Resumen del conocimiento funcional requerido en matemáticas de secundaria.
Definición clásica:
Hay dos variables, X e Y, en un determinado proceso de cambio. De acuerdo con ciertas reglas correspondientes, para cada valor X dado, hay un valor Y único correspondiente, por lo que Y es una función de X... donde x es la variable independiente e y es la variable dependiente.
Además, si para cada valor dado de Y hay un valor único de X, entonces X también es una función de Y.
Definición moderna:
En términos generales, dado un conjunto de números no vacíos A y B, de acuerdo con una determinada regla de correspondencia F, cualquier elemento X en A tiene una Y única en B, por lo que esta correspondencia del conjunto A al conjunto B se llama Función del conjunto A para configurar B.
Nota: x → y = f (x), x ∈ a. El conjunto a se llama dominio de la función, d, y el conjunto {y ∣ y = f (x), x ∈. a} se llama dominio de valor, c. dominio de definición, dominio de valor, las reglas correspondientes se denominan los tres elementos de la función. Generalmente escrito como y = f(x)x∈d, si se omite el dominio, se refiere al conjunto de todos los números reales que son significativos para la función.
Según la definición de mapeo:
En términos generales, dado un conjunto de números A y B no vacíos, el mapeo del conjunto A al conjunto B se llama del conjunto A al establecer B. función.
Función vectorial: La función cuya variable independiente es un vector se llama función vectorial f(a1.a2, A3...an) = Y.
La importante relación entre correspondencia, mapeo y funciones;
Una función es un mapeo en un conjunto de números y un mapeo es una correspondencia específica. Es decir: {función} está contenida en {mapping}, contenida en {correspondencia}
Estas declaraciones en los procedimientos de función se utilizan para realizar un trabajo significativo, generalmente procesar texto, controlar la entrada o calcular el valor. Las funciones se pueden ejecutar (o llamar) en un programa introduciendo el nombre de la función y los parámetros requeridos en el código del programa.
Similar a los procedimientos, pero las funciones suelen tener un valor de retorno. Ambos pueden llamarse a sí mismos dentro de sus propias estructuras, lo que se llama recursividad.
La mayoría de los lenguajes de programación tienen palabras clave de función (o palabras reservadas) en los métodos constructores.
Al igual que las funciones matemáticas, las funciones se utilizan a menudo en ecuaciones, como y=f(x) (f la define el usuario).
La función es un concepto básico en matemáticas y uno de los conceptos más importantes en álgebra.
En primer lugar, debes entender que las funciones son correspondencias entre conjuntos de números no vacíos. Luego, comprenda que existe más de una relación funcional entre A y b. Finalmente, concéntrese en comprender los tres elementos de la función.
Las reglas correspondientes de las funciones generalmente se expresan mediante expresiones analíticas, pero una gran cantidad de relaciones funcionales no se pueden expresar mediante expresiones analíticas y solo se pueden expresar en forma de imágenes, tablas, etc.
En un proceso de cambio, la cantidad que cambia se llama variable y algunos valores no cambian con la variable. Lo llamamos constante.
La variable independiente, función, es una variable relacionada con otras cantidades. Cualquier valor de esta cantidad puede encontrar el valor fijo correspondiente en otras cantidades.
La variable dependiente (función) cambia a medida que cambia la variable independiente. Cuando la variable independiente toma un valor único, la variable dependiente (función) tiene y tiene solo un valor único que le corresponde.
Valor de la función, en la función donde Y es X, X determina un valor e Y determina un valor en consecuencia. Cuando X toma A, se determina que Y es B y B se denomina valor de función de A.
Definición de mapeo
Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos.
Si hay un elemento único B que corresponde a cualquier elemento A en el conjunto A de acuerdo con una determinada relación correspondiente F, entonces dicha relación correspondiente (incluidos los conjuntos A y B, y la relación correspondiente F del conjunto A al conjunto B) se llama el conjunto A a El mapeo del conjunto B se denota como F: A → B. Entre ellos, B se llama la imagen de A bajo el mapeo F, denotado como: B = F (A se llama la imagen original de b); con respecto al mapeo f. En el conjunto A El conjunto de imágenes de todos los elementos se denota por f(A).
Entonces: un mapeo definido entre conjuntos de números no vacíos se llama función. La variable independiente de la función es una imagen original especial y la variable dependiente es una imagen especial.
