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Problema de programación no lineal

En los problemas de optimización, los problemas de programación matemática en los que al menos una de las funciones objetivo o restricciones es una función no lineal se denomina programación no lineal.

4.2.1.1 Programación no lineal con restricciones de igualdad

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

En la fórmula: x={x1, x2 ,… ,xn}T. Multiplique las m ecuaciones de restricción por λ1, λ2,..., λm respectivamente, y luego súmelas a la función objetivo para obtener:

Investigación sobre el modelo de gestión de planificación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

Esta forma de función objetivo se llama función lagrangiana y está representada por L. Si se considera L como una función objetivo con m n variables, y la derivada de L con respecto a m n variables es igual a cero, obtenemos:

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

Resolver m n ecuaciones simultáneamente para obtener la solución deseada. De esta manera, el problema restringido (4.7) se transforma en un problema no restringido, y luego se utiliza el método de optimización sin restricciones para encontrar el valor mínimo de la función L, que es la solución óptima al problema original.

4.2.1.2 Programación no lineal con restricciones de desigualdad

Investigación sobre el modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

Agregar variables de holgura no negativas a las restricciones, transformar la desigualdad restricciones en restricciones de igualdad. El problema se convierte en:

Investigación sobre el modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

En la fórmula: y=[y1, y2,...,ym]T es el vector variable de holgura . Este problema se puede resolver fácilmente utilizando el método del multiplicador de Lagrange. Para ello, la función lagrangiana L se construye como:

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

Donde λ=[λ1, λ2,…,λm]T es el Vector multiplicador de Lagrange. El punto estacionario de la función lagrangiana se puede obtener resolviendo las siguientes ecuaciones (condiciones necesarias):

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

La ecuación (4.15) asegura que el restricción gj ( x) ≤ 0 (j=1, 2,..., m), y la ecuación (4.16) muestra que λj=0 o yj=0. Si λj=0, significa que la restricción no funciona (gj<0), por lo que se puede omitir si yj=0, significa que la restricción funciona en el punto óptimo (gj=0). Considere dividir las restricciones en dos conjuntos J1 y J2, donde J1 y J2 representan el conjunto completo de restricciones. Sea el conjunto J1 el conjunto de restricciones que son efectivas en el punto óptimo y el conjunto J2 sea el conjunto de todas las restricciones ineficaces.

De esta forma, para j∈J1, yj=0 (la restricción funciona), y para j∈J2, λj=0 (la restricción no funciona). En este momento, la ecuación (4.14) se puede simplificar a:

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

De manera similar, la ecuación (4.15) se puede escribir como:

Investigación sobre un modelo de gestión de programación dinámica de aguas subterráneas que contiene covariables

Además, se puede demostrar que al encontrar el valor mínimo del problema, λj (j∈J1) debe ser positivo. , para el problema del valor máximo , λj (j∈J1) debe ser negativo.