma de las edades de los padres es 78+8=86. Podemos pensar en la edad del hermano mayor como el número de gallinas y en la edad del hermano menor como el número de conejos. 25 es el número de cabezas y 86 es el número total de patas. Según la fórmula, la edad del hermano menor es:
(25×4-86)÷(4-3)=14 (años).
En 1998, la edad de mi hermano era
14-4=10.
La edad del padre es
(25-14)×4-4=40.
Por lo tanto, cuando la edad del padre es 3 veces la edad del hermano, la edad del hermano es
(40-10) ÷ (3-1) = 15 (años).
Es el año 2003.
Respuesta: En 2003 d.C., la edad de mi padre era tres veces mayor que la de mi hermano.
Ejemplo 5 Una araña tiene 8 patas, una libélula tiene 6 patas y 2 pares de alas, y una cigarra tiene 6 patas y 1 par de alas. Ahora hay 18 especies de estos tres insectos, 118 patas y 20 pares de alas. ¿Cuántos insectos de cada tipo hay?
Solución: Debido a que tanto las libélulas como las cigarras tienen 6 patas, los insectos se pueden dividir en insectos de "8 patas" y "6 patas" según el número de patas. . Según la fórmula, podemos calcular el número de arañas con 8 patas
= (118-6×18)÷(8-6)
= 5.
Por tanto, se conocen bichos con 6 patas****
18-5 = 13 (únicamente).
En otras palabras, hay 13 libélulas y cigarras***, que tienen 20 pares de alas.
Cigarra=(13×2-20)÷(2-1)=6.
Entonces el número de libélulas es 13-6=7.
Respuesta: Hay 5 arañas, 7 libélulas y 6 cigarras.
Ejemplo 6 Hay 5 preguntas en un examen de matemáticas Hay 52 personas en la clase, de *** a 181 preguntas Se sabe que cada persona respondió correctamente al menos 1 pregunta, respondieron 7 personas. 1 pregunta correctamente y las 5 personas respondieron correctamente 6 preguntas. La cantidad de personas que respondieron correctamente la pregunta 2 es la misma que la cantidad de personas que respondieron la pregunta 3, luego la cantidad de personas que respondieron correctamente la pregunta 4
<. p> Solución: El número de personas que respondieron correctamente las preguntas 2, 3 y 4 es ***52-7- 6=39(personas).
Ellos**** tenían razón
181-1×7-5×6=144 (preguntas).
Dado que el número de personas que respondieron correctamente a la pregunta 2 es el mismo que el número de personas que respondieron correctamente a la pregunta 3, podemos pensar en ellas como las personas que respondieron correctamente a la pregunta 2.5 ((2+3) ÷2=2,5). De esta forma,
el número de patas de conejo=4, el número de patas de gallina=2,5,
el número total de patas=144 y el número total de cabezas=39. .
El número de personas que respondieron correctamente a las 4 preguntas es
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31.
Respuesta: 31 personas acertaron 4 preguntas.
Ejercicio 1
1. La tortuga y la grulla**** tienen 100 cabezas y 350 patas. ¿Cuántas tortugas y grullas hay en total?
2. Hay 26 pares de ajedrez y damas en la escuela, con capacidad para que 120 estudiantes jueguen ajedrez al mismo tiempo. La escuela cuenta con 26 juegos de ajedrez y damas. ¿Cuántos juegos de ajedrez y damas hay en total?
3. Hay algunas monedas de 2 céntimos y 5 céntimos, con un valor máximo de 2,99 yuanes. La cantidad de monedas de 2 céntimos es 4 veces la cantidad de monedas de 5 céntimos. ¿Cuántas monedas de 5 céntimos hay en total? /p>
4. El salario de una persona es de 240 yuanes. Hay tres tipos de denominaciones de RMB: 2 yuanes, 5 yuanes y 10 yuanes. Hay 50 denominaciones de RMB, de las cuales hay la misma cantidad de denominaciones de 2 yuanes y de 5 yuanes. Entonces, ¿cuánto son 2 yuanes, 5 yuanes y 10 yuanes?