Significado geométrico
Las funciones están relacionadas con desigualdades y ecuaciones (funciones elementales). Suponga que el valor de la función es igual a cero. Desde un punto de vista geométrico, el valor de la variable independiente correspondiente es la abscisa de la intersección de la imagen y el eje X, desde un punto de vista algebraico, la variable independiente correspondiente es la solución; a la ecuación. Además, reemplace "=" en la expresión de la función (excepto funciones sin expresión) con "", y luego reemplace "y" con otras expresiones algebraicas. La función se convierte en una desigualdad y se pueden encontrar el rango de variables independientes. valores.
Teoría de conjuntos de funciones
Si una relación binaria f de X a Y: x × y tiene un y∈Y único para cada x∈X, entonces < ∈f, entonces llama a f a función de x a y, escrita como: f: x → y.
Cuando x = X=X1×…×Xn, f se llama función n-aria.
Sus características:
El dominio de definición frontal y el dominio de definición se superponen.
Precio unitario:
Dominio, dominio correspondiente y dominio de valor
El conjunto x de valores de entrada se denomina dominio de f; Los posibles valores de salida se denominan rango de F. El alcance de una función es el conjunto de valores de salida reales obtenidos al asignar F a todos los elementos en el campo definido. Tenga en cuenta que es incorrecto llamar al rango de dominio correspondiente; el rango de una función es un subconjunto del dominio correspondiente de la función.
En informática, los tipos de datos de los parámetros y los valores de retorno determinan el dominio de definición y el dominio correspondiente del subprograma respectivamente. Por lo tanto, el dominio y el dominio correspondiente son restricciones obligatorias determinadas al comienzo de la función. El alcance, por otro lado, tiene que ver con la ejecución real.
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Las funciones inyectivas asignan diferentes variables a diferentes valores. Es decir, si X e Y pertenecen al dominio de definición, f(x) no es igual a f(y) sólo cuando X no es igual a Y.
Lente única, lente completa, doble lente.
El rango de una función sobreyectiva es su rango correspondiente. Es decir, para cualquier Y en el dominio de mapeo de F, hay al menos un X que satisface f (x) = Y.
Una función biyectiva es tanto inyectiva como sobreyectiva. También llamada correspondencia uno a uno. Las funciones biyectivas se suelen utilizar para indicar que los conjuntos X e Y son equipotenciales, es decir, tienen la misma cardinalidad. Si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, se dice que los dos conjuntos son equipotenciales.
Imagen e imagen original
La imagen del elemento x∈X en F es f(x), y la fórmula que toman es 0.
¿Subconjunto a? La imagen de x en f es un subconjunto de y formado por las imágenes de sus elementos, es decir, f(
Imagen funcional
La imagen de la función f es un conjunto de puntos en el plano Para (x, f(x)), donde x toma todos los miembros en el dominio La función gráfica ayuda a comprender y demostrar ciertos teoremas
Si X e Y son líneas rectas continuas. función La imagen tiene una representación muy intuitiva. Tenga en cuenta que la relación binaria entre los dos conjuntos X e Y tiene dos definiciones: una es el triplete (X, Y, G), donde G es la gráfica de la relación. simplemente define la relación con la gráfica. Según la segunda definición, la función f es igual a su imagen.
Cuando k < 0, la recta sube y pasa por uno o tres cuadrantes o sube y baja. . Trasladar los cuadrantes; cuando k gt0, la recta es descendente, pasando por dos o cuatro cuadrantes, trasladando los cuadrantes hacia arriba o hacia abajo.
Acotación de las funciones de atributos
Supongamos que el dominio de la función f(x) es d, y el conjunto de números X está incluido en d. Si el número K1 existe, entonces f(x). ) ≤K1 es válido para cualquier x∈X, entonces se dice que la función f(x) tiene un límite superior en X, y K1 se denomina límite superior en la función f(x). Si hay un número K2 tal que f(x)≥K2 se cumple para cualquier x∈X, entonces se dice que la función f(x) tiene un límite inferior en X, y K2 se llama límite inferior de la función f( x) en X. Si hay un número positivo m, entonces | f (x) |
La condición necesaria y suficiente para que la función f (x) esté acotada en X es que tenga ambos límite superior y un límite inferior en X.
