Una colección completa de ecuaciones y fórmulas de elipse de la escuela secundaria
1. Ecuaciones estándar
Los libros de texto de secundaria utilizan ecuaciones para describir elipses en el sistema de coordenadas cartesiano plano. El "estándar" en las ecuaciones estándar de elipses se refiere al centro en el origen. y el eje de simetría es el eje de coordenadas.
Existen dos ecuaciones estándar de elipses, dependiendo del eje de coordenadas donde esté el foco:
1) Cuando el foco está en el eje X, la ecuación estándar es: x ^2/a^2+ y^2/b^2=1 (a>b>0)
2) Cuando el foco está en el eje Y, la ecuación estándar es: x^2/ b^2+y^2/a^2 =1 (a>b>0)
Donde a>0, b>0. El más grande entre a y b es la longitud del semieje mayor de la elipse, y el más corto es la longitud del semieje menor (la elipse tiene dos ejes de simetría y el eje de simetría es interceptado por el elipse. Hay dos segmentos de línea, y sus mitades se llaman longitudes de la elipse. Semieje y semieje menor o semieje mayor y semieje menor) Cuando a>b, el foco está en x-. eje, la distancia focal es 2*(a^2-b^2)^0.5, la distancia focal es la misma que la del eje largo y semi-menor La relación: b^2=a^2-c^2, el La ecuación de directriz es x=a^2/c y x=-a^2/c
Además: si el centro está en el origen, pero cuando la posición del foco no está clara en el eje X- eje o eje Y, la ecuación se puede establecer en mx^2+ny^2=1 (m>0, n>0, m≠n). Esa es la forma unificada de la ecuación estándar.
El área de la elipse es πab. La elipse puede considerarse como el estiramiento del círculo en una determinada dirección. Su ecuación paramétrica es: x=acosθ, y=bsinθ
La recta tangente de la elipse estándar en los puntos x0 e y0 es: xx0/a^ 2+yy0/b^2=1
Fórmula 2
La fórmula del área de la elipse
S=π(pi)×a ×b (donde a, b son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente).
O S=π(pi)×A×B/4 (donde A y B son los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente). La longitud del eje).
Fórmula del perímetro de la elipse
No existe una fórmula para la circunferencia de la elipse. Existe una fórmula integral o un término infinito. fórmula de expansión.
El cálculo preciso del perímetro de la elipse (L) requiere el uso de integrales o la sumatoria de series infinitas.
Por ejemplo
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*coste)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [Perímetro aproximado de la elipse], donde a es el semieje mayor de la elipse y e es la excentricidad
La excentricidad de la elipse se define como la distancia desde un punto de la elipse hasta un foco y la directriz correspondiente al punto al foco La relación de distancias, suponiendo que la distancia desde el punto P en la elipse hasta un determinado punto focal es PF, y la distancia a la directriz correspondiente es PL, entonces
e=PF/PL
La ecuación directriz de la elipse
x=±a^2/C
Fórmula de excentricidad de la elipse
e=c/a
Precisión focal de la elipse Distancia: la distancia entre el foco de la elipse y su directriz correspondiente (como el foco (c, 0) y la directriz x = + a ^2/C), valor = b^2/c
Fórmula del radio focal de la elipse |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
El radio de la elipse que pasa por el foco derecho r=a-ex
El radio que pasa por el foco izquierdo r=a+ex
El diámetro de la elipse: la distancia entre la recta que pasa por el foco perpendicular al eje x (o eje y) y los dos focos A y B de la elipse, valor = 2b^2/a
Relación de posición entre el punto y la elipse Punto M (x0, y0) Elipse x^2/a^2+y^2/b^2=1
Punto en el círculo: x0^2/a^ 2+y0^2/b^2<1
El punto está en el círculo: x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
El punto está en el círculo Afuera: x0^2/a ^2+y0^2/b^2>1
Relación posicional entre recta y elipse
y=kx+m ①
x^2/ a^2+y^2/b^2=1 ②
De ①② podemos deducir x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2= 1
Tangencial △=0
Separado △<0, sin intersección
Intersección △>0 Se puede utilizar la fórmula de longitud de cuerda: A(x1,y1) B(x2 ,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
Trayecto de elipse (Definición: En una sección cónica (excepto círculos), la cuerda pasa por el foco y es perpendicular al eje) Fórmula: 2b^2/a