5. A solo completó un proyecto en 12 días y B solo en 18 días. ¿Cuántos días lo completó A y luego B hizo la parte restante solo, por lo que tomó 16 días?
¿Cuántos días lo hizo A primero?
6. La carrera de motos tiene una longitud total de 281 kilómetros y se divide en varias etapas. Cada etapa consta de un camino cuesta arriba (3 kilómetros), un camino llano (4 kilómetros), un camino cuesta abajo (2 kilómetros) y un camino llano. (4 kilómetros algunos se componen de un camino de subida (3 kilómetros), un camino de bajada (2 kilómetros) y un camino llano (4 kilómetros; algunos se componen de un camino de subida (3 kilómetros) y un camino de bajada (); 2 kilómetros) y un camino llano (4 kilómetros). ). Se sabe que una vez finalizada la carrera la moto, *** ha recorrido 25 tramos de subida. En estas dos etapas, ¿cuántas etapas se incluyen en todo el proceso?
7. Usa 1 yuan para comprar 15 sellos de 4 centavos, 8 centavos y 1 jiao. ¿Puedo comprar sellos de menos de 1 jiao? Cuántas piezas comprar
2. El problema de la "diferencia entre dos números"
El número total de gallinas y conejos en la misma jaula es la "suma de los dos números". Si la condición se cambia a "La diferencia entre dos números", cómo solucionar el problema. Ejemplo 7: Compré unos sellos de 4 y 8 céntimos por 6 yuanes y 80 céntimos. Hay 40 sellos de 8 centavos más que de 4 centavos ¿Cuántos de cada compraste?
Solución 1: Si sacas 40 sellos de 8 centavos, entre los sellos restantes, hay 8. Sellos de céntimos y sellos de 4 céntimos. El número es el mismo.
(680-8×40)÷(8+4)=30,
Se puede observar que quedan 30 sellos de 8 centavos y 30 sellos de 4 centavos. .
Por tanto, hay
430=70 sellos de 8 céntimos.
Respuesta: 70 sellos de 8 céntimos y 30 sellos de 4 céntimos: 70 sellos de 8 céntimos y 30 sellos de 4 céntimos.
También puedes asumir cualquier número.
Solución 2: Por ejemplo, supongamos que hay 20 sellos de 4 centavos. Según la condición "los sellos de 8 centavos son 40 más que los sellos de 4 centavos", entonces debería haber 60 sellos de 8 centavos. . El valor total de los sellos (en centavos) es 4×28×60=560.
Este número es inferior a 680, por lo que es necesario añadir más sellos. Para mantener la "diferencia" en 40, agregue 8 centavos por cada 4 centavos, y el número de sellos por cada sello adicional es (680-4×20-8×60) ÷ (4 +8)=10.
Entonces hay 210=30 (piezas) para 4 puntos, y 610=70 (piezas) para 8 puntos.
Ejemplo 8 Un proyecto se puede completar en 15 días si hace buen tiempo. Si llueve, ¿cuántos días se necesitarán para completar el proyecto en un día lluvioso?
Respuesta: Similar al ejemplo 3, suponga que la carga de trabajo total del proyecto es de 150 unidades, 10 unidades por día en días soleados. días y 8 unidades por día en días de lluvia. Usando el mismo método que en el ejemplo anterior, hay
(150-8×3)÷(18)= 7 días de días soleados.
Hay 7+3=10 días de lluvia, un total de ****
7+10=17 (días).
Respuesta: La obra se completó en 17 días.
Tenga en cuenta que si elimina la frase "Los días lluviosos son 3 días más que los días soleados" y la reemplaza con el tiempo conocido de finalización del proyecto de 17 días, volverá al problema de la sección anterior. La diferencia es 3 y la suma es 17, así que si sabes uno, puedes deducir el otro. Esto ilustra la relación entre los Ejemplos 7 y 8 y la pregunta básica de la sección anterior.
Si se cambia la condición a "la diferencia entre dos números", el número total de pies es la "suma de los dos números", ¿cómo se resuelve?