Monotonicidad de la función
Supongamos que el dominio de la función f(x) es d, y el intervalo I está incluido en d Si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en el intervalo I, Cuando X1
Impareja de la función
Supongamos que f(x) es una función real, entonces f es una función impar. Las siguientes ecuaciones se aplican a todos los números reales x:
F(x) = f(-x) o f( -x) =-f(x) Geométricamente, una función impar es simétrica con el origen, es decir, la forma no cambiará después de girarla 180 grados alrededor del origen.
Ejemplos de funciones impares son X, sin(x), sinh(x) y erf(x).
Supongamos que f(x) es una función variable real, entonces f es una función par, si la siguiente ecuación se cumple para todos los números reales x:
F(x) = f( -x) Geométricamente, una función par será simétrica con respecto al eje Y, es decir, su forma no cambiará cuando se refleje en el eje Y.
Ejemplos de funciones pares son |x|, x^2, cos(x) y cosh(sec)(x).
Incluso las funciones no pueden ser asignaciones biyectivas.
Periodicidad de la función
Función de Dirichlet
Supongamos que el dominio de la función f(x) es D. Si existe un número positivo L, tal que Para cualquier x∈D, hay (x ∈ l)∈D, f(x l)=f(x) es una constante, entonces f(x) se llama función periódica y L se llama período de f(x). Habitualmente decimos que el período de una función periódica se refiere al período mínimo positivo. El dominio D de una función periódica es un intervalo ilimitado con al menos un lado. Si D está acotado, la función de corrección no es periódica.
No todas las funciones periódicas tienen un período mínimo positivo, como por ejemplo la función de Dirichlet.
Continuidad de funciones
En matemáticas, la continuidad es una propiedad de una función. Intuitivamente hablando, una función continua es una función en la que cuando el cambio en el valor de entrada es lo suficientemente pequeño, el cambio en el valor de salida también será lo suficientemente pequeño. Si un pequeño cambio en el valor de entrada provoca un salto repentino o incluso un valor de salida incierto, la función se denomina función discontinua (o función discontinua).
Sea f una función proyectada a partir de un subconjunto del conjunto de números reales: . Si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes, f es continua en el punto c:
f se define en el punto C y C es un punto de convergencia en in, sin importar cómo se aproxima la variable independiente X in in Los límites de C y f(x) existen y son iguales a f(c). Llamamos a una función continua en todas partes o en todas partes, o simplemente continua si es continua en cualquier punto de su dominio. De manera más general, decimos que una función es continua en un subconjunto de su dominio cuando es continua en todos los puntos de ese subconjunto.
Sin el concepto de límite, la continuidad de funciones reales también se puede definir mediante el siguiente método.
Consideremos la funcionalidad. Supongamos que C es un elemento en el dominio de f. La función f es continua en el punto C si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
Para cualquier número real positivo, existe un número real positivo δ>0, por lo que para cualquier dominio, siempre que x satisface c -δ
Función convexa
Supongamos que la función f(x) es continua en I. Si para dos puntos x1≠x2 en I, siempre existe F ((X1 x2 )/2 )≤(F(x 1) F(x2))/2, (F((x 1 x2)/2.
(f(x1) f(x2))/2) Entonces f(x) es una función (estrictamente) convexa en el intervalo I si f ((x1 x2)/2)≥(f(x 1) f(x2; ))/2, (f((x 1 x2)/2)>(f(x1) f(x2))/2) Entonces f(x) es una función (estrictamente) cóncava en el intervalo.
Función real o función virtual
Una función real se refiere a una función cuyo dominio y rango son ambos números reales. Una característica de las funciones reales es que se pueden trazar en coordenadas.
La función virtual es un concepto importante en la programación orientada a objetos. Cuando se hereda de una clase principal, las funciones virtuales y las funciones heredadas tienen la misma firma. Pero durante el proceso de ejecución, el sistema en ejecución seleccionará automáticamente la implementación específica apropiada para ejecutar según el tipo de objeto. Las funciones virtuales son el medio básico para lograr polimorfismo en la programación orientada a objetos.
Función inversa
Generalmente, sea c el rango de valores de la función y=f(x)(x∈A). Según la relación entre X e Y en la función. , use Y para representar X, obtenga x= f(y). Si cualquier valor de Y en C tiene un valor único de A a x= f(y), entonces el dominio y el rango de valores de la función inversa y = f-1 (x) son respectivamente el dominio de la función y=f( x) y rango de valores.
