Introducción al método de elementos finitos discontinuos

Debido al desarrollo continuo de muchos estudiosos, el método de elementos finitos discontinuos desarrolló el método de elementos finitos discontinuos de Galerkin, especialmente el método de Galerkin discontinuo de Runge propuesto por Cockburn y Chi-Wang Shu desde la década de 1990. Es particularmente llamativo y logra un rendimiento sin precedentes en muchas aplicaciones. Desempeña un papel cada vez más importante en la resolución de problemas que involucran fenómenos de discontinuidad. Se usa ampliamente en hidrodinámica, aerodinámica, propagación de ondas y otros problemas. Matemáticamente, resuelve si se trata de ecuaciones elípticas, leyes de conservación hiperbólicas, ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ecuaciones de convección-difusión, ecuaciones KdV, ecuación QHD (hidrodinámica cuántica), ecuación MHD (magnetohidrodinámica), ecuación de flujo viscoelástico, ecuación de Maxwell y otros problemas. son todos muy efectivos.

En términos generales, el método de elementos finitos discontinuos no solo mantiene las ventajas de FEM y FVM, sino que también supera sus deficiencias. En particular, es fácil de manejar problemas complejos de límites y valores de límites al mismo tiempo, y DGM tiene la capacidad de manejar discontinuidades de manera flexible, superando las deficiencias del método FEM general que no es adecuado para problemas discontinuos; Se puede mejorar seleccionando adecuadamente la función base, es decir, aumentando el grado del polinomio de interpolación de la unidad. Para lograr esto, esto supera las deficiencias en FVM al expandir la plantilla de nodo para calcular el volumen de flujo en la interfaz de la unidad de subdivisión para mejorar. precisión debido al supuesto de discontinuidad de la solución aproximada, los requisitos para la regularidad de la red no son altos y no necesitan ser considerados. Por ejemplo, las restricciones de continuidad en el método general de elementos finitos se pueden usar para refinar o reducir la malla; y diferentes unidades de subdivisión pueden usar diferentes formas y diferentes grados de polinomios de aproximación, lo que favorece la formación de mallas adaptativas, especialmente en el DGM de Runge-Kutta, dado que la función de base unitaria permite discontinuidades en las uniones unitarias, la matriz de masa puede ser Se hace diagonal de bloque seleccionando adecuadamente la función base, y el orden de cada bloque es el mismo que el grado de libertad de la unidad correspondiente, y en cada paso del cálculo de Runge-Kutta, para resolver el grado de libertad dentro. Para una unidad determinada, sólo se necesitan los grados de libertad de las unidades adyacentes, de modo que la cantidad de transferencia de información entre procesadores se mantenga mínima, lo que favorece la implementación de algoritmos paralelos.