Haga preguntas sobre programación matemática
Usa v(p, n) para representar el número de factores primos p entre los factores del entero positivo n.
Usa d(n) para representar el número de divisores de n , entonces d (n) =?∏(v(p,n) 1).
Considere dentro de 10^12, el valor positivo que satisface d(n) gt max{d(k): k lt; n} Propiedades de los números enteros n.
En primer lugar, para números primos p lt q, debería haber v(p, n)?≥ v(q, n).
De lo contrario, para m = n ·(p/q)^(v(q,n)-v(p,n)) lt, existe d(m) = d(n).
Entonces, si v(37 , n)?≥ 1, entonces v(2,n)?≥ v(3,n)?≥...≥ v(37,n)?≥ 1,
Podemos obtener n?≥ 2×3×...×31×37 gt; 10^12, lo cual no está dentro del alcance de la discusión.
Por lo tanto, para p?≥ ?37, v(p,n) = 0.
p>Si v(31, n) = 1, de 10^12/5 lt; 10^12/4,
n sólo es posible. Es 2×3×...×31 y sus 2, 3 y 4 veces.
El máximo d(n ) es (3 1)×(1 1)×...×(1 1) = 4096.
Solo necesitamos considerar el caso de v(31, n) = 0 a continuación.
De 2^5 gt; 31, si v(2, n) ≥ 9, y v(31, n) = 0.
Se puede ver que el número entero m = 31n /2^5 lt; n, y d(m) ≥ d(n).
Por lo tanto v (2, n) ≤?8.
De la misma manera, de 3^4 gt; 31, podemos obtener v(3, n)?≤ 6.
De manera similar, tenemos v(5,n)?≤ 4, v(7,n)?≤ 2 , v(11,n)?≤ 2,...
Si v(19,n)?≥ 2 , entonces v(2,n)?≥ v(3,n)?≥. ..≥ v(19,n)?≥ 2,
Podemos obtener n?≥ (2×3×...×19)^2 gt 10^12, que no está dentro del alcance; de discusión.
Por lo tanto, para p?≥ 19, v(p, n) ≤?1.
En este punto, el rango del índice se limita a 9×7×5 ×3^4×2^3 = 204120 situaciones.
Ya está dentro del rango de capacidades informáticas, por lo que no se ha considerado ningún algoritmo para evitar problemas.
p>Utilice Mathematica directamente:
6720 gt; 4096, por lo que es el valor máximo de d(n) dentro de 10^12.
La estimación anterior también se aplica a menos de 10^ El límite superior de 12.
Sin embargo, es más problemático enumerar completamente los números enteros con un divisor dado en el rango.
Después de pasos triviales:
Sí n lt ; 10^5, el máximo d(n) es 128, correspondiente a n = 83160, 98280;
Para n lt 10^6, el máximo ?d(n) es 240, correspondiente a n; =? 720720, 831600, 942480, 982800, 997920;
Para n lt; 10^7, el valor máximo de ?d(n) es 448, correspondiente a n =?8648640;
Para n lt ; 10^12, el valor máximo de ?d(n) es 6720 y ? corresponde a n =?963761198400.