Ejemplo 9 Pollo y Conejo *** 100, el número de patas de pollo es 28 menos que el número de patas de conejo. El número de patas de un conejo es 4÷2=2 (veces) el de una gallina, por lo que el número de gallinas es el doble que el de los conejos. El número de conejos es:
(1028÷2)÷(2+1)=38.
El número de gallinas es
100-38=62.
Respuesta: 62 gallinas y 38 conejos.
Por supuesto, también puedes quitar el conejo 28÷4=7. El número de conejos es:
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38.
Esto también se puede hacer asumiendo cualquier número.
Solución 2: Supongamos que hay 50 gallinas, entonces hay 100-50=50 conejos. La diferencia en el número de pies es
4×50-2×50=100, que es 72 más que 28. Es decir, supongamos que hay más conejos (y menos gallinas). Para mantener el número total de conejos en 100, se utiliza una gallina en lugar de un conejo, lo que da 4 patas de conejo menos y 2 patas de pollo más, una diferencia de 6 (tenga en cuenta que no son 2). Por tanto, el número de conejos a reducir es:
(100-28)÷(4+2)=12.
El número de conejos a reducir es
50-12=38.
Además, también existe el problema de usar la diferencia entre dos números para reemplazar el número total de cabezas y usar la diferencia entre dos números para reemplazar el número total de pies.
Ejemplo 10 En poesía antigua, un poema de cinco caracteres es un poema de cuatro caracteres con cinco caracteres en cada oración, y un poema de siete caracteres es un poema de cuatro caracteres con siete caracteres en cada oración. Hay una antología de poesía en la que hay 13 poemas de cuatro caracteres más que de cinco, pero el número total de palabras es 20 menos. ¿Cuántos poemas hay en cada antología?
Solución 1: Elimina 13 poemas de cuatro caracteres, los dos poemas tienen el mismo número de poemas de cuatro caracteres, pero el número de palabras difiere
13×5×4+20 =280 (palabras).
El número de palabras de cada poema difiere
7×4-5×4=8.
Por tanto, el número de cuartetas de siete caracteres es
280÷(28-20)=35.
El número de cuartetas es
35+13=48.
Respuesta: 48 versos para un poema de cinco caracteres y 35 versos para un poema de siete caracteres.
Solución 2: Supongamos que hay 23 cuartetas de cinco caracteres, luego, basándose en la diferencia de 13 oraciones, hay 10 oraciones. El número de palabras es 20×23=460 (palabras), 28×10=280 (palabras), y el número de palabras para un poema de cinco caracteres es aún mayor
460-280=180 ( palabras).
La diferencia con el título "20 palabras menos"
1820=200 palabras.
En otras palabras, supongamos que el poema tiene menos palabras. Para mantener la diferencia de 13 poemas, se agregaron un poema de cinco caracteres y un poema de siete caracteres, y la diferencia en el recuento de palabras aumentó en 8 palabras. Por lo tanto, el número de poemas de cinco caracteres debe incrementarse de lo supuesto
200÷8=25 (poemas).
El número de poemas de cuatro caracteres es
23+25=48.
Hay 125=35 poemas de siete caracteres
Cuando escribimos la fórmula "pollo y conejo en la misma jaula", asumimos que todos son conejos o todos pollos. Por supuesto, el Ejemplo 7, el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10 son todos así. . Ahora hagámoslo en detalle y combinemos los cálculos enumerados con la fórmula "pollo y conejo en la misma jaula", y encontrarás algo muy interesante.
Ejemplo 7: Supongamos que el sello es de 8 centavos, entonces el número de sellos de 4 centavos es:
(680-8×40)÷(8+4)=30.
Ejemplo 9. Supongamos que todos son conejos y que el número de gallinas es:
(100×4-28)÷(4+2)=62.
10. Suponiendo que hay cinco líneas, el número de siete líneas es
(20×13+20)÷(28-20)=35 (solamente).
