Música y Matemáticas

Matemáticas y Música

Fuente del artículo: "Boletín de Matemáticas"

En esta ronda de reforma curricular, "Matemáticas y Cultura" se ha convertido en matemáticas y matemáticas. educación Uno de los temas que más preocupa a los trabajadores. De hecho, muchos profesores de matemáticas y matemáticas han estado pensando y estudiando este tema durante mucho tiempo. En los próximos "Estándares del plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria", existen requisitos claros para las "Matemáticas". cultura" recorre el plan de estudios de la escuela secundaria. Para una serie de cuestiones teóricas relacionadas con la "cultura matemática", hay que admitir que no se han discutido claramente y todavía hay muchos debates. Por ejemplo, muchos estudiosos también tienen dudas sobre la término "cultura matemática", creemos que esto es normal. Recomendamos que realicemos investigaciones sobre estos temas desde dos aspectos al mismo tiempo, por un lado, realicemos investigaciones teóricas y, por otro lado, desarrollemos activamente algunos ejemplos; Casos de "matemáticas y cultura". Ejemplos de cursos, exploran cómo infiltrar la "cultura matemática" en la enseñanza en el aula, cómo permitir que los estudiantes mejoren su alfabetización matemática desde la "cultura matemática", y luego llevan a cabo un pensamiento teórico sobre esta base, desde la práctica. a la teoría y hacer algunas investigaciones empíricas. El siguiente es un ejemplo que ofrecemos: las matemáticas y la música también pueden considerarse como un material. Esperamos que los profesores que trabajan en primera línea puedan desarrollarlo aún más para que dicho material pueda ingresar a las aulas o a las actividades extracurriculares. También esperamos que más personas desarrollen dichos materiales y que estos materiales puedan aparecer en los materiales didácticos.

En el proceso de desarrollo de los estándares curriculares de matemáticas, conocimos a algunos expertos en la materia. industria de la música Nos hablaron mucho sobre la conexión entre la música y las matemáticas y la aplicación de las matemáticas en la música. En particular, enfatizaron que hoy, con el rápido desarrollo de las computadoras y la tecnología de la información, la conexión entre la música y las matemáticas es aún más estrecha. La teoría musical, la composición musical, la síntesis musical, la producción de música electrónica y otros aspectos requieren matemáticas. También nos dijeron que en la industria musical hay algunos músicos con buenos conocimientos matemáticos que han hecho importantes contribuciones al desarrollo de la música. Ambos esperan que aquellos estudiantes interesados ​​en la carrera musical aprendan bien matemáticas, porque las matemáticas jugarán un papel muy importante en su futura carrera musical.

La hermosa melodía de "Butterfly Lovers", el sonido metálico de la pipa. de "Ambush from Flying Daggers", orden de Beethoven Emocionantes sinfonías, insectos chirriando en los campos... Cuando estabas inmerso en esta maravillosa música, ¿pensaste en su estrecha conexión con las matemáticas?

De hecho, La gente tiene un profundo conocimiento de las matemáticas y la música. Se puede decir que la investigación y la comprensión de la conexión tienen una larga historia. Esto se remonta al siglo VI a.C., cuando los pitagóricos usaban proporciones para conectar las matemáticas y la música [1]. No sólo se dieron cuenta de que las cuerdas pulsadas producen sonido está estrechamente relacionado con la longitud de las cuerdas, descubriendo así la relación entre la armonía y los números enteros, sino que también descubrieron que los armónicos son emitidos por las mismas cuerdas tensas cuyas longitudes están en una proporción entera. Por lo tanto, nacieron la escala pitagórica (la escala pitagórica) y la teoría de la afinación, y ocuparon una posición dominante en el mundo de la música occidental, aunque Ptolomeo (C. Ptolomeo (alrededor de 100-165)) reformó las deficiencias de la escala pitagórica y logró más. Se desarrollaron la escala justa ideal y la teoría de la afinación correspondiente, pero el predominio de la escala pitagórica y la teoría de la afinación no se sacudió por completo hasta que surgió la teoría del sonido en nuestro país. la primera teoría completa del temperamento fue la ley de pérdidas y ganancias de tres puntos, que se describió en el "Capítulo Guanzi. Diyuan" y el "Capítulo Lu Shi Chunqiu. Música" a mediados del período de primavera y otoño (1536 -). 1610) de la dinastía Ming dio una visión general del método de cálculo de doce temperamentos iguales en su libro de música "Nueva teoría del ritmo", y analizó la teoría de los doce temperamentos iguales en "Lv Lu Jingyi? Neipian", y calculó los doce temperamentos iguales. temperamentos con mucha precisión, que es exactamente lo mismo que los doce temperamentos iguales de hoy, que es la primera vez en el mundo. Se puede ver que en la antigüedad, el desarrollo de la música estuvo estrechamente vinculado a las matemáticas. A medida que las matemáticas y la música se desarrollan continuamente, la comprensión y la comprensión de la relación entre las personas también se profundizan constantemente. Las matemáticas racionales están en todas partes en la música del sentimiento. La escritura de partituras musicales es inseparable de las matemáticas. al teclado del piano, el rey de los instrumentos musicales. También está relacionado con la secuencia de Fibonacci.