Nota: (1) En la función x = f-1 (y), y es la variable independiente y x es la función, pero tradicionalmente solemos usar x para representar la variable independiente e y para representar la función, por lo que a menudo las letras xey en la función x = f-1 (y) se invierten y se reescriben como y = f.
Una función inversa también es una función porque se ajusta a la definición de función. De la definición de función inversa se puede ver que cualquier función y = f (x) no necesariamente tiene una función inversa. Si la función y=f(x) tiene una función inversa y = f-1 (x), entonces la función inversa de la función y = f-1 (x) es y=f(x). .
(3) Se puede ver en la definición de mapeo que la función y = f (x) es un mapeo del dominio A al dominio de valor C, y su función inversa y = f-1 (x) es un conjunto La aplicación de C al conjunto A. Por lo tanto, el dominio de la función y=f(x) es exactamente su función inversa y = f-1 (x). El rango de valores de la función y=f(x) es exactamente el dominio de su función inversa y = f-1 (x) (como se muestra en la siguiente tabla):
La función inversa y de la función y=f(x) = f-1 (x)
Dominio A C
Rango C A
(4) La definición anterior puede describirse mediante la concepto de mapeo "inverso":
Si el mapeo F que determina la función y=f(x) es un "mapeo uno a uno" del dominio de definición al dominio de valor, entonces la función x = f-1 determinado por el mapeo "inverso" F se llama función y = La función inversa de f(x). .
Los dos primeros ejemplos: s=vt se registra como f(t)=vt, luego su función inversa se puede escribir como f-1 (t) = t/v, de manera similar y=2x 6 es registrado como f (x) = 2x 6, entonces su función inversa es: f-1(.
Las funciones inversas a veces necesitan clasificarse y discutirse, como por ejemplo: f(x)=X 1/X , X necesita ser clasificado y discutido: cuando X es mayor que 0, y p>
Aplicación de la función inversa;
Cuando es difícil encontrar directamente el rango de valores de la función, el valor El rango de la función original se puede determinar encontrando el dominio de la función original. Los pasos para encontrar la función inversa son los siguientes:
1. el rango de la función original es el rango de definición de la función inversa.
Sabemos que los tres elementos de una función son el dominio de definición y el rango de valores y las reglas correspondientes, por lo que encontramos el dominio de la función inversa. La función es el primer paso para encontrar la función inversa.
2. La solución inversa de X, es decir, X está representada por y.
Reescribe la posición para reemplazar. X con Y e Y con Lo mismo es cierto. Sea y=f(x) una función conocida.
Si cada y tiene un x∈X único, tal que f(x)=y, entonces es el proceso de encontrar X a partir de y, es decir, Entonces f -1 es la función inversa de f. Tradicionalmente, x se usa para representar la variable independiente, por lo que esta función todavía se registra como y = f -1 (x). Por ejemplo, y = sinx e y = arcsinx son recíprocos. funciones. En el mismo sistema de coordenadas, las gráficas de y=f(x) e y=f -1(x) son simétricas con respecto a la línea recta y = x.
Función implícita
Si la ecuación f(x, y)=0, se puede determinar que Y es la función y=f(x, es decir, F(x, f(x))≡0, Entonces se dice que Y es una función implícita de x
Nota: La ecuación F(x, y) = 0 aquí no es una función. p>Pensamiento: ¿Es la función implícita una función?
No, porque no está satisfecho con "uno a uno" y "muchos a uno" en el proceso de cambio
Múltiples funciones
Punto de ajuste (x1, x2,...,xn) ∈G? Rn, U? )∈G, existe un único u∈U que le corresponde: f: g→ u , u=f(x1, x2,...,xn
Funciones elementales básicas y sus funciones como). las funciones potencia, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas se denominan funciones elementales básicas
① Función potencia: y = x μ (μ ≠ 0, μ es cualquier número real) Dominio: Cuando μ es un número entero positivo: (-∞, ∞), cuando μ es un número entero negativo: (- ∞, 0)∞(0, μ=α (a es un número entero), cuando α es un número impar); , es (-∞, ∞), cuando α es un número par, es (0, ∞); μ=p/q, p, q es una función compuesta. El esquema se muestra en la Figura 2 y la Figura 3.