En primer lugar, se pide a los lectores que comprendan los orígenes de los tres cálculos anteriores y luego los comparen con el cálculo "pollo y conejo en la misma jaula", solo uno de estos tres cálculos ". ", se ha convertido en "+".
Al llegar a la secundaria, con el concepto de números negativos y el sistema de ecuaciones lineales en dos variables, entenderás que matemáticamente hablando, todos los ejemplos de las dos primeras secciones de esta conferencia son lo mismo. .
Ejemplo 11 Hay un camión que transporta 2.000 botellas de vidrio. El flete se calcula en base al número de botellas que están intactas cuando llegan. Si las botellas rotas están rotas, no hay flete. Se cobrará y se requerirá una compensación de 1 yuan cada uno. La tarifa de envío fue de 379,6 yuanes. Pregunté cuántas botellas de vidrio se rompieron durante el transporte.
Respuesta: Si no hubo daños, la tarifa de envío debería ser de 400 yuanes. Pero si uno está dañado, sólo es necesario reducirlo en 1+0,2=1,2 (yuanes). Por tanto, el número de daños es
(400-379,6)÷(1+0,2)=17 (únicamente).
Respuesta: Durante este envío se rompieron 17 botellas de vidrio.
Piénselo, ¿es este el mismo tipo de problema que "pollo y conejo en la misma jaula"?
Ejemplo 12 Hay dos preguntas de conocimiento natural. La primera pregunta vale 24 puntos. Cada respuesta correcta vale 5 puntos, y cada respuesta incorrecta (incluida la falta de respuesta) se deduce 1 punto. preguntas, y la respuesta correcta es 1 punto. Cada pregunta vale 8 puntos, y se deducirán 2 puntos por responder incorrectamente o no responder una pregunta. Xiao Ming tomó dos pruebas **** y respondió un total de 30 preguntas. su puntuación en la primera prueba fue 10 puntos más que su puntuación en la segunda prueba. La puntuación en la primera prueba fue 10 puntos más que la puntuación en la segunda prueba, y la puntuación en la segunda prueba fue 10 puntos más que la puntuación. En la segunda prueba, Xiao Ming respondió un total de 30 preguntas en las dos pruebas ****, pero la puntuación en la segunda prueba fue 10 puntos más que la puntuación en la segunda prueba. que la puntuación de la segunda prueba, y la puntuación de la segunda prueba es 10 puntos más que la puntuación de la segunda prueba. La primera prueba valió 10 puntos más que la segunda. Pregúntale a Xiao Ming cuántos puntos obtuvo en las dos pruebas.
Solución 1: Si Xiao Ming respondió correctamente 24 preguntas en la primera prueba, obtendría. 5×24=120 (puntos) ). Si responde correctamente las 24 preguntas en la primera prueba, obtiene 5×24=120 puntos. Si responde correctamente sólo 30-24=6 preguntas en la segunda prueba, su puntuación será 8×6-2×(15-6)=30 puntos.
Diferencia entre los dos términos
120 - 30 = 90 (puntos).
Esto son 80 puntos más que la diferencia de 10 puntos en las condiciones de la pregunta. Esto muestra que cada vez hay menos primeras respuestas correctas hipotéticas. La primera respuesta reduce el número de preguntas en 5+1=6 (puntos), mientras que la segunda respuesta aumenta el número de preguntas no solo restando 2 puntos sino también restando 8 puntos, por lo que se suman 8+2=10 puntos. A la diferencia entre ambos se le pueden restar
6+10=16 (puntos).
(90-10)÷(6+10)=5 (pregunta).
Por lo tanto, el número de preguntas respondidas correctamente por primera vez es 5 menos que el supuesto (todas las respuestas correctas), es decir, 19 preguntas fueron respondidas correctamente por primera vez y 30-19=11 preguntas. fueron respondidas correctamente por segunda vez.
Primera puntuación
5×19-1×(24- 9)=90.
Segundo puntaje
8×11-2×(15-11)=80.
Respuesta: El primero obtiene 90 puntos, el segundo obtiene 90 puntos. Cada uno obtiene 80 puntos.