En el teclado del piano, de una tecla C a la siguiente tecla C hay una octava en la música (como se muestra en la Figura 1. Hay 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras, y 5 teclas negras están divididas en 2 grupos). , un grupo tiene 2 teclas negras y el otro grupo tiene 3 teclas negras. 2, 3, 5, 8 y 13 resultan ser los primeros números de la famosa secuencia de Fibonacci.

Si la apariencia. de los números de Fibonacci en las teclas del piano es una coincidencia, entonces la aparición de una secuencia geométrica en la música no es en modo alguno accidental: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Las escalas como i están definidas por la secuencia geométrica. Mirando la Figura 1, es obvio que esta octava está dividida en 12 semitonos por la tecla negra y la tecla blanca, y sabemos que el número de vibraciones de la siguiente tecla C (es decir, la frecuencia) es el doble del número de vibraciones de la primer enlace C. Debido a que se divide por 2, esta división se realiza de acuerdo con la secuencia geométrica. Podemos encontrar fácilmente la relación de división x. Obviamente x satisface x12 = 2. Al resolver esta ecuación, resulta que x es un número irracional. , alrededor de 1106. Entonces decimos que el tono de un determinado semitono es 1106 veces el tono de esa nota, y el tono de todo el tono es 11062 veces el tono de esa nota. De hecho, también existe en la guitarra con el. misma secuencia geométrica [3].

Transformaciones matemáticas en la música.

Hay transformaciones de traducción en matemáticas ¿Existe también en la música? Podemos pasar Dos medidas musicales [2] son. se usa para encontrar la respuesta Obviamente, las notas en el primer compás se pueden traducir al segundo compás, y la traducción en música ocurre. Esto en realidad es repetición en música. Si la sílaba se mueve al sistema de coordenadas rectangular, aparecerá como la Figura 3. Obviamente, esta es exactamente la traducción en matemáticas. Sabemos que el propósito de los compositores al crear obras musicales es expresar sus emociones internas vívidamente, pero la expresión de las emociones internas se expresa a través de toda la música. y está sublimado en el tema, y ​​el tema de la música a veces aparece repetidamente de alguna forma. Por ejemplo, la Figura 4 es el tema de la música occidental When the Saints Go Marching In[2]. la música se puede considerar obtenida a través de la traducción.

Si tomamos una línea horizontal apropiada en el pentagrama como eje de tiempo (eje horizontal x), y la línea recta perpendicular al eje de tiempo como eje de tono ( eje vertical y), entonces hemos establecido un sistema de coordenadas rectangular del plano de tiempo-paso en el pentagrama. Por lo tanto, una serie de repeticiones o traslaciones en la Figura 4 se pueden expresar aproximadamente mediante funciones [2], como Como se muestra en la Figura 5, donde x es el tiempo y y es el tono. Por supuesto, también podemos usar funciones para representar aproximadamente las dos sílabas en la Figura 2 en el sistema de coordenadas rectangular plano de tiempo y tono.

Aquí debemos mencionar un. El famoso matemático del siglo XIX, Joseph Fourier, fue su esfuerzo el que llevó la comprensión de la naturaleza de la música a su punto máximo. Demostró que todos los sonidos musicales, ya sean instrumentales o vocales, pueden expresarse y describirse mediante fórmulas matemáticas. demostró que estas fórmulas matemáticas son la suma de funciones seno periódicas simples [1].

