Versión coreana de preguntas y respuestas del examen de álgebra moderna

Ejercicio 1-1 (solución de referencia)

1 (1) Relación de hermanas

(2)()() , ¿PD?

(3)(), {1}, 1abZab∈? Por ejemplo (2, 6 ) 2, (3, 6 ) 3, == pero () 2, 365, 438+0 =.

2. Si B no existe, el razonamiento anterior es incorrecto. Por ejemplo, {} {~ ~} sabcrbccbbbcc =,,:,,. (1)Reflexividad:,(),,nAMEGLRAEAE? ∈?∈=~AA∴ Simetría:

1111,,~,,(),,,,().~.nnABMABPQGLRAPBQBPAQPQGLRBA? ∈?∑=∈∴ Transitividad:

12211221212,,,~,~,,,,,,(),,,nABCMABBCPQPQGLRAPBQBPCQAPPCQQ? ∈?∈===1212,(),~.nPPQQGLRAC∈∴

(2) Reflexividad: 1, (),~. nombregraaaa∈? ∈ =∴ Simetría:

()11,,~,(),,,(),~.T

TnnABMifABTGLRATBTBTBTTGLRBA? ∈?∈=∴=∈∴

Transitividad:121122,,~,~,,,(),,,ttnabcmifabbcttglratbtct? ∈?∈==

()12211221, T

∴ = = 12(),~. nttglrac ∈ ∴ (3) Reflexividad: ()1,,~. nagleglreaaa∈? ∈ =∴ Simetría:

1, (), ~, (),, nnABGLRifABTGLRATBT∈? ∈= ()

1

1

111, (), ~nBTATT

ATTGLRBA? ∴==∈∴.

Transitividad:

11121122,,(),~,~,,(),,nnABCGLRABBCTTGLRATBTBTCT? ∈?∈== ()()1

1112212121,ATTCTTTTCTT? ∴==21(),~.nTTGLRAC∈∴ 4. Prueba: (1) Reflexividad:, () (), ~aAaaaaφφ? ∈=∴Q

(2) Simetría:,~,() (),(),. abaifababababaφφφφ∈= =

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(3) Transitividad:,,~,~,(),(),(),~. abcaabbcabbcacac φ φ φ φ φ? ∈==∴=∴

{}[]|()().axAxaφφ=∈=

5.(1)()SPA? ∑, entonces S=S

~SS∴, ~ ∴ es reflexivo.

(2) Supongamos 12, ()SSPA∈, si 12~SS, entonces 12SS=, 21SS∴=

21~SS, ~ ∴ tiene simetría.

(3)Supongamos 123, ()SSSPA ∈ Si 12~SS, 23~SS, entonces 12SS=, 23SS=

13SS=, 13~SS, ~ ∴ pueden ser migrado ~ ∴ es la relación equivalente en ()PA.

[] {} {} {}

()

,1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~

PAφ=

[]{}φφ=

{}{}{}{}{}{}11,2,3,4=

{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4= {}{}{}{ }{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4= {}{}{}1,2,3,41,2,3 ,4=

6. Prueba: (1) Reflexividad:, 0,~. aQaaZaa? ∈?=∈∴

(2) Simetría: Supongamos, abQ∈ si ~ab, es decir, abZ? ∈ Entonces (), baabZ? =∈ ~ba∴ (3) Transitividad: Supongamos,, abcQ∈ Si ~, ~abbc, es decir, abZbcZ? ∈?Por lo tanto...

()(), acabbcZ? =?+?∈~ac∴

∴ ~ es la relación de equivalencia en q, y todas las clases de equivalencia son: []{}|[0, 1). ~

Q

AaQa=∈∈y

7. Prueba: (1) Reflexividad: ~aCaaaa? ∈=∴Q,,

(2) Simetría: abC? ∈, si ~ab, entonces de ab=, obtenemos ~baba=∴,.

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(3) Transitividad: abcC? ∈,, si ~~abbc,, entonces abbcac==∴= ∴ =,, entonces es ~. ac, entonces ~ son relaciones equivalentes. El conjunto de negocios es [] {}

{0}~

C

aaR+=∈U

8. () {}, /, 0 sababzb =∈≦, especifica la relación "~" en el conjunto S: (), ~, abcdabc? =

Demuestra que ~ es una relación de equivalencia.

Prueba: Reflexividad: (), ¿abdominales? ∈, entonces abba=, entonces()(),~,. simetría abab: si () (), abscs∈∈ y ()(), ABCD, entonces adbc=

Entonces cbda=, es decir () (), ~, transitividad cdab: si () (),~,abcd y()(),~,cdef.

Por()(), ~, abcd tiene adbc=, por lo que ad

Bonos convertibles

= by()(), ~, cdef Hay cfde=, entonces ad

fdeb

= entonces adfbde=,

so afbe=, es decir, () (), ~, abef. Entonces ~ es una relación equivalente.

9. Supongamos {},,,Aabcd=intenta escribir todas las diferentes relaciones de equivalencia del conjunto a.

Solución: { } { } { } { } { } { } { } { } 1,,,2,,,3,,,4,,,PABCDPBCBDBC = = =

{}{}{}{}{}{}{}{} {}{}{}5,,,6,,,7,,,8,,,pabcdpaccda = = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 9,,,10,,,11,,,pabcdpacd = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 12.,,,65438

10. El número de categorías diferentes del conjunto {}1, 2, 3, 4A= se puede calcular directamente sin la fórmula (1.1).

Solución: 12122121135554254331()(/)(/)65438.