②Función exponencial: y = a x (a > 0, a≠1), el dominio es (-∞. , ∞), el rango de valores es (0, ∞), a gt1 es estrictamente monótono función creciente (es decir, cuando x2>; cuando, el dominio de definición es (0, ∞) y el rango de valores es (-∞, ∞). a gt1 es estrictamente monótono creciente y el logaritmo de 0
basado en base 10 se llama logaritmo ordinario. La abreviatura es lgx. El logaritmo de base e se usa ampliamente en ciencia y tecnología, es decir,
④Funciones trigonométricas: consulte la Tabla 2.
p>La función seno y la función coseno son las siguientes, como se muestra en la Figura 6 y la Figura 7.
⑤Función trigonométrica inversa: consulte la Tabla 3. El seno y el coseno hiperbólicos se muestran en la Figura 8.
⑥Seno hiperbólico (ex-e-x), coseno hiperbólico (ex e-x), tangente hiperbólica (ex-e-x)/(ex e-x), cotangente hiperbólica (ex e-x)/(ex-e-x)
Función constante
Cuando x toma cualquier número en el dominio, y=C (C es una constante), entonces el la función y=C se llama Función constante.
Es como una línea recta o una parte de una línea recta paralela al eje X
Función lineal
.1. Definición y fórmula de definición: variable independiente x Tiene la siguiente relación con la variable dependiente y: y=kx b(k, b es una constante, k≠0), entonces se dice que y es lineal. función de x, especialmente cuando b=0, es decir, y=kx, y es una función lineal de x Función proporcional.
Dos. Propiedades de las funciones lineales: el valor de cambio de y es proporcional al valor de cambio correspondiente de x, y la relación es k, es decir, y/x = kⅲ. Gráficos y propiedades de funciones lineales;
1. Práctica y gráficos: a través de los siguientes tres pasos.
(1) Lista (generalmente encuentra de 4 a 6 puntos);
(2) Puntos de seguimiento
(3) Conexión, puedes hacer una imagen; de la función. (Conectados por curvas suaves)
2. Propiedades: Cualquier punto P(x, y) en la imagen de una función lineal satisface la ecuación: y = kx b.
3.k, b y el cuadrante donde se ubica la gráfica de la función.
Cuando k gt0, la línea recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta a medida que x aumenta cuando k < 0, la línea recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrante, y y disminuye a medida que x aumenta, cuando b. gt0, la línea recta debe pasar por uno o dos cuadrantes. Cuando b < 0, la línea recta debe pasar por tres o cuatro cuadrantes. En particular, cuando b=0, la línea recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción. En este momento, cuando k gt0, la línea recta solo pasa por el primer y tercer cuadrante y el origen. Cuando k < 0, la línea recta solo pasa por el segundo y cuarto cuadrante y el origen.
Cuatro. Determine la expresión de la función lineal: dados los puntos A (x1, y 1 B (x2, y2), determine la expresión de la función lineal que pasa por los puntos A y B.
(1) ) Sea la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) y = kx b.
(2) Dado que cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación y = kx b, se pueden enumerar dos ecuaciones: y1 = kx1 B1 e y2 = kx2 B2.
(3) Resuelve esta ecuación lineal binaria y obtén los valores de k y b..
(4) Finalmente obtén la expresión de la función lineal.
v, en y=kx b, los dos sistemas de coordenadas deben pasar por (0, b) y (-b/k, 0).
Aplicación de la función lineal de los verbos intransitivos en la vida
1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v..s=vt.
2. Cuando la velocidad de bombeo f de la piscina permanece sin cambios, el volumen de agua g en la piscina es una función lineal del tiempo de bombeo t, y se establece el volumen de agua original s en la piscina. g = S-ft. La función proporcional inversa es una función de la forma y = k/x (donde k es una constante y k≠0). El rango de valores de la variable independiente x son todos los números reales distintos de 0. La gráfica de una función proporcional inversa es una hipérbola. Como se muestra en la figura, las imágenes de funciones cuando k son positivas y negativas (2 y -2) se dan arriba.
Función cuadrática
En términos generales, existe una relación entre la variable independiente X y la variable dependiente Y: Y = AX ^ 2 BX C(a≠0)(A, B , C es una constante, A≠0, A determina la dirección de apertura de la función, A > 0, la dirección de apertura es hacia arriba, a
El lado derecho de la expresión de la función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático x. Variable independiente, y es una función de x.
Tres expresiones de funciones cuadráticas
Fórmula general: y = ax ^ 2 bx c (a, b, c son constantes, a≠0).