La música no es solo Solo aparece la transformación de traducción, pueden aparecer otras transformaciones y sus combinaciones, como la transformación de reflexión, etc. Las sílabas en la Figura 6 son transformaciones de reflexión en la música [2]. Si todavía lo pensamos desde una perspectiva matemática, estas notas se colocan en el sistema de coordenadas, entonces su representación en matemáticas es nuestra transformación de reflexión común, como se muestra en la Figura 7. De manera similar, también podemos representar aproximadamente estas dos sílabas con funciones en el sistema de coordenadas rectangulares de tiempo y tono.

A través del análisis anterior, se puede ver que una pieza musical puede ser el resultado de varias transformaciones matemáticas. sobre algunas piezas musicales básicas.

Matemáticas en la música natural.

La conexión entre la música y las matemáticas en la naturaleza es aún más mágica y generalmente no es conocida por todos. Por ejemplo [2. ], se puede decir que el chirrido de los grillos es la música de la naturaleza. Sin embargo, la frecuencia del chirrido de los grillos está estrechamente relacionada con la temperatura, podemos expresarla como una función lineal: C = 4 t – 160.

Entre ellos, C representa el número de veces que el grillo chirría por minuto y t representa la temperatura. Según esta fórmula, siempre que sepamos el número de veces que el grillo chirría por minuto, podemos conocer la temperatura del clima sin ella. ¡un termómetro!

En matemáticas racionales también hay música perceptual.

A partir de una imagen de función trigonométrica, solo necesitamos segmentarla adecuadamente para formar secciones apropiadas y seleccionar los puntos apropiados en la curva como ubicación de las notas. Luego podemos componer una pieza musical. Se puede ver que no solo podemos usar la sección áurea para componer música como el compositor húngaro Bela Bartók, sino que también podemos componer música basada en pura. imágenes funcionales Esto es matemática El trabajo posterior de Joseph Fourier es también el proceso inverso de su trabajo. El representante más típico es Joseph Schillinger, profesor de matemáticas y música en la Universidad de Columbia en la década de 1920, quien una vez escribió Nueva York. Times Se describió una curva comercial ondulante en papel cuadriculado, y luego cada segmento básico de la curva se transformó en una pieza musical de acuerdo con proporciones e intervalos apropiados y armoniosos. Finalmente, se tocó en un instrumento y resultó que así era. resultó ser una hermosa melodía, piezas musicales que se parecen mucho a las obras musicales de Bach [2]! El profesor incluso creía que, según una serie de criterios, todas las obras maestras musicales se pueden transformar en fórmulas matemáticas. aún más Innovó y creó un sistema para componer música usando las matemáticas. Se dice que utilizó dicho sistema para crear la famosa ópera "Porgy and Bess".

Por eso decimos que en la música El surgimiento de. Las matemáticas y la existencia de la música en las matemáticas no son un accidente, sino una manifestación de la integración de las matemáticas y la música. Sabemos que la música toca una serie de notas para expresar las alegrías, las tristezas y las alegrías de las personas o para expresar sus sentimientos sobre la naturaleza y la vida. Es decir, la música expresa las emociones de las personas y es un reflejo del propio mundo interior y de los sentimientos de las personas sobre el mundo objetivo. Por tanto, se utiliza para describir el mundo objetivo, pero de forma perceptiva o más perceptiva. De manera personal y subjetiva, las matemáticas describen el mundo de manera racional y abstracta, permitiendo al ser humano tener una comprensión y comprensión objetiva y científica del mundo, y a través de algunas fórmulas concisas, hermosas y armoniosas, expresar la naturaleza. Dijo que tanto las matemáticas como la música se utilizan para describir el mundo, pero los métodos de descripción son diferentes, pero el objetivo final es servir a los seres humanos para una mejor supervivencia y desarrollo, por lo que existe una conexión inherente entre ellos. Debería ser algo natural.

Ya que las matemáticas y la música tienen una conexión tan maravillosa, ¿por qué no sumergirnos en la hermosa melodía de "Butterfly Lovers" o ubicarnos tranquilamente en los campos donde los insectos chirrían? la conexión interna entre las matemáticas y la música? ¿Por qué no continuamos explorando su conexión interna con confianza en el sonido de la pipa o la emocionante sinfonía?

Arriba, proporcionamos algunos materiales sobre la conexión entre las matemáticas. y música. ¿Cómo "procesar" estos materiales en el contenido de la "educación matemática"? Planteamos algunas preguntas para la consideración de los escritores de libros de texto y los profesores que trabajan en primera línea.

1) ¿Cómo procesar? e infiltrar dichos materiales en la enseñanza de las matemáticas y en los libros de texto de matemáticas?

