Preguntas sobre series en matemáticas avanzadas Si el término general de la serie es infinitesimal y la secuencia de suma parcial es acotada, entonces la serie.

No necesariamente. Pero tu pregunta es más complicada. Podemos construir una situación de este tipo basándonos en las características de las series condicionalmente convergentes: primero seleccionamos una serie condicionalmente convergente, como Σ, y seleccionamos los dos puntos 1/3 y 2/3 como los "objetivos" de la secuencia de suma parcial. punto".

Paso 1: Primero seleccione el punto 1/3 y reorganice la serie original de acuerdo con las propiedades de la serie de convergencia condicional mencionada anteriormente, de modo que la suma parcial de la nueva serie "vaya" hacia 1/3. , cuando la distancia entre la suma parcial y 1/3 sea menor que 1/100 (de acuerdo con las propiedades mencionadas anteriormente, este requisito se puede lograr en pasos finitos), deténgase. Ingrese al paso 2.

Paso 2: Después del paso anterior, hemos consumido los términos finitos de la serie original y los términos restantes aún forman una serie condicionalmente convergente. En este momento, seleccione el punto 2/3 y reorganícelo con los términos restantes de la serie original para que la suma parcial de la nueva serie "vaya" hacia 2/3 cuando la distancia entre la suma parcial y 2/3 sea. menos de 1/100 de tiempo (este requisito también se puede lograr en pasos finitos), deténgase. Regrese al paso 1.

Se puede demostrar que la secuencia de suma parcial de la serie construida de esta manera está acotada (pero no necesariamente dentro, porque el término finito anterior puede "sacar" la suma parcial de este rango, pero podemos garantiza que cuando n es lo suficientemente grande, la suma parcial siempre está dentro del intervalo)

Pero obviamente esta serie no converge.

Solución completada.