Clave de respuestas de Álgebra avanzada, tercera edición

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(1) Descomposición espectral A=QDQ^T, luego toma X=QD^{1/3}Q^T.

(2) Hay muchos tipos de generalizaciones. Por ejemplo, cualquier matriz simétrica real tiene raíces cúbicas reales.

2 Observa que f(x) y g(x) no tienen raíces comunes Divide los valores propios de A en 3 grupos: raíces de f(x), raíces de g(x) y. otros De esta manera, la transformación de similitud en P se puede utilizar para dividir A en una matriz diagonal de bloque [A1 0 0 0 A2 0 0 A3], donde el valor propio de A1 es la raíz de f, el valor propio de; A2 es la raíz de g y A3 Los valores propios de no son raíces de fg. Entonces f(A2), f(A3) y g(A1), g(A3) no son singulares, por lo que la intersección de Ker[f(A)] y Ker[g(A)] es 0 y Ker[f (A )] Ker[g(A)]=Ker[f(A)g(A)], compare las dimensiones del espacio o examine la unicidad de la fórmula de descomposición para saber que se trata de una suma directa, y luego aplique la similitud transformación de nuevo para obtener V =V1⊕V2.