Vértice: y = a(x-h)2 k[Vértice P(h, k) de la parábola] Para la función cuadrática y = ax 2 bx c, su coordenada de vértice es ( - b/2a, (4ac-b 2)/(4a)] Punto de intersección: y = a (x-b 2) donde x1, x2 = (-b √( b ^ 2-4ac))/(2a) Nota: Entre las tres formas de conversión mutua, existe la siguiente relación: _ _ _ h =-b/(2a) k = (4ac-b, x?=(-b √b^2-4ac)/2a< / p>
La imagen de la función cuadrática
La imagen de la función cuadrática y = x 2 en el sistema de coordenadas plano rectangular,
Función cuadrática
Se puede observar que la gráfica de una función cuadrática es una parábola
Pasos de dibujo estándar de una función cuadrática
(en un sistema de coordenadas plano rectangular)
(1) Lista (2) Puntos de seguimiento (3) Líneas de conexión
Propiedades de la parábola
1. Una parábola es una figura con eje simétrico. recta x = -b/2a( Vértice x=h).
El único punto de intersección del eje de simetría y la parábola es el vértice p de la parábola.
Especialmente cuando. b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y. La recta x=0
2. 2)/4a).
-Cuando b/2a=0, p está en el eje y; cuando δ = b 2-4ac = 0, P está en el eje X.
3. El coeficiente cuadrático A determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando es gt0, la parábola se abre hacia arriba; cuando es lt0, la parábola se abre hacia abajo.
Cuanto mayor |a|, menor será la apertura de la parábola.
4. Tanto el coeficiente lineal b como el coeficiente cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.
Cuando A y B tienen el mismo número (es decir, ab gt0), el eje de simetría está a la izquierda del eje y.
Cuando A y B tienen números diferentes (es decir, AB
5. El término constante c determina la intersección de la parábola y el eje Y.
La intersección de la parábola y el eje y Se cruza en (0, c), c es la intersección longitudinal
6 El número de intersecciones de la parábola y el eje X
δ. = b^2-4acgt; 0, la parábola y x. El eje tiene dos puntos de intersección.
Cuando δ = b 2-4ac = 0, la parábola tiene 1 punto de intersección con el eje X.
δ = b^2-4aclt; 0, La parábola no tiene intersección con el eje x. El valor de x es un número imaginario (el recíproco del valor de x = -b√b ^. 2-4ac, multiplicado por el número imaginario I, toda la fórmula se divide por 2a) , la función obtiene el valor mínimo f(-b/2a)= 4ac-b 2/4a en x= -b/2a; es una función creciente en {x | x-b/2a}; la apertura de la parábola es hacia arriba; el rango de la función es {x | y = ax ^ 2 c(a≠0). Función cuadrática y ecuación cuadrática
En particular, la función cuadrática (en lo sucesivo denominada función) y = ax 2 bx c,
Cuando y = 0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo denominada ecuación) sobre x
Es decir, ax ^ 2 bx c = 0.
En este momento, si la gráfica de la función se cruza. con el eje X significa si la ecuación tiene raíces reales.
La abscisa de la intersección de la función y el eje X es la raíz de la ecuación.
1. Forma de imagen de la función cuadrática Y = AX ^ 2, Y = A (X-H) 2, Y = A (X-H) 2 K, Y = AX ^ 2 BX C (en todos los tipos, a≠0) Misma, pero diferentes posiciones
Fórmula analítica
y=ax^2; y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2 k; y=ax c<. /p>
Coordenadas del vértice correspondiente
(0, 0); (h, 0); (-b/2a, (4ac-b ^2)/4a);
Eje de simetría correspondiente
x = 0; x = h; x=-b/2a
Cuando h gt0, mueve la parábola y = ax 2 paralelo a la derecha por h unidades, y puedes obtener la imagen de y = a (x-h) 2.
Cuando h < 0, mueve |h| /p>
Cuando h gt0, k gt0, la parábola y = ax 2 se mueve paralela a la derecha H unidades y luego hacia arriba K unidades, se puede obtener la imagen y = a (x-h) 2 k.
Cuando h gt0, k lt0, mueva la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, y luego muévala hacia abajo | k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h) 2 k.
Cuando h < 0, k >; mueve la parábola paralela a la izquierda |h| unidades, y luego mueve hacia arriba k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h) 2 k.
Cuando h < 0, k lt0, mueva la parábola paralela a la izquierda |h unidades, y luego muévala hacia abajo |k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h| k.