Solución 2: Responde 30 preguntas correctamente, es decir, dos respuestas incorrectas****
24+15-30=9 (preguntas).
Si respondes incorrectamente una pregunta por primera vez, se te descontarán 5+1=6 (puntos). Si respondes incorrectamente una pregunta la segunda vez, se te descontarán 8+2=10. (agujas). Si responde incorrectamente una pregunta y cambia a otra pregunta, la diferencia entre las dos puntuaciones es 6+10=16 (puntos).
Si las 9 preguntas respondidas incorrectamente son todas para la primera vez, se descontarán 6×9 puntos de la puntuación total. Pero la puntuación total para ambos es de 120 puntos. Pero la puntuación total para ambos es 120 puntos, que es 6×9+10 menos que la condición de la pregunta de "10 puntos más que la primera vez". Por lo tanto, el número de preguntas respondidas incorrectamente por segunda vez es
(6×9+10)÷(6+10)=4 (preguntas)-
El número de preguntas Respondió incorrectamente por primera vez 9-4=5(pregunta).
La primera puntuación es 5×(24-5)-1×5=90.
La segunda puntuación es 8×(15-4)-2×4=80 (puntos).
Ejercicio 2
1. Se gastó un total de 83,4 yuanes en la compra de 30 libros de chino y 24 libros de matemáticas****. Cada libro de chino cuesta 0,44 yuanes más que cada libro de matemáticas. ¿Cuál es el precio de cada libro de idioma chino y de matemáticas?
2. El té tipo A cuesta 132 yuanes el kilogramo y el té tipo B cuesta 96 yuanes el kilogramo. **** compra 12 kilogramos de estos dos tipos de té. El dinero gastado para comprar el té de A es 354 yuanes menos que el dinero para comprar el té de B. Pregunte cuántos kilogramos de cada tipo de té se deben comprar
3. Un camión que transporta mineral puede transportar 16 veces al día en un día soleado, pero solo puede transportar 11 veces al día en un día lluvioso. Los camiones transportan mineral 16 veces al día en días soleados y 11 veces al día en días lluviosos. Hay 3 días más de lluvia pero 27 entregas menos que los días soleados. ¿Cuántos días hay en total?
4. Hay 20 preguntas en un examen de matemáticas. Cada pregunta correcta vale 5 puntos, una pregunta incorrecta vale 1 punto y una respuesta incorrecta vale 0 puntos. . Xiaohua anotó 76 puntos.
Xiaohua respondió correctamente algunas preguntas
5. A y B disparan. Si aciertan, A obtiene 4 puntos y B obtiene 5 puntos. Si fallan, A pierde 2 puntos y B pierde 3 puntos. Cada hombre disparó 10 balas y sus bolas alcanzaron 14 veces. Al contar, A obtiene 10 puntos más que B. Pregúntale a A y B cuántas balas impactan cada uno
6. Los lugares A y B están separados por 12 kilómetros. Xiao Zhang va del lugar A al lugar B, permanece en el lugar A durante media hora y regresa del lugar B al lugar A. Xiao Wang va del lugar B al lugar A, permanece en el lugar A durante 40 minutos y regresa del lugar A al lugar B. Se sabe que dos personas partieron de los lugares A y B al mismo tiempo y se encontraron en el camino de regreso 4 horas después. Si la velocidad de Xiao Zhang es 1,5 kilómetros por hora más rápida que la velocidad de Xiao Wang, encuentre la velocidad de los dos.
3. Del "tres" al "dos"
"Pollo" y "conejo" son dos tipos de cosas Tres o más cosas también tienen problemas similares. Los ejemplos 5 y 6 de la Sección 1 tienen tres cosas. Las soluciones a estos dos ejemplos también muestran que es importante considerar tres cosas desde la perspectiva de dos cosas. En esta sección, usaremos algunos ejemplos para mostrarle cómo convertir dos cosas en dos cosas.
