Repita una serie de experimentos independientes. La probabilidad de éxito de cada experimento es p (0
Los valores posibles de X son n, n+1, n+2,...
Cuando Entre las primeras n+k-1 veces de éxito, k veces han fallado y n-1 veces han tenido éxito. Por lo tanto, P{X=n+k}=Cn?1n?k?1pn(1?p) k(k=0,1,2,…),
Obviamente 1=∞k=0P{X=n+k}=∞k=0Cn?1n+k?1pn(1?p) k＝pn∞k＝0Cn?1n+k?1(1? p)k,
Por lo tanto, para cualquier n>0, existe∞k＝0Cn?1n+k?1(1?p) k＝p?n,
EX＝ ∞k＝0(n+k)P{X＝n+k}＝pn∞k＝0(n+k)Cn?1n+k?1 (1?p)k=pn∞k＝0nCnn+k( 1?p)k＝npn∞k＝0Cnn+k(1?p)k,
Y∞k＝0Cnn+k( 1?p)k=p?(n+1),
Entonces EX=np.
Los valores posibles de X son n, n+1, n+2,...
Cuando Entre las primeras n+k-1 veces de éxito, k veces han fallado y n-1 veces han tenido éxito. Por lo tanto, P{X=n+k}=Cn?1n?k?1pn(1?p) k(k=0,1,2,…),
Obviamente 1=∞k=0P{X=n+k}=∞k=0Cn?1n+k?1pn(1?p) k＝pn∞k＝0Cn?1n+k?1(1? p)k,
Por lo tanto, para cualquier n>0, existe∞k＝0Cn?1n+k?1(1?p) k＝p?n,
EX＝ ∞k＝0(n+k)P{X＝n+k}＝pn∞k＝0(n+k)Cn?1n+k?1 (1?p)k=pn∞k＝0nCnn+k( 1?p)k＝npn∞k＝0Cnn+k(1?p)k,
Y∞k＝0Cnn+k( 1?p)k=p?(n+1),
Entonces EX=np.