Por lo tanto, estudia la imagen de la parábola Y = AX ^ 2 BX C(A≠0), y cambia la fórmula general a la forma de Y = A (X-H) 2 K a través de la fórmula para determinar sus coordenadas de vértice, el eje de simetría y la posición aproximada de la parábola son muy claros, lo que proporciona comodidad para dibujar imágenes.
2. La imagen de la parábola y = ax ^ 2 bx c(a≠0): cuando a >: 0, la apertura es hacia arriba, cuando a
3. = ax ^ 2 bx c(a≠0), si a > 0, cuando x ≤-b/2a, y disminuye con el aumento de x, y la función es una función decreciente cuando x ≥-b/2a, y; Aumenta con el aumento de x, y la función es una función creciente. Si a
4. La intersección de la imagen de la parábola y = ax 2 bx c y el eje de coordenadas:
(1) La imagen debe cruzar el eje Y, y las coordenadas de intersección son (0, c );
(2) Cuando △ = b 2-4ac >, la imagen intersecta el eje x en dos puntos A(x?, 0) y B. (x? 0), donde x1, x2 es la ecuación cuadrática ax^2 bx c=0.
(a≠0). ¿La distancia entre estos dos puntos AB=|x? -¿incógnita? Además, la distancia entre cualquier par de puntos simétricos de la parábola puede ser | 2× (-b/2a)-a |
Cuando △ = 0, solo hay un punto de intersección entre la imagen y el eje X.
Cuando △ < 0. La imagen no tiene intersección con el eje X. Cuando A > 0, la imagen cae por encima del eje X. Cuando X es un número real, y > 0; cuando a lt0, la imagen cae por debajo del eje X. Cuando X es un número real, y
.5. El valor máximo de la parábola y = ax ^ 2 bx c: Si a gt0 (a lt; 0), entonces cuando x = -b/2a, el valor mínimo (mayor) de y = (4ac- b2)/4a.
La abscisa del vértice es el valor de la variable independiente cuando se obtiene el valor máximo, y la ordenada del vértice es el valor del valor máximo.
6. Utiliza el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de la función cuadrática.
(1) Cuando la condición dada es que la imagen conocida pasa por tres puntos conocidos o tres pares de valores correspondientes de x e y conocidos, la expresión analítica se puede establecer en una forma general. :
y=ax^2 bx c(a≠0).
(2) Cuando la condición dada es la coordenada del vértice o el eje de simetría de la imagen conocida, la expresión analítica se puede establecer en vértice: y = a (x-h) 2 k (a ≠ 0).
(3) Cuando la condición dada es que se conocen las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen y el eje X, la fórmula analítica se puede establecer en dos fórmulas: y = a (X- X1) (X-X2) (A ≠ 0).
7. El conocimiento de funciones cuadráticas se integra fácilmente con otros conocimientos para producir problemas integrales más complejos. Por lo tanto, las preguntas integrales basadas en el conocimiento de funciones cuadráticas son temas candentes en el examen de ingreso a la escuela secundaria y, a menudo, aparecen en forma de preguntas importantes.
Funciones trascendentales
Las funciones trigonométricas son una clase de funciones que pertenecen a las funciones trascendentales entre las funciones elementales en matemáticas. Su esencia es un mapeo entre un conjunto de ángulos arbitrarios y un conjunto de variables de razón. Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en un sistema de coordenadas plano rectangular y su dominio es el dominio de los números reales completos. Otra definición está en un triángulo rectángulo, pero está incompleta. Las matemáticas modernas los describen como los límites de secuencias infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales, y extienden su definición a sistemas numéricos complejos.
Debido a la periodicidad de la función trigonométrica, esta no tiene una función inversa en el sentido de una función univaluada.
Las funciones trigonométricas tienen importantes aplicaciones en números complejos. Las funciones trigonométricas también son una herramienta común en física.
Tiene seis funciones básicas:
Nombre de la función: seno cos tangente cotangente línea cotangente
Símbolo sin cos tan cot sec csc
Función seno sin(A)=a/h
Función coseno cos(A)=b/h
Función tangente tan(A)=a/b
Función cotangente cot(A)=b/a
Segundos (A)=hora/segundo
Función cotangente csc (A)=h/a
En un determinado proceso de cambio, dos variables X e Y, para cada valor de X dentro de un cierto rango, Y tiene un cierto valor correspondiente e Y es una función de X. Esta relación generalmente se expresa como y = f (x ).