Ejemplo 13 La escuela organizó una fiesta de Año Nuevo. Los premios incluían lápices, bolígrafos y estilográficas, ***232 piezas y ***costaron 300 yuanes. Hay 4 veces más lápices que bolígrafos. Se sabe que los lápices cuestan 0,60 yuanes cada uno, los bolígrafos cuestan 2,7 yuanes cada uno y las plumas estilográficas cuestan 6,3 yuanes cada una. ¿Cuántos bolígrafos hay para cada uno de estos tres tipos?
Solución: Según la condición "el número de lápices es 4 veces el número de bolígrafos", estos dos bolígrafos se pueden combinar en uno solo. 4 lápices y 1 Los bolígrafos se combinan en un juego de lápices y el precio de cada lápiz del juego se calcula como (0,60 × 4 + 2,7) ÷ 5 = 1,02 (yuanes).
Ahora esto se traduce en precios de dos lápices de 1,02 y 6,3. Calculado utilizando la fórmula "pollo y conejo en la misma jaula", el número de corrales es (300-1,02×232) ÷ (6,3-1,02) = 12 (piezas).
Lápices y bolígrafos****
232-12=220 (piezas).
Entre ellos bolígrafos
220 ÷ (4+1) = 44 (piezas).
Lápices
220-44=176 (piezas).
Respuesta: 12 plumas estilográficas, 44 bolígrafos: 12 plumas estilográficas, 44 bolígrafos y 176 lápices.
Ejemplo 14 La tienda vende globos grandes, medianos y pequeños. Los globos grandes cuestan 3 yuanes cada uno, los globos medianos cuestan 1,5 yuanes cada uno y los globos pequeños cuestan 1 yuan cada uno. El Sr. Zhang compró 55 bolas por 120 yuanes **** y el dinero para comprar el globo ganador fue exactamente el mismo que el dinero para comprar el globo pequeño. Pregunte cuántas bolas de cada tipo comprar
Solución: Debido a que la cantidad total de dinero es un número entero, y los precios de la bola grande y la bola pequeña también son números enteros, el dinero para comprar la bola ganadora es un número entero, que también es un múltiplo entero de 3. Supongamos que pagamos $3 por la bola mediana y $3 por la pequeña. Podemos comprar 2 bolitas medianas y 3 bolitas pequeñas. Por lo tanto, podemos considerar estas dos bolas como una sola, y el precio de cada bola es (1,5 × 2 + 1 × 3) ÷ (2 + 3) = 1,2 (yuanes).
Según la fórmula, el número de bolas grandes es
(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30.
El dinero gastado para comprar pelotas pequeñas y medianas es
(120-30×3)÷2=15 (yuanes).
Podrás comprar 10 bolitas medianas y 15 bolitas pequeñas.
Respuesta: 30 bolitas grandes, 10 bolitas medianas y 15 bolitas pequeñas: 30 bolitas grandes, 10 bolitas medianas y 15 bolitas pequeñas.
El ejemplo 13 parte de la relación múltiple cuantitativa entre dos cosas, y el ejemplo 14 parte de la cantidad total igual entre las dos cosas (también se puede utilizar un método similar para la relación múltiple), y combina las dos Considerar un pozo, en esencia, es encontrar el precio promedio de dos cosas y combinar "tres" en "dos".
El Ejemplo 15 es un precursor del Ejemplo 16.
Ejemplo 15 Una persona sube una colina a una velocidad de 3 kilómetros por hora y regresa cuesta abajo a una velocidad de 6 kilómetros por hora ¿Cuál es su velocidad promedio?
Solución: Él La. La distancia hacia arriba y hacia abajo de la montaña es la misma. Ésta es la premisa de nuestra pregunta.
Velocidad media = distancia ÷ tiempo
Se necesitan 20 minutos para recorrer 1 km de ida y 10 minutos para recorrer 1 km de regreso. El viaje de ida y vuelta de 2 kilómetros dura 30 minutos, o media hora, a una velocidad promedio de 4 kilómetros por hora.
Ten en cuenta que la velocidad media no es la media de las dos velocidades: (6+3)÷2=4,5 km/h.