2) ¿Se pueden compilar estos materiales en "informes de divulgación científica" y utilizarlos en actividades extracurriculares para promover pasatiempos musicales y matemáticos? Los investigadores informan, investigan, comprenden, y piense en el impacto de dichos informes en los estudiantes y en las reacciones de los estudiantes ante dichos informes.

La música y las matemáticas han estado vinculadas durante siglos. Durante la época medieval, la aritmética, la geometría, la astronomía y la música se incluían en el plan de estudios educativo. Las nuevas computadoras de hoy están ampliando este vínculo.

La escritura de partituras musicales es el primer ámbito significativo donde se demuestra la influencia de las matemáticas en la música. En el manuscrito musical, vemos velocidad, tiempo (4/4 de tiempo, 3/4 de tiempo, etc.), notas enteras, blancas, negras, corcheas, semicorcheas, etc. Determinar el número de notas parciales en cada compás al escribir una partitura musical es similar a encontrar un denominador común: notas de diferentes longitudes deben caber en el compás especificado por un tiempo determinado. El compositor creó música que se mezclaba bellamente y sin esfuerzo dentro de la estricta estructura de la partitura escrita.

Si se analiza una obra completa, se puede ver que cada sección utiliza notas de diferente duración para formar un número prescrito de tiempos.

Además de la relación obvia entre las matemáticas y la notación musical, la música también está relacionada con proporciones, curvas exponenciales, funciones periódicas y la informática.

Los pitagóricos (585 a. C. a 400 a. C.) fueron los primeros en utilizar proporciones para conectar la música y las matemáticas. Se dieron cuenta de que el sonido producido por las cuerdas pulsadas estaba relacionado con la longitud de las cuerdas, y así descubrieron la relación entre la armonía y los números enteros. También descubrieron que los sonidos armónicos son producidos por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes están en proporciones de números enteros; de hecho, cada combinación armoniosa de cuerdas pulsadas se puede expresar como una proporción entera. Aumentar la longitud de la cadena en una proporción entera produce la escala completa. Por ejemplo, a partir de la cuerda que produce la nota C, 16/15 de la longitud de C te da B, 6/5 de la longitud de C te da A, 4/3 de la longitud de C te da G, 3 /2 de la longitud de C da F, 8/5 de la longitud de C da E, 16/9 de la longitud de C da D y 2/1 de la longitud de C da C baja.

¿Alguna vez te has preguntado por qué los pianos de cola se fabrican como están? De hecho, la forma y estructura de muchos instrumentos musicales están relacionadas con varios conceptos matemáticos. Las funciones exponenciales y las curvas exponenciales son tales conceptos. La curva exponencial se describe mediante una ecuación de la forma y=kx, donde k>0. Un ejemplo es y=2x. Su diagrama de coordenadas es el siguiente.

Ya sea un instrumento de cuerda o un instrumento de viento producido por columnas de aire, su estructura refleja la forma de una curva exponencial.

El trabajo del matemático del siglo XIX John Fourier culminó el estudio de las propiedades de los sonidos musicales. Demostró que todos los sonidos musicales (instrumentales y vocales) pueden describirse mediante fórmulas matemáticas que son sumas de funciones sinusoidales periódicas simples. Cada sonido tiene tres propiedades, a saber, tono, volumen y timbre, que lo distinguen de otros sonidos musicales.

El descubrimiento de Fourier permitió representar gráficamente estas tres propiedades del sonido con claridad. El tono está relacionado con la frecuencia de la curva, y el volumen y la calidad del sonido están relacionados con la amplitud y la forma de la función periódica ① respectivamente.

Sin una comprensión de las matemáticas de la música, es imposible avanzar en la aplicación de las computadoras a la creación musical y al diseño de instrumentos. Los descubrimientos matemáticos, específicamente las funciones periódicas, son esenciales en el diseño moderno de instrumentos musicales y en el diseño de computadoras controladas por sonido. Muchos fabricantes de instrumentos comparan las curvas de sonido periódicas de sus productos con las curvas ideales para esos instrumentos. La fidelidad de la reproducción de música electrónica también está estrechamente relacionada con la curva periódica. Músicos y matemáticos seguirán desempeñando papeles igualmente importantes en la producción y reproducción de la música.

La figura anterior muestra la vibración segmentada y la vibración general de una cuerda. La vibración más larga determina el tono y las vibraciones más pequeñas crean armónicos.

① Una función periódica es una función que repite una forma en intervalos de igual longitud.