Ejemplo 16 La longitud total desde el punto A al punto B es de 45 kilómetros. Hay caminos de subida, caminos llanos y caminos de bajada. La velocidad de Li Qiang es de 3 kilómetros por hora cuesta arriba, 5 kilómetros por hora en carreteras planas y 6 kilómetros por hora cuesta abajo. Li Qiang tarda 10 horas en caminar del punto A al punto B, y Li Qiang tarda 11 horas en caminar del punto B al punto A. ¿Cuántos kilómetros hay del punto A al punto B?
Respuesta: La distancia de ida y vuelta 45×2=90 (km) se cuenta como el viaje completo. Ir cuesta arriba significa ir cuesta abajo; ir cuesta abajo significa volver a subir. Combinando las pendientes ascendentes y descendentes en un "segmento", según el Ejemplo 15, la velocidad media es de 4 km/h. Ahora tenemos un problema muy simple de "pollo y conejo en la misma jaula". El número de cabezas es 111=21, el número total de patas es 90, el número de patas de pollo y conejo es 4 y 5 respectivamente. Por tanto, el tiempo necesario en una carretera plana es (90-4×21)÷(5-4)=6 (horas).
El tiempo de ida en una carretera llana es de 6÷2=3 (horas).
Desde el punto A hasta el punto B, se necesitan 10-3=7 horas para caminar cuesta arriba y cuesta abajo. La distancia recorrida es
45-5×3=30 (kilómetros).
Otro problema de "pollo y conejo en la misma jaula". El tiempo para caminar cuesta arriba desde el punto A al punto B es
(6×7-30)÷(6-3)=4 horas.
La distancia es 3×4 = 12 (km).
El tiempo para caminar bajando la montaña es de 7-4 = 3 (horas). La distancia recorrida es 6 × 3 = 18 (kilómetros).
Respuesta: A del punto A al punto B hay 12 kilómetros cuesta arriba, 15 kilómetros en camino llano y 18 kilómetros cuesta abajo.
La solución de "pollo y conejo en la misma jaula" dos veces también puede denominarse "problema doble de pollo y conejo en la misma jaula". El ejemplo 16 es un ejemplo típico.
Ejemplo 17 Un determinado examen se realizó 24 veces, con 426 preguntas. El número de preguntas de cada examen es 25, 16 o 20. Entonces, ¿cuántas veces respondiste las 25 preguntas en total?
Respuesta: Si hay 16 preguntas cada vez, entonces 16×24=384 preguntas, que son 42 preguntas menos que 426 preguntas.
Si hay 25 preguntas por examen, son 25-16=9 preguntas más.
Si cada examen tiene 20 preguntas, entonces habrá 20-16=4 preguntas más.
Entonces,
9 x 25 preguntas + 4 x 20 preguntas = 42.
Ten en cuenta que 4 y 42 son números pares. El número de preguntas 9 x 25 debe ser un número par, por lo que el número de preguntas 25 es par. el número de preguntas 25 solo puede ser 0. , 2 y 4. Como 42 no es divisible por 4, ni 0 ni 4 son apropiados. La pregunta 25 sólo se puede responder 2 veces (la pregunta 20 se puede responder 6 veces).
Respuesta: 2 veces para 25 preguntas.
Ejemplo 18 Hay 50 estudiantes que viajan por la ciudad. El coste es 1,2 yuanes por persona en tranvía, 4 yuanes por persona en minibús y 6 yuanes por persona en metro. Estos estudiantes gastaron un total de 110 yuanes. ¿Cuántos de ellos tomaron el minibús?
Solución: debido a que 110 yuanes es un número entero, los boletos de minibús y de metro son números enteros, por lo que el número de personas que tomaron el tranvía Debe ser un múltiplo entero de 5.
Si el número de estudiantes que compran billetes de minibús y metro es múltiplo entero de 5, entonces el número de estudiantes que toman el tranvía debe ser múltiplo entero de 5.
Si 30 personas toman el tranvía,
110-1,2×30=74 (yuanes).
Quedan entre 50 y 30 = 20 personas y estas personas no tienen suficiente dinero para gastar. Esto ilustra el supuesto pequeño número de personas en el tranvía.
Si 40 personas toman el tranvía,
110-1,2×40=62 (yuanes).
Si las 50-40=10 personas restantes toman el metro, entonces habrá más dinero (62>6×10). Esto significa que hipotéticamente hay más gente viajando en tranvía. Entre 30 y 40, sólo 35 es múltiplo de 5.
Ahora podemos convertir esto en un escenario de "pollo y conejo en la misma jaula":
Número total de cabezas 50-35=15,
Número total de pies 110-1,2×35=68.
Entonces el número de personas que toman el minibús es:
(6×15-68)÷(6-4)=11.
Respuesta: 11 Personas: 11 estudiantes tomaron el minibús. 11.
El Ejemplo 13, el Ejemplo 14 y el Ejemplo 16 pertenecen a tres a dos. En el caso de que "tres" cambie a "dos", el Ejemplo 13, el Ejemplo 14 y el Ejemplo 16 son una transformación. Los ejemplos 17 y 18 son de otro tipo. Aprovecha que el número de términos que buscas es un número entero y la restricción de que el número total solo puede ser de unos pocos valores. Considere cada valor para ver si cumplen con las condiciones del problema. Una vez que se determina un número, el problema se convierte en un problema de "dos". En aritmética de primaria basta con estudiar estos dos tipos de problemas. Los problemas más complejos sólo pueden resolverse con la ayuda de métodos algebraicos, como las ecuaciones cúbicas en la escuela secundaria.
Ejercicio 3
1. Hay 100 monedas. Si reemplaza todas las monedas de 2 centavos con monedas iguales de 5 centavos, el número total de monedas se convierte en 79, y luego reemplaza todas las monedas de 1 centavo con monedas iguales de 5 centavos, el número total de monedas se convierte en 63. Descubre cuánto cuestan las monedas originales de 2 céntimos y de 5 céntimos
2. "Actuación de la Ópera de Pekín"****, se vendieron un total de 750 entradas por 22.200 yuanes. El billete A cuesta 60 yuanes cada uno, el billete B cuesta 30 yuanes cada uno y el billete C cuesta 18 yuanes cada uno. El número de votos C es el doble del número de votos B. ¿Cuántos boletos hay?
3. Xiao Ming participó en el concurso de matemáticas, ****, resolvió 20 preguntas y obtuvo 67 puntos. Se sabe que se otorgan 5 puntos por responder una pregunta, 2 puntos por no responder y se restan 3 puntos por cada pregunta incorrecta. También se supo que se equivocó en tantas preguntas como en las que no respondió. Xiao Ming**** respondió correctamente algunas preguntas
4. El valor de 100 monedas de 1 centavo, 2 centavos y 5 centavos**** es 2 yuanes si hay más. Monedas de 2 céntimos que monedas de 1 céntimo 13 puntos. Pregunta cuántas monedas hay de cada uno de estos tres tipos
Nota: Los estudiantes que no hayan aprendido las operaciones con fracciones no podrán responder esta pregunta.
5. Los lugares A y B están separados por 24 kilómetros. Una persona camina de un lado a otro del punto A al punto B a una velocidad cuesta arriba de 4 kilómetros por hora. Va cuesta arriba a una velocidad de 4 kilómetros por hora, por un camino llano a una velocidad de 5 kilómetros por hora y por un camino cuesta abajo a una velocidad de 6 kilómetros por hora. Tardamos 4 horas y 50 minutos en llegar a nuestro destino y 5 horas en regresar. Del punto A al punto B, ¿cuántos kilómetros hay de subida, de llano y de bajada?
6. Una escuela con 80 estudiantes tiene 12 dormitorios. Hay tres tamaños de dormitorios: uno grande para 8 personas, uno mediano para 7 personas y uno pequeño para 5 personas. El dormitorio pequeño y el dormitorio grande tienen el mayor número de personas. ¿Cuántas habitaciones hay en estos dos dormitorios?